【变式5】若指数函数$y=f(x)$的图象经过点$(-2,4)$，则不等式$f(2x-1)≤ (\dfrac{1}{2})^{1-3x}$的解集是。

$\{x∣ x≥\dfrac{2}{5}\}$ 由题意,设函数 $f(x)=a^x(a＞0,$且 $a≠1)$.
因为 $y=f(x)$ 的图象经过点$(-2,4)$,所以 $a^{-2}=4$,解得 $a=\dfrac{1}{2}$,
所以 $y=(\dfrac{1}{2})^x$.
因为 $f(2x-1)≤(\dfrac{1}{2})^{1-3x}$,即 $(\dfrac{1}{2})^{2x-1}≤(\dfrac{1}{2})^{1-3x}$,
所以由 $y=(\dfrac{1}{2})^x$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的减函数,得 $2x-1≥1-3x$,解得 $x≥\dfrac{2}{5}$,即不等式的解集是 $\{x∣ x≥\dfrac{2}{5}\}$.

【典例6】求函数$f(x)=3^{x^2 - 2x}$的单调区间.
解题指导 运用复合函数“同增异减”的法则确定函数的单调区间.
答案 解:因为$f(x)=3^{x^2 - 2x}$的定义域为$\mathbf{R}$,且$y=3^u$在定义域内单调递增,$u=x^2 - 2x$在$(-∞,1)$上单调递减,在$(1,+∞)$上单调递增,所以函数$f(x)=3^{x^2 - 2x}$的单调递减区间是$(-∞,1)$,单调递增区间是$(1,+∞)$.

解：
函数$f(x)=3^{x^2-2x}$的定义域为$\mathbf{R}$。
令$u=x^2-2x$，则$f(x)=3^u$。
因为底数$3＞1$，所以外层函数$y=3^u$在$\mathbf{R}$上单调递增。
内层函数$u=x^2-2x=(x-1)^2-1$，是开口向上的二次函数，对称轴为$x=1$，因此$u=x^2-2x$在$(-∞,1)$上单调递减，在$(1,+∞)$上单调递增。
根据复合函数“同增异减”的法则：
函数$f(x)=3^{x^2-2x}$的单调递减区间为$(-∞,1)$，单调递增区间为$(1,+∞)$。

方法总结
(1)复合函数的单调性

复合函数的单调性可简记为“同增异减”.
(2)当$a＞1$时,函数$y=a^{f(x)}$的单调递增(减)区间就是$f(x)$的单调递增(减)区间;当$0＜a＜1$时,函数$y=a^{f(x)}$的单调递增(减)区间就是$f(x)$的单调递减(增)区间.
【变式6】求函数$f(x)=(\dfrac{1}{3})^{$$}$的单调递增区间.

解:由 $x^2-2x-3≥0$,得 $x≤-1$ 或 $x≥3$,即 $f(x)$ 的定义域为 $(-∞,-1]\cup[3,+∞)$.
因为 $t=\sqrt{x^2-2x-3}$ 在 $(-∞,-1]$ 上单调递减,在 $[3,+∞)$ 上单调递增,且 $y=(\dfrac{1}{3})^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减,
所以 $f(x)=(\dfrac{1}{3})^{\sqrt{x^2-2x-3}}$ 在 $(-∞,-1]$ 上单调递增,在 $[3,+∞)$ 上单调递减,
即 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-∞,-1]$.

【典例7】已知函数 $ f(x) = 4^x - ( \frac{1}{4} )^x $，则 $ f(x) $ （）

A.是奇函数，且是定义在$\mathbb{R}$上的增函数
B.是偶函数，且是定义在$\mathbb{R}$上的增函数
C.是奇函数，且是定义在$\mathbb{R}$上的减函数
D.是偶函数，且是定义在$\mathbb{R}$上的减函数
解题指导 根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.
解析 $ f(x) = 4^x - ( \frac{1}{4} )^x = 4^x - 4^{-x} $ 的定义域为$\mathbb{R}$，且定义域关于原点对称.
因为 $ f(-x) = 4^{-x} - 4^x = -f(x) $，所以 $ f(x) $ 是奇函数.
因为函数 $ y=4^x $ 是增函数，$ y=( \frac{1}{4} )^x $ 是减函数，
所以 $ f(x) = 4^x - ( \frac{1}{4} )^x $ 是定义在$\mathbb{R}$上的增函数.
答案 A

