疑难点拨
已知$\odot O$的一条弦$AB$的长等于半径,则此弦所对的圆周角$∠ ACB$的度数为.
点拨 思考不全面导致漏解,点$C$可能在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上,也可能在优弧$\overset{\frown}{ACB}$上.

$30°$或$150°$

【分析】首先，已知弦AB等于⊙O的半径，连接OA、OB后可判定△OAB为等边三角形，进而求出弦AB对应的圆心角∠AOB=60°。由于圆上的点C有两种位置（在优弧AB上或劣弧AB上），需分情况利用圆周角定理计算对应的圆周角度数，避免漏解。
【解析】连接OA、OB，
∵AB=OA=OB（弦AB等于⊙O的半径），
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
①当点C在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
②当点C在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，∠ACB所对的弧是优弧$\overset{\frown}{AB}$，优弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为360°-60°=300°，根据圆周角定理，∠ACB=$\frac{1}{2}$×300°=150°。
综上，∠ACB的度数为30°或150°。
【答案】30°或150°
【知识点】圆周角定理，等边三角形判定，圆的弧与圆心角关系
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是需全面考虑圆上点的位置，运用分类讨论思想避免漏解，是易错题，侧重考查思维的严谨性。
【难度系数】0.5

1. 四边形$ABCD$内接于圆,$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$、$∠ D$的度数之比可能是 ()

A.$1:3:2:4$
B.$7:5:10:8$
C.$13:1:5:17$
D.$1:2:3:4$

1. C

【分析】首先，四边形ABCD内接于圆，根据圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，因此∠A与∠C的度数之和等于∠B与∠D的度数之和。由于四个角的度数之比等于对应份数之比，只需判断各选项中“第一个份数+第三个份数”是否等于“第二个份数+第四个份数”，即可筛选出正确答案。
【解析】根据圆内接四边形对角互补的性质，四个角的份数满足：第一个份数 + 第三个份数 = 第二个份数 + 第四个份数。对各选项逐一验证：
选项A：1+2=3，3+4=7，3≠7，不符合；
选项B：7+10=17，5+8=13，17≠13，不符合；
选项C：13+5=18，1+17=18，18=18，符合；
选项D：1+3=4，2+4=6，4≠6，不符合；
因此正确答案为C。
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质，对角互补
【点评】本题考查圆内接四边形的基础性质，解题关键是牢记“对角互补”的性质，通过份数和的对比即可快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.4

2. 在圆的内接四边形$ABCD$中,$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:5$,则$∠ D$的度数是 ()
A. $60°$ B. $120°$ C. $140°$ C. $150°$

2. B

【分析】
要解决本题，需利用圆内接四边形的核心性质：对角互补。首先根据题目给出的角度比例设未知数，再结合对角互补的性质求出未知数的值，最后计算∠D的度数。
【解析】
设∠A = x，∠B = 2x，∠C = 5x。
因为四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A + ∠C = 180°，即：
x + 5x = 180°
解得：x = 30°
所以∠B = 2x = 2×30° = 60°
又因为∠B + ∠D = 180°，所以：
∠D = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质，比例的应用
【点评】
本题考查圆内接四边形的基础性质，属于常规基础题，解题关键是牢记圆内接四边形对角互补的性质，通过设未知数列方程即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7

3. 如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$∠ C=120°$,则$∠ BOD=$.

(第3题) (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) (第8题)

3. $120°$

【分析】
要解决本题，需先利用圆内接四边形的性质求出圆周角∠A的度数，再根据圆周角定理计算圆心角∠BOD的度数，核心是牢记圆内接四边形和圆周角的相关性质。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补）。
已知$∠ C = 120°$，代入得：
$∠ A = 180° - 120° = 60°$。
又
∵ $∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ A$是弧$BD$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×60° = 120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题为圆的基础题型，考查圆内接四边形的对角互补性质和圆周角定理，解题关键是明确同弧对应的圆心角与圆周角的关系，属于学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.6

4. 如图,点$A$、$B$、$C$、$D$都在$\odot O$上,$∠ ABC=90°$,$AD=3$,$CD=2$,则$\odot O$的直径是.

4. $\sqrt{13}$

【分析】要解决本题，首先利用圆内接四边形的对角互补性质，由∠ABC=90°推出∠ADC=90°，再根据“90°的圆周角所对的弦是直径”确定AC为⊙O的直径，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算AC的长度，即可得到圆的直径。
【解析】
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。已知∠ABC=90°，
∴∠ADC=180°−90°=90°，即△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°。根据勾股定理，AC=√(AD² + CD²)=√(3² + 2²)=√13。又
∵90°的圆周角所对的弦是圆的直径，
∴AC是⊙O的直径，故⊙O的直径为√13。
【答案】√13
【知识点】圆内接四边形性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】本题属于圆的基础应用题，核心是利用圆内接四边形性质得到直角，结合圆周角定理确定直径，再用勾股定理计算，思路清晰，难度适中，适合学生掌握基础圆的性质。
【难度系数】0.6

5. 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,过点$B$作$BE// AD$,交$CD$于点$E$.若$∠ BEC=50°$,则$∠ ABC$的度数是 ()

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$150°$

5. C

【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和圆内接四边形的性质逐步推导：首先利用平行线的同位角相等得到∠D的度数，再根据圆内接四边形对角互补的性质计算∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵ BE//AD，
∴ ∠D = ∠BEC = 50°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠ABC = 180° - 50° = 130°。
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查平行线的性质与圆内接四边形的性质，属于基础几何题，需牢记相关几何性质并灵活应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

6. 如图,将一把三角尺放置在$\odot O$中,点$A$、$B$在圆上,$∠ C$为直角,$∠ ABC=60°$,$P$为$\overset{\frown}{AB}$上一点,则$∠ APB$的度数是.

