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三、解答题
拖拉机开始工作时，油箱中有油60 L，每小时耗油5 L。
(1)写出油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式；
(2)写出自变量t的取值范围；
(3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少？
拖拉机开始工作时，油箱中有油60 L，每小时耗油5 L。
(1)写出油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式；
(2)写出自变量t的取值范围；
(3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少？
答案
(1) $Q = 60 - 5t$。
(2) $0 ≤ t ≤ 12$。
(3) 40 L。
(2) $0 ≤ t ≤ 12$。
(3) 40 L。
解析
【分析】
1. 解决第一问时，先明确实际问题中的等量关系：油箱余油量=初始存油量-工作t小时的总耗油量，已知初始油量为60L，每小时耗油5L，t小时总耗油量为5t，代入等量关系即可得到函数关系式。
2. 解决第二问时，自变量t是工作时间，首先时间不能为负数，其次油箱余油量不能为负数，结合这两个实际限制条件列不等式，即可求出t的取值范围。
3. 解决第三问时，求工作4小时后的余油量，只需将t=4代入第一问得到的函数关系式，计算出对应的Q值即可。
【解析】
(1) 根据“余油量=原有油量 - 工作时长内的耗油量”，已知原有油量为60L，每小时耗油5L，工作t小时的耗油量为5t L，因此余油量Q与工作时间t的函数关系式为：
$Q = 60 - 5t$
(2) 结合实际意义可知：工作时间不能为负，即$t≥0$；油箱余油量不能为负，即$Q≥0$。
将$Q=60-5t$代入$Q≥0$得：
$60 - 5t ≥ 0$
解不等式得$t ≤ 12$
综上，自变量t的取值范围为$0 ≤ t ≤ 12$
(3) 将$t=4$代入函数关系式$Q=60-5t$得：
$Q = 60 - 5×4 = 40$
即拖拉机工作4小时后油箱余油为40L。
【答案】
(1) $Q = 60 - 5t$
(2) $0 ≤ t ≤ 12$
(3) $40\ \mathrm{L}$
【知识点】
一次函数实际应用、自变量取值范围确定、求函数值
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系列函数式，需要特别注意自变量的取值范围要符合现实意义，不能仅从代数式本身的运算要求判断。
【难度系数】
0.9
1. 解决第一问时，先明确实际问题中的等量关系：油箱余油量=初始存油量-工作t小时的总耗油量，已知初始油量为60L，每小时耗油5L，t小时总耗油量为5t，代入等量关系即可得到函数关系式。
2. 解决第二问时，自变量t是工作时间，首先时间不能为负数，其次油箱余油量不能为负数，结合这两个实际限制条件列不等式，即可求出t的取值范围。
3. 解决第三问时，求工作4小时后的余油量，只需将t=4代入第一问得到的函数关系式，计算出对应的Q值即可。
【解析】
(1) 根据“余油量=原有油量 - 工作时长内的耗油量”，已知原有油量为60L，每小时耗油5L，工作t小时的耗油量为5t L，因此余油量Q与工作时间t的函数关系式为：
$Q = 60 - 5t$
(2) 结合实际意义可知：工作时间不能为负，即$t≥0$；油箱余油量不能为负，即$Q≥0$。
将$Q=60-5t$代入$Q≥0$得：
$60 - 5t ≥ 0$
解不等式得$t ≤ 12$
综上，自变量t的取值范围为$0 ≤ t ≤ 12$
(3) 将$t=4$代入函数关系式$Q=60-5t$得：
$Q = 60 - 5×4 = 40$
即拖拉机工作4小时后油箱余油为40L。
【答案】
(1) $Q = 60 - 5t$
(2) $0 ≤ t ≤ 12$
(3) $40\ \mathrm{L}$
【知识点】
一次函数实际应用、自变量取值范围确定、求函数值
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系列函数式，需要特别注意自变量的取值范围要符合现实意义，不能仅从代数式本身的运算要求判断。
【难度系数】
0.9
四、综合实践活动
《哪吒之魔童闹海》这部电影深受影迷喜爱，哪吒的造型也深受儿童喜爱。为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A,B两种哪吒玩偶。已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2 500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1 500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍。
(1)求购进A,B两种哪吒玩偶的单价各是多少元。
(2)六一将至,该玩具店决定用不超过3 000元再次购进A,B两种哪吒玩偶共120个进行销售,且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元,每个B种哪吒玩偶售价定为45元,那么A、B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多?最大利润是多少元?
《哪吒之魔童闹海》这部电影深受影迷喜爱，哪吒的造型也深受儿童喜爱。为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A,B两种哪吒玩偶。已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2 500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1 500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍。
(1)求购进A,B两种哪吒玩偶的单价各是多少元。
(2)六一将至,该玩具店决定用不超过3 000元再次购进A,B两种哪吒玩偶共120个进行销售,且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元,每个B种哪吒玩偶售价定为45元,那么A、B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多?最大利润是多少元?
