登录
12. 一个长方体长 30 厘米，宽 20 厘米，高 12 厘米，按如图所示切三刀后，变成 8 个小长方体。这些小长方体的表面积之和是多少平方厘米？
答案
12. $(30×20+30×12+20×12)×2×2=4800(cm^2)$
解析
【分析】
首先回忆长方体表面积的计算公式，再明确切割长方体时的表面积变化规律：每切1刀，会新露出2个和切面平行的面，也就是表面积会增加2个对应面的面积。观察图中的三刀，分别平行于长方体的上下面（长×宽的面）、前后面（长×高的面）、左右面（宽×高的面），因此切完三刀后，新增的面积刚好是2个长×宽的面+2个长×高的面+2个宽×高的面，正好等于1个原来长方体的表面积，所以8个小长方体的总表面积等于原长方体表面积的2倍，用整体法计算即可，无需逐个计算小长方体的表面积。
【解析】
长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中$a=30\mathrm{cm}$，$b=20\mathrm{cm}$，$h=12\mathrm{cm}$。
切三刀后新增的面积等于1个原长方体的表面积，因此总表面积是原表面积的2倍，列式得：
$\begin{aligned}&(30×20+30×12+20×12)×2×2\\=&(600+360+240)×2×2\\=&1200×4\\=&4800(\mathrm{平方厘米})\end{aligned}$
【答案】
4800平方厘米
【知识点】
1.长方体表面积计算 2.切割后表面积变化 3.整数四则运算
【点评】
本题解题关键是掌握立体图形切割的表面积变化规律，用整体法计算比逐个计算小长方体表面积更简便，避免了复杂的拆分计算。
【难度系数】
0.6
首先回忆长方体表面积的计算公式，再明确切割长方体时的表面积变化规律：每切1刀，会新露出2个和切面平行的面，也就是表面积会增加2个对应面的面积。观察图中的三刀，分别平行于长方体的上下面（长×宽的面）、前后面（长×高的面）、左右面（宽×高的面），因此切完三刀后，新增的面积刚好是2个长×宽的面+2个长×高的面+2个宽×高的面，正好等于1个原来长方体的表面积，所以8个小长方体的总表面积等于原长方体表面积的2倍，用整体法计算即可，无需逐个计算小长方体的表面积。
【解析】
长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中$a=30\mathrm{cm}$，$b=20\mathrm{cm}$，$h=12\mathrm{cm}$。
切三刀后新增的面积等于1个原长方体的表面积，因此总表面积是原表面积的2倍，列式得：
$\begin{aligned}&(30×20+30×12+20×12)×2×2\\=&(600+360+240)×2×2\\=&1200×4\\=&4800(\mathrm{平方厘米})\end{aligned}$
【答案】
4800平方厘米
【知识点】
1.长方体表面积计算 2.切割后表面积变化 3.整数四则运算
【点评】
本题解题关键是掌握立体图形切割的表面积变化规律，用整体法计算比逐个计算小长方体表面积更简便，避免了复杂的拆分计算。
【难度系数】
0.6
13. 如图,魔方的棱长为9厘米。在游戏过程中,魔方表面掉了一个小方块。破损后的魔方表面积是多少?(圆角及连接缝隙忽略不计)
答案
13. 面的正中间掉:$9×9×6+3×3×4=522(cm^2)$ 角上掉:$9×9×6=486(cm^2)$
边上中间掉:$9×9×6+3×3×2=504(cm^2)$
边上中间掉:$9×9×6+3×3×2=504(cm^2)$
解析
【分析】
首先明确该魔方是3×3×3的正方体，先计算出单个小方块的棱长为9÷3=3cm，再先算出完整魔方的表面积，正方体表面积公式为棱长×棱长×6。接下来需要分三种情况讨论掉落小方块的位置：不同位置的小方块原本外露的面数不同，掉落后凹陷处露出的面数也不同，表面积变化存在差异：
1. 若小方块在角上掉落：原角上小方块外露3个面，掉落后凹陷处也露出3个面，表面积和原魔方一致；
2. 若小方块在棱的中间（非角位置）掉落：原外露2个面，掉落后凹陷处露出4个面，表面积增加2个小正方形的面积；
3. 若小方块在面的正中间掉落：原外露1个面，掉落后凹陷处露出5个面，表面积增加4个小正方形的面积。
按照三类情况分别计算即可得到结果。
【解析】
第一步：计算单个小方块棱长：$9÷3=3(\mathrm{cm})$
第二步：计算完整魔方的表面积：$9×9×6=486(\mathrm{cm}^2)$
第三步：分情况计算破损后表面积：
1. 小方块在角上掉落：
角上小方块原外露3个面，掉落凹陷处新增3个面，表面积和原魔方相等，为$486\mathrm{cm}^2$；
2. 小方块在棱的中间掉落：
原外露2个面，掉落凹陷处新增4个面，新增2个小正方形的面积：
$486 + 3×3×2=486+18=504(\mathrm{cm}^2)$
3. 小方块在面的正中间掉落：
原外露1个面，掉落凹陷处新增5个面，新增4个小正方形的面积：
$486 + 3×3×4=486+36=522(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
分三种情况：①角上掉：$486\mathrm{cm}^2$；②边上中间掉：$504\mathrm{cm}^2$；③面的正中间掉：$522\mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，立体图形表面积变化，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略小方块掉落的不同位置，直接默认单一情况计算，解题时要结合立体图形不同位置的面的外露特征，分类讨论判断表面积的增减，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确该魔方是3×3×3的正方体，先计算出单个小方块的棱长为9÷3=3cm，再先算出完整魔方的表面积，正方体表面积公式为棱长×棱长×6。接下来需要分三种情况讨论掉落小方块的位置：不同位置的小方块原本外露的面数不同，掉落后凹陷处露出的面数也不同，表面积变化存在差异：