6. $120°$

【分析】要解决本题，需先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合圆的半径相等得到等腰三角形OAB，求出圆心角∠AOB的度数，进而确定优弧AB的度数，最后根据圆周角定理计算∠APB的度数，关键是明确P在劣弧AB上时，∠APB对应优弧AB的圆周角。
【解析】在△ABC中，已知∠C=90°，∠ABC=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°−90°−60°=30°。因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，△OAB为等腰三角形，且∠OAB=∠BAC=30°，因此∠OBA=∠OAB=30°，根据三角形内角和，圆心角∠AOB=180°−30°−30°=120°，即劣弧AB的度数为120°，则优弧AB的度数为360°−120°=240°。由于P为劣弧AB上一点，∠APB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠APB=½×240°=120°。
【答案】120°
【知识点】圆周角定理、三角形内角和、等腰三角形性质
【点评】本题综合考查三角形与圆的相关性质，核心是利用圆周角定理区分优弧和劣弧对应的圆周角关系，需要注意P所在弧的位置，避免混淆角度计算。
【难度系数】0.4

7. 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$AC$、$BD$为对角线,$BD$经过圆心$O$.若$∠ BAC=40°$,则$∠ DBC$的度数为.

7. $50°$

【分析】
要解决本题，需利用圆的相关性质和三角形内角和定理逐步推导：首先根据BD过圆心确定其为直径，结合圆周角定理得到直角；再利用同弧所对圆周角相等找到相等角；最后通过三角形内角和计算目标角度。
【解析】
解：
∵ BD经过圆心O，
∴ BD是⊙O的直径。
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴ ∠BCD = 90°。
又
∵ ∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠BDC = ∠BAC = 40°。
在△BCD中，三角形内角和为180°，
∴ ∠DBC = 180° - ∠BCD - ∠BDC = 180° - 90° - 40° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
圆周角定理，同弧圆周角相等，三角形内角和
【点评】
本题考查圆的基础性质应用，核心是利用直径构造直角，结合同弧圆周角相等的性质，通过三角形内角和求解，属于圆的常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$BC=DC$,$∠ BOC=130°$,则$∠ BAD$的度数是.

8. $130°$

【分析】
要计算∠BAD的度数，需结合圆心角与弧的关系、圆周角定理推导：首先由已知圆心角∠BOC得到弧BC的度数，再根据BC=DC得出弧DC与弧BC相等，进而求出∠BAD所对弧的度数，最后利用圆周角定理计算角度。
【解析】
1. 因为圆心角的度数等于它所对弧的度数，已知∠BOC=130°，所以弧BC的度数为130°。
2. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，又BC=DC，因此弧DC=弧BC=130°。
3. ∠BAD是弧BCD所对的圆周角，弧BCD的度数为弧BC与弧DC的度数和，即130°+130°=260°。
4. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可得∠BAD=1/2×260°=130°。
【答案】
130°
【知识点】
圆心角与弧的关系，圆周角定理，弦弧关系
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心是利用圆心角、弦、弧的关系确定对应弧的度数，再结合圆周角定理求解，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.3

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$、$BC$于点$D$、$E$.
(1) 求证:点$E$是$BC$的中点；
(2) 若$∠ C=70°$,求$∠ ODE$的度数.

9. (1) 证明略 (2) $∠ ODE=70°$.

【分析】
第(1)问要证E是BC中点，利用直径所对圆周角为直角得AE⊥BC，结合等腰三角形AB=AC，用三线合一即可证明；第(2)问先由等腰三角形ABC的角度求出∠BAC，再利用圆的半径相等得到等腰三角形，通过计算圆心角∠DOE，结合等腰三角形ODE的性质求出∠ODE。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AEB = 90°（直径所对的圆周角是直角），即AE⊥BC。
又
∵ AB = AC，
∴ △ABC为等腰三角形，AE是底边BC上的高，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点。
(2) 解：
∵ AB = AC，∠C = 70°，
∴ ∠ABC = ∠C = 70°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 70° - 70° = 40°。
∵ OA = OD（⊙O的半径），
∴ ∠ODA = ∠OAD = 40°，
∴ ∠AOD = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴ ∠DOB = 180° - ∠AOD = 80°（平角定义）。
∵ OB = OE（⊙O的半径），
∴ ∠OEB = ∠OBE = 70°，
∴ ∠BOE = 180° - 70° - 70° = 40°，
∴ ∠DOE = ∠DOB - ∠BOE = 80° - 40° = 40°。
∵ OD = OE（⊙O的半径），
∴ △ODE是等腰三角形，
∴ ∠ODE = (180° - ∠DOE)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°。
【答案】
(1) 证明略；(2) ∠ODE=70°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三线合一
【点评】
本题综合考查圆的性质与等腰三角形的性质，需熟练运用直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一及等腰三角形内角和等知识点，逐步推导角度，难度适中。
【难度系数】
0.6