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7. 将一张矩形的纸对折两次，然后剪下以折点为顶点的角，剪下的图形展开后一定是.
答案
菱形
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠属于轴对称变换，折叠前后图形的对应边长度相等。矩形对折两次后，两次折痕互相垂直且交于折点，此时纸张被分为4层完全重合的部分；剪下以折点为顶点的角时，剪出来的边会在4层纸上各留下一条，展开后这四条边长度相等，再结合特殊四边形的判定规则，即可确定展开后的图形形状。
【解析】
1. 矩形对折两次的过程属于两次轴对称变换，两次的折痕互相垂直，且相交于公共折点，此时折叠后共有4层完全重合的纸张；
2. 剪下以折点为顶点的角时，每层纸上被剪出的边长度完全相等，展开图形后，得到的四边形的4条边均等于剪痕的长度，即该四边形四条边相等；
3. 根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，因此剪下的图形展开后为菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
折叠的性质；菱形的判定
【点评】
本题结合生活中的折纸操作考查几何知识，需要同学们将动手实践和几何判定规则相结合，掌握折叠前后对应边相等的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠属于轴对称变换，折叠前后图形的对应边长度相等。矩形对折两次后，两次折痕互相垂直且交于折点，此时纸张被分为4层完全重合的部分；剪下以折点为顶点的角时，剪出来的边会在4层纸上各留下一条，展开后这四条边长度相等，再结合特殊四边形的判定规则，即可确定展开后的图形形状。
【解析】
1. 矩形对折两次的过程属于两次轴对称变换，两次的折痕互相垂直，且相交于公共折点，此时折叠后共有4层完全重合的纸张；
2. 剪下以折点为顶点的角时，每层纸上被剪出的边长度完全相等，展开图形后，得到的四边形的4条边均等于剪痕的长度，即该四边形四条边相等；
3. 根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，因此剪下的图形展开后为菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
折叠的性质；菱形的判定
【点评】
本题结合生活中的折纸操作考查几何知识，需要同学们将动手实践和几何判定规则相结合，掌握折叠前后对应边相等的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB，CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//DB，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为
菱形
。答案
7. 菱形
9. 若矩形的对称中心到两边的距离差为4 cm，周长为56 cm，则矩形的边长分别为
$\frac{8}{3}$
。答案
8. $\frac{8}{3}$
三、解答题
10. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。
10. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。
答案
9. 10 cm，18 cm
解析
【分析】
首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数），同时多边形任意一个外角的取值范围是$0°＜外角＜180°$。我们可以设边数为n，外角度数为x，根据题意列出等式，再结合外角的取值范围列不等式组，求出n的取值范围，最后根据n是正整数确定最终结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n，多加的这个外角度数为$x°$，则$0＜x＜180$。
根据题意列等式：
$(n-2)×180 + x = 1350$
整理得：$x = 1350 - 180(n-2)$
结合x的取值范围列不等式组：
$\begin{cases}1350 - 180(n-2) ＞ 0 \\1350 - 180(n-2) ＜ 180 \end{cases}$
解第一个不等式：
$180(n-2) ＜ 1350$
$n-2 ＜ 7.5$
$n ＜ 9.5$
解第二个不等式：
$1350 - 180 ＜ 180(n-2)$
$1170 ＜ 180(n-2)$
$n-2 ＞ 6.5$
$n ＞ 8.5$
因为n为正整数，所以$n=9$。
【答案】
9
【知识点】
多边形内角和公式，不等式组应用
【点评】
解题的核心是利用多边形外角的取值范围建立不等式，避免直接计算出现多解，同时注意多边形边数必须是正整数，需要对取值范围的结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.65
首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数），同时多边形任意一个外角的取值范围是$0°＜外角＜180°$。我们可以设边数为n，外角度数为x，根据题意列出等式，再结合外角的取值范围列不等式组，求出n的取值范围，最后根据n是正整数确定最终结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n，多加的这个外角度数为$x°$，则$0＜x＜180$。
根据题意列等式：
$(n-2)×180 + x = 1350$
整理得：$x = 1350 - 180(n-2)$
结合x的取值范围列不等式组：
$\begin{cases}1350 - 180(n-2) ＞ 0 \\1350 - 180(n-2) ＜ 180 \end{cases}$
解第一个不等式：
$180(n-2) ＜ 1350$
$n-2 ＜ 7.5$
$n ＜ 9.5$
解第二个不等式：
$1350 - 180 ＜ 180(n-2)$
$1170 ＜ 180(n-2)$
$n-2 ＞ 6.5$
$n ＞ 8.5$
因为n为正整数，所以$n=9$。
【答案】
9
【知识点】
多边形内角和公式，不等式组应用
【点评】
解题的核心是利用多边形外角的取值范围建立不等式，避免直接计算出现多解，同时注意多边形边数必须是正整数，需要对取值范围的结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.65
11. 如图所示，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，FE//AD交DC于点E.
（1）四边形AFED是菱形吗？请说明理由.
（2）如果∠A＝60°，AD＝5，求四边形AFED的面积.
（1）四边形AFED是菱形吗？请说明理由.
（2）如果∠A＝60°，AD＝5，求四边形AFED的面积.
