登录
18. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为
2
.答案
18.2
解析
【分析】
解题时先结合函数图象确定△APD的最大面积为4，对应点P运动到点C的位置，此时△APD的面积即△ACD的面积。利用等腰直角三角形的性质和D是AB中点的条件，先求出直角边AC、BC的长度，再根据点P是CB中点、D是AB中点的身份，用三角形中位线定理即可求出PD的长度。
【解析】
设等腰直角△ABC的直角边$AC=BC=a$。
∵D是AB的中点，当点P运动到C点时，△APD的面积取得最大值4，即$S_{△ ACD}=4$。
∵D为AB中点，
∴点D到AC的距离等于BC长度的一半，即$\frac{a}{2}$。
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × \frac{a}{2} = \frac{1}{2} × a × \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = 4$，解得$a=4$（边长为正，舍去负解），即$AC=BC=4$。
当点P运动到CB的中点时，P为BC中点，又D为AB中点，
∴PD是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理，得$PD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形中位线定理，动点图象分析
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，解题的关键是准确理解函数图象最高点的实际意义，求出三角形的边长后结合几何定理求解，较好地考查了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先结合函数图象确定△APD的最大面积为4，对应点P运动到点C的位置，此时△APD的面积即△ACD的面积。利用等腰直角三角形的性质和D是AB中点的条件，先求出直角边AC、BC的长度，再根据点P是CB中点、D是AB中点的身份，用三角形中位线定理即可求出PD的长度。
【解析】
设等腰直角△ABC的直角边$AC=BC=a$。
∵D是AB的中点，当点P运动到C点时，△APD的面积取得最大值4，即$S_{△ ACD}=4$。
∵D为AB中点，
∴点D到AC的距离等于BC长度的一半，即$\frac{a}{2}$。
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × \frac{a}{2} = \frac{1}{2} × a × \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = 4$，解得$a=4$（边长为正，舍去负解），即$AC=BC=4$。
当点P运动到CB的中点时，P为BC中点，又D为AB中点，
∴PD是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理，得$PD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形中位线定理，动点图象分析
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，解题的关键是准确理解函数图象最高点的实际意义，求出三角形的边长后结合几何定理求解，较好地考查了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
19.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,y均为正整数.例如，点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10)，经过第2次运算得到点(10,5)，以此类推.则点(1,4)经过2024次运算后得到点
$(2,1)$
.答案
19.$(2,1)$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确冰雹猜想的运算规则：正整数为奇数时乘3加1，为偶数时除以2，点的横纵坐标分别按该规则独立运算。我们先计算点(1,4)前几次运算后的结果，找到其循环周期，再用总运算次数2024除以周期，根据余数即可确定第2024次运算后的点坐标。
【解析】
我们逐步计算点(1,4)每次运算后的坐标：
初始状态（运算0次）：点坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$
第1次运算：
横坐标1是奇数，运算得$3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，运算得$4÷2=2$，得到点$\boldsymbol{(4,2)}$
第2次运算：
横坐标4是偶数，运算得$4÷2=2$；纵坐标2是偶数，运算得$2÷2=1$，得到点$\boldsymbol{(2,1)}$
第3次运算：
横坐标2是偶数，运算得$2÷2=1$；纵坐标1是奇数，运算得$3×1+1=4$，得到点$\boldsymbol{(1,4)}$
可见每3次运算为一个循环周期，周期$T=3$。
计算$2024÷3=674······2$，即2024次运算包含674个完整周期，余2次运算，对应周期内第2次运算的结果。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题结合趣味数学“冰雹猜想”设置问题，侧重考查运算能力和归纳探究能力，解题核心是通过计算前几组结果找到循环周期，再利用周期性质求解，只要运算细心、找准周期就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确冰雹猜想的运算规则：正整数为奇数时乘3加1，为偶数时除以2，点的横纵坐标分别按该规则独立运算。我们先计算点(1,4)前几次运算后的结果，找到其循环周期，再用总运算次数2024除以周期，根据余数即可确定第2024次运算后的点坐标。
【解析】
我们逐步计算点(1,4)每次运算后的坐标：
初始状态（运算0次）：点坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$
第1次运算：
横坐标1是奇数，运算得$3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，运算得$4÷2=2$，得到点$\boldsymbol{(4,2)}$
第2次运算：
横坐标4是偶数，运算得$4÷2=2$；纵坐标2是偶数，运算得$2÷2=1$，得到点$\boldsymbol{(2,1)}$
第3次运算：
横坐标2是偶数，运算得$2÷2=1$；纵坐标1是奇数，运算得$3×1+1=4$，得到点$\boldsymbol{(1,4)}$
可见每3次运算为一个循环周期，周期$T=3$。
计算$2024÷3=674······2$，即2024次运算包含674个完整周期，余2次运算，对应周期内第2次运算的结果。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题结合趣味数学“冰雹猜想”设置问题，侧重考查运算能力和归纳探究能力，解题核心是通过计算前几组结果找到循环周期，再利用周期性质求解，只要运算细心、找准周期就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
20.某造纸厂每小时造纸1.5 t.