1. 若小方块在角上掉落：原角上小方块外露3个面，掉落后凹陷处也露出3个面，表面积和原魔方一致；
2. 若小方块在棱的中间（非角位置）掉落：原外露2个面，掉落后凹陷处露出4个面，表面积增加2个小正方形的面积；
3. 若小方块在面的正中间掉落：原外露1个面，掉落后凹陷处露出5个面，表面积增加4个小正方形的面积。
按照三类情况分别计算即可得到结果。
【解析】
第一步：计算单个小方块棱长：$9÷3=3(\mathrm{cm})$
第二步：计算完整魔方的表面积：$9×9×6=486(\mathrm{cm}^2)$
第三步：分情况计算破损后表面积：
1. 小方块在角上掉落：
角上小方块原外露3个面，掉落凹陷处新增3个面，表面积和原魔方相等，为$486\mathrm{cm}^2$；
2. 小方块在棱的中间掉落：
原外露2个面，掉落凹陷处新增4个面，新增2个小正方形的面积：
$486 + 3×3×2=486+18=504(\mathrm{cm}^2)$
3. 小方块在面的正中间掉落：
原外露1个面，掉落凹陷处新增5个面，新增4个小正方形的面积：
$486 + 3×3×4=486+36=522(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
分三种情况：①角上掉：$486\mathrm{cm}^2$；②边上中间掉：$504\mathrm{cm}^2$；③面的正中间掉：$522\mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，立体图形表面积变化，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略小方块掉落的不同位置，直接默认单一情况计算，解题时要结合立体图形不同位置的面的外露特征，分类讨论判断表面积的增减，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14. 如图,圆柱底面直径为$\frac{6}{π}$分米,高为4分米。如果一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到B点,它爬的最短距离是多少分米?
下面的方法你想到了吗?
下面的方法你想到了吗?
答案
14. 5dm
解析
【分析】
要计算蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离，首先需要把曲面路径转化为平面路径来求解：圆柱侧面是曲面，直接找最短路径不好计算，而平面内两点之间线段最短，所以我们可以先把圆柱的侧面展开成一个长方形。接下来需要确定展开图中A、B两点对应的位置：水平方向的距离是圆柱底面周长的一半（因为A、B在圆柱轴向的对面位置，爬行半周即可到达），竖直方向的距离就是圆柱的高，最后用直角三角形的边长关系就能算出最短路径的长度。
【解析】
步骤1：计算圆柱底面的周长
圆的周长公式为$C=π d$，已知底面直径$d=\frac{6}{π}$分米，代入得：
$C=π×\frac{6}{π}=6$（分米）
步骤2：确定展开图中直角三角形的两条直角边长度
蚂蚁从A到B需要爬过侧面的半周，所以水平方向的直角边长为底面周长的一半：$6÷2=3$（分米）
竖直方向的直角边长就是圆柱的高，即4分米。
步骤3：计算最短路径长度
两条直角边分别为3分米、4分米，根据勾股定理，斜边（即最短路径）长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$（分米）
【答案】
5dm
【知识点】
圆柱侧面展开图、圆的周长计算、勾股定理
【点评】
本题核心是将立体曲面的最短路径问题转化为平面线段长度问题，解题关键是掌握圆柱侧面展开的特征，灵活运用“两点之间线段最短”的性质，能有效考查空间想象能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离，首先需要把曲面路径转化为平面路径来求解：圆柱侧面是曲面，直接找最短路径不好计算，而平面内两点之间线段最短，所以我们可以先把圆柱的侧面展开成一个长方形。接下来需要确定展开图中A、B两点对应的位置：水平方向的距离是圆柱底面周长的一半（因为A、B在圆柱轴向的对面位置，爬行半周即可到达），竖直方向的距离就是圆柱的高，最后用直角三角形的边长关系就能算出最短路径的长度。
【解析】
步骤1：计算圆柱底面的周长
圆的周长公式为$C=π d$，已知底面直径$d=\frac{6}{π}$分米，代入得：
$C=π×\frac{6}{π}=6$（分米）
步骤2：确定展开图中直角三角形的两条直角边长度
蚂蚁从A到B需要爬过侧面的半周，所以水平方向的直角边长为底面周长的一半：$6÷2=3$（分米）
竖直方向的直角边长就是圆柱的高，即4分米。
步骤3：计算最短路径长度
两条直角边分别为3分米、4分米，根据勾股定理，斜边（即最短路径）长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$（分米）
【答案】
5dm
【知识点】
圆柱侧面展开图、圆的周长计算、勾股定理
【点评】
本题核心是将立体曲面的最短路径问题转化为平面线段长度问题，解题关键是掌握圆柱侧面展开的特征，灵活运用“两点之间线段最短”的性质，能有效考查空间想象能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