A

$f(x)=4^x - (\frac{1}{4})^x=4^x - 4^{-x}$，定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。由$f(-x)=4^{-x}-4^x=-f(x)$，可知$f(x)$是奇函数。因为$y=4^x$是$\mathbb{R}$上的增函数，$y=(\frac{1}{4})^x$是$\mathbb{R}$上的减函数，故$f(x)=4^x - (\frac{1}{4})^x$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数。

【典例8】已知函数$f(x)=3^{x}+(k-2)· 3^{-x}$$(x\in \mathbf{R})$为奇函数.
(1)求实数$k$的值；
(2)若对$∀ x\in [-2,-1]$,不等式$f(x)+m· 3^{x}≤ 6$恒成立,求实数$m$的取值范围.
解题指导 (1)根据奇函数的性质,由$f(0)=0$建立方程,结合奇函数定义可得答案.
(2)将式子参变分离,利用函数求最值,进而可得答案.
答案 解:(1)因为$f(x)=3^{x}+(k-2)· 3^{-x}$$(x\in \mathbf{R})$为奇函数,
所以$f(0)=1+k-2=0$,解得$k=1$,
此时$f(x)=3^{x}-3^{-x}=-f(-x)(x\in \mathbf{R})$,符合题意.
(2)原问题为$∀ x\in [-2,-1],3^{x}-3^{-x}+m· 3^{x}≤ 6$恒成立,即$m· 3^{x}≤ 6-3^{x}+3^{-x}$,
则$m≤ \frac{6-3^{x}+3^{-x}}{3^{x}}=6· 3^{-x}+(3^{-x})^{2}-1$.(含参数的恒成立问题,一般采用分离参数法)
设$t=3^{-x}$.因为$-2≤ x≤ -1$,所以$3≤ t≤ 9$,
所以$y=6· 3^{-x}+(3^{-x})^{2}-1=6t+t^{2}-1=(t+3)^{2}-10$.
因为$3≤ t≤ 9$,所以当$t=3$时,$y$取最小值,最小值为$26$.
要使不等式在$[-2,-1]$上恒成立,则$m≤ 26$,
即实数$m$的取值范围是$(-∞,26]$.

解：
(1) 因为$f(x)=3^{x}+(k-2)· 3^{-x}$的定义域为$\mathbf{R}$，且为奇函数，
所以$f(0)=0$，即$3^0 + (k-2)· 3^0 = 1 + k - 2 = 0$，
解得$k=1$。
此时$f(x)=3^x - 3^{-x}$，对任意$x\in\mathbf{R}$，有
$f(-x)=3^{-x} - 3^{x} = -f(x)$，满足奇函数定义，故$k=1$。
(2) 由(1)知$f(x)=3^x - 3^{-x}$，对$∀ x\in[-2,-1]$，$f(x)+m· 3^x ≤ 6$恒成立，
代入得$3^x - 3^{-x} + m· 3^x ≤ 6$，
整理得$m· 3^x ≤ 6 - 3^x + 3^{-x}$。
因为$x\in[-2,-1]$，所以$3^x ＞ 0$，两边同除以$3^x$得：
$m ≤ \frac{6 - 3^x + 3^{-x}}{3^x} = 6· 3^{-x} + (3^{-x})^2 - 1$。
令$t=3^{-x}$，由$-2≤ x≤ -1$，得$1≤ -x≤ 2$，因此$3^1≤ t≤ 3^2$，即$3≤ t≤9$。
设$y = t^2 + 6t - 1 = (t+3)^2 - 10$，该函数在区间$[3,9]$上单调递增，
故当$t=3$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}} = 3^2 + 6×3 -1 = 26$。
要使$m ≤ 6· 3^{-x} + (3^{-x})^2 - 1$对任意$x\in[-2,-1]$恒成立，只需$m ≤ y_{\mathrm{min}}=26$。
所以实数$m$的取值范围是$(-∞,26]$。