(1)把下表填写完整.
(2)根据表中的数据,在图中描出造纸吨数和造纸时间对应的点,再把它们连起来.
(3)根据图象判断5 h造纸多少吨.
(1)把下表填写完整.
(2)根据表中的数据,在图中描出造纸吨数和造纸时间对应的点,再把它们连起来.
(3)根据图象判断5 h造纸多少吨.
答案
20.(1)3 4.5 6
(2)
(3)7.5 t.
解析
【分析】
本题围绕造纸的工作场景展开，已知造纸效率固定为1.5t/h，工作总量和工作时间成正比例关系。解题思路如下：①第一问利用“工作总量=工作效率×工作时间”的公式，代入对应时间即可算出对应造纸吨数；②第二问将第一问得到的时间、吨数作为横、纵坐标，在坐标系中描出对应点，因二者是正比例关系，所有点共线，依次连线即可得到图像；③第三问可直接用上述公式代入5h计算，也可通过延伸图像读取x=5对应的纵轴数值得到结果。
【解析】
(1) 由造纸总吨数=每小时造纸吨数×时间，得：
2小时造纸量：$1.5×2=3\mathrm{(t)}$
3小时造纸量：$1.5×3=4.5\mathrm{(t)}$
4小时造纸量：$1.5×4=6\mathrm{(t)}$
故表格依次填入3、4.5、6。
(2) 以横轴时间为横坐标，纵轴吨数为纵坐标，依次描出(1,1.5)、(2,3)、(3,4.5)、(4,6)各点，再将点顺次连接得到过原点的直线，结果为。
(3) 方法一：代入公式计算，5小时造纸量为$1.5×5=7.5\mathrm{(t)}$；
方法二：将所得直线延伸，找到横坐标为5时对应的纵坐标数值为7.5，即造纸7.5t。
【答案】
20.(1)3 4.5 6
(2)
(3)7.5 t.
【知识点】
正比例关系、函数图像绘制、工程问题计算
【点评】
本题结合实际生产场景，既考查了正比例关系的计算应用，也锻炼了学生的作图、读图能力，解题逻辑清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
本题围绕造纸的工作场景展开，已知造纸效率固定为1.5t/h，工作总量和工作时间成正比例关系。解题思路如下：①第一问利用“工作总量=工作效率×工作时间”的公式，代入对应时间即可算出对应造纸吨数；②第二问将第一问得到的时间、吨数作为横、纵坐标，在坐标系中描出对应点，因二者是正比例关系，所有点共线，依次连线即可得到图像；③第三问可直接用上述公式代入5h计算，也可通过延伸图像读取x=5对应的纵轴数值得到结果。
【解析】
(1) 由造纸总吨数=每小时造纸吨数×时间，得：
2小时造纸量：$1.5×2=3\mathrm{(t)}$
3小时造纸量：$1.5×3=4.5\mathrm{(t)}$
4小时造纸量：$1.5×4=6\mathrm{(t)}$
故表格依次填入3、4.5、6。
(2) 以横轴时间为横坐标，纵轴吨数为纵坐标，依次描出(1,1.5)、(2,3)、(3,4.5)、(4,6)各点，再将点顺次连接得到过原点的直线，结果为
。(3) 方法一：代入公式计算，5小时造纸量为$1.5×5=7.5\mathrm{(t)}$；
方法二：将所得直线延伸，找到横坐标为5时对应的纵坐标数值为7.5，即造纸7.5t。
【答案】
20.(1)3 4.5 6
(2)
(3)7.5 t.
【知识点】
正比例关系、函数图像绘制、工程问题计算
【点评】
本题结合实际生产场景，既考查了正比例关系的计算应用，也锻炼了学生的作图、读图能力，解题逻辑清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
