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10. (2025·泰兴期中)已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-x-2=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$取最小的正整数时,求方程的根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$取最小的正整数时,求方程的根.
答案
10.解:(1)$\because$一元二次方程$mx^{2}-x-2=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×m×(-2)＞0$且$m≠0,$
所以$m＞-\frac{1}{8}$且$m≠0.$
(2)$\because m＞-\frac{1}{8}$且$m≠0$,$m$取最小的正整数,$\therefore m=1.$
$\therefore$方程为$x^{2}-x-2=0,$
解得$x_{1}=2,x_{2}=-1.$
$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×m×(-2)＞0$且$m≠0,$
所以$m＞-\frac{1}{8}$且$m≠0.$
(2)$\because m＞-\frac{1}{8}$且$m≠0$,$m$取最小的正整数,$\therefore m=1.$
$\therefore$方程为$x^{2}-x-2=0,$
解得$x_{1}=2,x_{2}=-1.$
11. (2025·姑苏区期中)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+4-m^2=0$.
(1)求证:不论 $m$ 为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两根均不小于 1,求 $m$ 的取值范围.
(1)求证:不论 $m$ 为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两根均不小于 1,求 $m$ 的取值范围.
答案
11.(1)证明:$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(4-m^{2})=16-16+4m^{2}=4m^{2}≥0,$
$\therefore$不论$m$为何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because x^{2}-4x+4-m^{2}=0,\therefore (x-2)^{2}=m^{2},$
$\therefore x-2=\pm m,\therefore x_{1}=2+m,x_{2}=2-m.$
$\because$两根均不小于1,
$\therefore \begin{cases} 2+m≥1, \\ 2-m≥1, \end{cases}$
解得$-1≤m≤1,$
即$m$的取值范围为$-1≤m≤1.$
$\therefore$不论$m$为何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because x^{2}-4x+4-m^{2}=0,\therefore (x-2)^{2}=m^{2},$
$\therefore x-2=\pm m,\therefore x_{1}=2+m,x_{2}=2-m.$
$\because$两根均不小于1,
$\therefore \begin{cases} 2+m≥1, \\ 2-m≥1, \end{cases}$
解得$-1≤m≤1,$
即$m$的取值范围为$-1≤m≤1.$
12. 已知关于 $x$ 的方程 $ax^2+2x-3=0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $a$ 的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为 2,求 $a$ 的值；
(3)直接写出所有不大于 5 的正整数 $a$ 的值,使原方程的两个根均为有理数.
(1)求 $a$ 的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为 2,求 $a$ 的值；
(3)直接写出所有不大于 5 的正整数 $a$ 的值,使原方程的两个根均为有理数.
答案
12.解:(1)根据题意,得$a≠0$且$b^{2}-4ac=2^{2}-4a×(-3)＞0,$解得$a＞-\frac{1}{3}$且$a≠0.$
(2)把$x=2$代入$ax^{2}+2x-3=0,$得$4a+4-3=0,$解得$a=-\frac{1}{4}.$
(3)当$b^{2}-4ac=4+12a$为完全平方数时,原方程的两个根均为有理数，
当$a=1$时,$b^{2}-4ac=4+12=16;$
当$a=2$时,$b^{2}-4ac=4+24=28$(舍去);
当$a=3$时,$b^{2}-4ac=4+36=40$(舍去);
当$a=4$时,$b^{2}-4ac=4+48=52$(舍去);
当$a=5$时,$b^{2}-4ac=4+60=64.$
综上所述,当$a$的值为1或5时,原方程的两个根均为有理数.
(2)把$x=2$代入$ax^{2}+2x-3=0,$得$4a+4-3=0,$解得$a=-\frac{1}{4}.$
(3)当$b^{2}-4ac=4+12a$为完全平方数时,原方程的两个根均为有理数，
当$a=1$时,$b^{2}-4ac=4+12=16;$
当$a=2$时,$b^{2}-4ac=4+24=28$(舍去);
当$a=3$时,$b^{2}-4ac=4+36=40$(舍去);
当$a=4$时,$b^{2}-4ac=4+48=52$(舍去);
当$a=5$时,$b^{2}-4ac=4+60=64.$
综上所述,当$a$的值为1或5时,原方程的两个根均为有理数.
13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2k+1)x+5(k-\dfrac{3}{4})=0.$
(1)求证:无论 $k$ 取何值,该方程总有实数根;
(2)若等腰 $△ ABC$ 的一边长 $a=4$,另两边长 $b,c$ 恰好是该方程的两个根,求 $△ ABC$ 的周长.
(1)求证:无论 $k$ 取何值,该方程总有实数根;
(2)若等腰 $△ ABC$ 的一边长 $a=4$,另两边长 $b,c$ 恰好是该方程的两个根,求 $△ ABC$ 的周长.
答案
13.(1)证明:$b^{2}-4ac=[-(2k+1)]^{2}-4×5(k-\frac{3}{4})=4(k-2)^{2}.$
$\because 4(k-2)^{2}≥0,$即$b^{2}-4ac≥0,$
$\therefore$无论$k$取何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because △ ABC$是等腰三角形,$a=4,$
$\therefore b=c$或$b,c$中有一个为4.
①当$b=c$时,$4(k-2)^{2}=0$,则$k=2$,方程化为$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{5}{2}$,
而$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5＞4,\therefore \frac{5}{2},\frac{5}{2},4$能构成三角形,
则$△ ABC$的周长为$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4=9;$
②当$b=a=4$或$c=a=4$时,
把$x=4$代入方程,得$16-4(2k+1)+5(k-\frac{3}{4})=0,$
解得$k=\frac{11}{4}$,方程化为$x^{2}-\frac{13}{2}x+10=0$,解得$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=4$.$\because 4,4,\frac{5}{2}$能构成三角形,$\therefore △ ABC$的周长为$4+4+\frac{5}{2}=\frac{21}{2}.$
综上所述,$△ ABC$的周长为9或$\frac{21}{2}.$
$\because 4(k-2)^{2}≥0,$即$b^{2}-4ac≥0,$
$\therefore$无论$k$取何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because △ ABC$是等腰三角形,$a=4,$
$\therefore b=c$或$b,c$中有一个为4.
①当$b=c$时,$4(k-2)^{2}=0$,则$k=2$,方程化为$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{5}{2}$,
而$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5＞4,\therefore \frac{5}{2},\frac{5}{2},4$能构成三角形,
则$△ ABC$的周长为$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4=9;$
②当$b=a=4$或$c=a=4$时,
把$x=4$代入方程,得$16-4(2k+1)+5(k-\frac{3}{4})=0,$
解得$k=\frac{11}{4}$,方程化为$x^{2}-\frac{13}{2}x+10=0$,解得$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=4$.$\because 4,4,\frac{5}{2}$能构成三角形,$\therefore △ ABC$的周长为$4+4+\frac{5}{2}=\frac{21}{2}.$
综上所述,$△ ABC$的周长为9或$\frac{21}{2}.$
