8. 如图,点$E$是$△ ABC$的外心,$P,Q$分别是$AB,AC$的中点,连接$EP,EQ$分别交$BC$于点$F,D$.若$BF=5,DF=3,CD=4$,则$△ ABC$的面积为（）

A.18
B.24
C.30
D.36

8.B

9. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B,P$的坐标分别为$(1,0),(2,5),(4,2)$.若点$C$在第一象限,且横坐标、纵坐标均为整数,点$P$是$△ ABC$的外心,则点$C$的坐标为.

9.$(7,4)$或$(6,5)$或$(1,4)$

10. 半径为 5 的$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$AB=AC$，连接$OB$，$OC$，延长$CO$交弦$AB$于点$D$. 若$△ OBD$是直角三角形，则弦$BC$的长为.

10.$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$

11. 如图,残破的圆形轮片上,弦$AB$的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$,交弦$AB$于点$D$.$AB=24\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$.
(1)求作此残片所在的圆;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.

11.解:(1)⊙O即为残片所在的圆,如答图.

(2)如答图,连接OA,设OA=x cm,由题意,得AD=12 cm,OD=(x−8)cm,根据勾股定理,得$x^2=12^2+(x-8)^2$,解得x=13,即(1)中所作圆的半径为13 cm.

12. 如图,在半径为 8 的$\odot O$中,弦$AB=8\sqrt{2}$,C 是劣弧 AB 上的一个动点,D 是弦 AC 的中点,E是弦 BC 的中点,P 是半径 OC 的中点.
(1)求$∠ AOB$的度数,并说明点 P 为$△ ODE$的外心;
(2)当点 C 沿着劣弧 AB 从点 A 开始,逆时针运动到点 B 时,请直接写出$△ ODE$面积的取值范围.

12.解:(1)如答图①,连接PD,PE.
$\because AB^2=128,OA^2+OB^2=128,\therefore AB^2=OA^2+OB^2$,
$\therefore△ AOB$是直角三角形,$∠ AOB=90°$.
$\because D$是弦AC的中点,E是弦BC的中点,$OA=OB=OC,\therefore OD⊥ AC,OE⊥ BC,\therefore∠ ODC=∠ OEC=90°$.
$\because P$是OC的中点,$\therefore PD=PO=PC=PE$,
$\therefore$点P为$△ ODE$的外心.
(2)如答图②,过点O作$OH⊥ DE$于点H,交AB于点F.$\because D$是弦AC的中点,E是弦BC的中点,$\therefore AD=CD,BE=CE,\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB=4\sqrt{2},DE// AB,\therefore OF⊥ AB,\therefore OF=4\sqrt{2}$.$\because OH⊥ DE,\therefore OH＞OF$,即$OH＞4\sqrt{2}$.当C为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,点O,F,H,C共线,$OC=8$,$OF=4\sqrt{2}$,$\therefore FH=HC=\dfrac{1}{2}FC=\dfrac{1}{2}(OC-OF)=\dfrac{1}{2}×(8-4\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}$,$\therefore OH=OF+FH=4\sqrt{2}+4-2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$,此时OH取得最大值,$\therefore 4\sqrt{2}＜OH≤4+2\sqrt{2}$.$\because S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}DE· OH$,$\therefore 16＜S_{△ ODE}≤8\sqrt{2}+8$.