答案
10. 解：设这个外角度数为$x°$，根据题意，得 $(n-2) × 180+x=1\ 350$，解得：$x=1\ 350-180n+360=1\ 710-180n$，由于$0＜x＜180$，即$0＜1\ 710-180n＜180$，解得$8.5＜n＜9.5$，所以$n=9$。故多边形的边数是9.
12. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于点F，试证明BE=CF+AE. 
答案
12. 证明：延长DA至点G使AG=CF，连接BG. 在$△ ABG$和$△ CBF$中，$\because CF=AG$，$∠ C=∠ BAG$，$CB=AB$，$\therefore △ ABG ≌ △ CBF$，$\therefore ∠ BFC=∠ BGA$，$∠ CBF=∠ ABG$ . $\because BF$平分$∠ CBE$交CD于点F，$\therefore ∠ CBF=∠ EBF$，$\therefore ∠ ABG=∠ EBF$ . $\because AB // DC$，$\therefore ∠ ABF=∠ BFC$，$\therefore ∠ EBG=∠ BFC$ . $\therefore ∠ EBG=∠ BGA$ . $\therefore BE=GE$，$\therefore BE=CF+AE$.
解析
【分析】
要证明BE=CF+AE，属于线段和差类证明问题，通常采用截长补短法解决。结合正方形边相等、内角为直角的特点，我们选择“补短”的思路：延长DA到点G，使AG=CF，即可将CF+AE转化为线段GE，后续只需证明BE=GE即可。首先利用SAS证明△ABG和△CBF全等，得到对应角相等，再结合角平分线的定义、平行线的内错角相等推导角的等量关系，最后利用等角对等边证明BE=GE，即可得到结论。
【解析】
证明：延长DA至点G使AG=CF，连接BG。
在$△ ABG$和$△ CBF$中，
$\because CF=AG$，$∠ C=∠ BAG=90°$，$CB=AB$，
$\therefore △ ABG ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BFC=∠ BGA$，$∠ CBF=∠ ABG$。
$\because BF$平分$∠ CBE$，
$\therefore ∠ CBF=∠ EBF$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EBF$。
$\because AB // DC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ BFC$，
又$∠ EBG=∠ ABG+∠ ABE=∠ EBF+∠ ABE=∠ ABF$，
$\therefore ∠ EBG=∠ BFC=∠ BGA$，
$\therefore BE=GE$。
$\because GE=AG+AE=CF+AE$，
$\therefore BE=CF+AE$。
【答案】
证明：延长DA至点G使AG=CF，连接BG. 在$△ ABG$和$△ CBF$中，$\because CF=AG$，$∠ C=∠ BAG$，$CB=AB$，$\therefore △ ABG ≌ △ CBF$，$\therefore ∠ BFC=∠ BGA$，$∠ CBF=∠ ABG$ . $\because BF$平分$∠ CBE$交CD于点F，$\therefore ∠ CBF=∠ EBF$，$\therefore ∠ ABG=∠ EBF$ . $\because AB // DC$，$\therefore ∠ ABF=∠ BFC$，$\therefore ∠ EBG=∠ BFC$ . $\therefore ∠ EBG=∠ BGA$ . $\therefore BE=GE$，$\therefore BE=CF+AE$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短的辅助线构造方法，同时融合了角平分线、平行线的性质，能有效提升几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
要证明BE=CF+AE，属于线段和差类证明问题，通常采用截长补短法解决。结合正方形边相等、内角为直角的特点，我们选择“补短”的思路：延长DA到点G，使AG=CF，即可将CF+AE转化为线段GE，后续只需证明BE=GE即可。首先利用SAS证明△ABG和△CBF全等，得到对应角相等，再结合角平分线的定义、平行线的内错角相等推导角的等量关系，最后利用等角对等边证明BE=GE，即可得到结论。
【解析】
证明：延长DA至点G使AG=CF，连接BG。
在$△ ABG$和$△ CBF$中，
$\because CF=AG$，$∠ C=∠ BAG=90°$，$CB=AB$，
$\therefore △ ABG ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BFC=∠ BGA$，$∠ CBF=∠ ABG$。
$\because BF$平分$∠ CBE$，
$\therefore ∠ CBF=∠ EBF$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EBF$。
$\because AB // DC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ BFC$，
又$∠ EBG=∠ ABG+∠ ABE=∠ EBF+∠ ABE=∠ ABF$，
$\therefore ∠ EBG=∠ BFC=∠ BGA$，
$\therefore BE=GE$。
$\because GE=AG+AE=CF+AE$，
$\therefore BE=CF+AE$。
【答案】
证明：延长DA至点G使AG=CF，连接BG. 在$△ ABG$和$△ CBF$中，$\because CF=AG$，$∠ C=∠ BAG$，$CB=AB$，$\therefore △ ABG ≌ △ CBF$，$\therefore ∠ BFC=∠ BGA$，$∠ CBF=∠ ABG$ . $\because BF$平分$∠ CBE$交CD于点F，$\therefore ∠ CBF=∠ EBF$，$\therefore ∠ ABG=∠ EBF$ . $\because AB // DC$，$\therefore ∠ ABF=∠ BFC$，$\therefore ∠ EBG=∠ BFC$ . $\therefore ∠ EBG=∠ BGA$ . $\therefore BE=GE$，$\therefore BE=CF+AE$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短的辅助线构造方法，同时融合了角平分线、平行线的性质，能有效提升几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