答案
(1) A种哪吒玩偶的单价为20元，B种哪吒玩偶的单价为30元。
(2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元。
(2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元。
解析
【分析】
（1）本题第一问为分式方程应用题，解题时先设A种玩偶单价为x元，结合“一个B种玩偶比A种贵10元”表示出B种玩偶的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出购进A、B两种玩偶的数量，最后利用“2500元购进A的数量是1500元购进B的数量的2.5倍”这一等量关系列方程求解，注意分式方程需检验根的合理性。
（2）第二问为一次函数最值结合不等式的应用题，先设购进A种玩偶m个，对应表示出B种玩偶的数量，根据“总费用不超过3000元”列不等式求出m的取值范围，再根据“总利润=单个利润×销售数量”列出总利润关于m的一次函数，结合一次函数的增减性和m的取值范围即可求出最大利润及对应的进货方案。
【解析】
(1) 设购进A种哪吒玩偶的单价为$ x $元，则购进B种哪吒玩偶的单价为$ (x+10) $元。
根据题意列方程：
$ \frac{2500}{x} = 2.5 × \frac{1500}{x+10} $
化简得：$ \frac{2500}{x} = \frac{3750}{x+10} $
交叉相乘得：$ 2500(x+10) = 3750x $
展开得：$ 2500x + 25000 = 3750x $
移项合并得：$ 1250x = 25000 $
解得：$ x=20 $
检验：当$ x=20 $时，$ x(x+10)=20×30=600≠0 $，所以$ x=20 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B种玩偶单价为：$ x+10=20+10=30 $（元）
(2) 设购进A种哪吒玩偶$ m $个，总获利为$ W $元，则购进B种哪吒玩偶$ (120-m) $个。
首先根据总费用不超过3000元列不等式：
$ 20m + 30(120 - m) ≤ 3000 $
展开得：$ 20m + 3600 - 30m ≤ 3000 $
移项合并得：$ -10m ≤ -600 $
解得：$ m ≥ 60 $
单个A玩偶利润：$ 32 - 20 = 12 $（元），单个B玩偶利润：$ 45 - 30 = 15 $（元）
总利润表达式为：
$ W = 12m + 15(120 - m) = -3m + 1800 $
因为$ k=-3＜0 $，所以$ W $随$ m $的增大而减小，因此当$ m $取最小值60时，$ W $取得最大值。
此时$ W_{\mathrm{最大}} = -3×60 + 1800 = 1620 $（元），B种玩偶数量为$ 120 - 60 = 60 $（个）
【答案】
(1) A种哪吒玩偶的单价为20元，B种哪吒玩偶的单价为30元。
(2) 购进A种玩偶60个，B种玩偶60个时获利最多，最大利润是1620元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值
【点评】
本题属于常见的实际应用类综合题，侧重考查学生提取等量关系、不等关系的能力，解题时需注意分式方程要验根，一次函数求最值时要结合自变量的取值范围分析，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
（1）本题第一问为分式方程应用题，解题时先设A种玩偶单价为x元，结合“一个B种玩偶比A种贵10元”表示出B种玩偶的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出购进A、B两种玩偶的数量，最后利用“2500元购进A的数量是1500元购进B的数量的2.5倍”这一等量关系列方程求解，注意分式方程需检验根的合理性。
（2）第二问为一次函数最值结合不等式的应用题，先设购进A种玩偶m个，对应表示出B种玩偶的数量，根据“总费用不超过3000元”列不等式求出m的取值范围，再根据“总利润=单个利润×销售数量”列出总利润关于m的一次函数，结合一次函数的增减性和m的取值范围即可求出最大利润及对应的进货方案。
【解析】
(1) 设购进A种哪吒玩偶的单价为$ x $元，则购进B种哪吒玩偶的单价为$ (x+10) $元。
根据题意列方程：
$ \frac{2500}{x} = 2.5 × \frac{1500}{x+10} $
化简得：$ \frac{2500}{x} = \frac{3750}{x+10} $
交叉相乘得：$ 2500(x+10) = 3750x $
展开得：$ 2500x + 25000 = 3750x $
移项合并得：$ 1250x = 25000 $
解得：$ x=20 $
检验：当$ x=20 $时，$ x(x+10)=20×30=600≠0 $，所以$ x=20 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B种玩偶单价为：$ x+10=20+10=30 $（元）
(2) 设购进A种哪吒玩偶$ m $个，总获利为$ W $元，则购进B种哪吒玩偶$ (120-m) $个。
首先根据总费用不超过3000元列不等式：
$ 20m + 30(120 - m) ≤ 3000 $
展开得：$ 20m + 3600 - 30m ≤ 3000 $
移项合并得：$ -10m ≤ -600 $
解得：$ m ≥ 60 $
单个A玩偶利润：$ 32 - 20 = 12 $（元），单个B玩偶利润：$ 45 - 30 = 15 $（元）
总利润表达式为：
$ W = 12m + 15(120 - m) = -3m + 1800 $
因为$ k=-3＜0 $，所以$ W $随$ m $的增大而减小，因此当$ m $取最小值60时，$ W $取得最大值。
此时$ W_{\mathrm{最大}} = -3×60 + 1800 = 1620 $（元），B种玩偶数量为$ 120 - 60 = 60 $（个）
【答案】
(1) A种哪吒玩偶的单价为20元，B种哪吒玩偶的单价为30元。
(2) 购进A种玩偶60个，B种玩偶60个时获利最多，最大利润是1620元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值
【点评】
本题属于常见的实际应用类综合题，侧重考查学生提取等量关系、不等关系的能力，解题时需注意分式方程要验根，一次函数求最值时要结合自变量的取值范围分析，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
