知识点二 有理数加法的运算律
1. 加法交换律：
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 $a+b=$ .
2. 加法结合律：
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 $(a+b)+c=$ .

1. $b+a$
2. $a+(b+c)$

【分析】
本题考查有理数加法运算律的字母表达式，属于基础识记类题目。解题时先回忆两个运算律的核心内容：第1问加法交换律的核心是交换两个加数的位置，和不变，因此只需交换式子$a+b$中两个加数$a$和$b$的位置即可；第2问加法结合律的核心是三个数相加时，调整相加的先后顺序和不变，原式是先算前两个数$a$、$b$的和，再与$c$相加，调整顺序后就是先算后两个数$b$、$c$的和，再与$a$相加，对应写出表达式即可。
【解析】
1. 根据加法交换律的定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变，因此$a+b=b+a$。
2. 根据加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，因此$(a+b)+c=a+(b+c)$。
【答案】
1. $b+a$
2. $a+(b+c)$
【知识点】
有理数加法交换律；有理数加法结合律
【点评】
本题是对有理数加法运算律基础定义的直接考察，属于识记类基础题，熟练掌握运算律的内容是后续利用运算律简化有理数加法运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

例1 计算：(1) $(-17)+29+(-23)+21$；
(2) $(-18.65)+(-6.15)+18.65+6.15$；
(3) $\frac{2}{7}+(-\frac{1}{4})+(-\frac{4}{7})+\frac{1}{2}$；
(4) $(-12)+(-10)+2+(-20)$。
解 (1) 原式$=[(-17)+(-23)]+(29+21)=(-40)+50=10$。
(2) 原式$=[(-18.65)+18.65]+[(-6.15)+6.15]=0$。
(3) 原式$=[\frac{2}{7}+(-\frac{4}{7})]+[(-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}]=-\frac{2}{7}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{28}$。
(4) 原式$=[(-12)+(-10)+(-20)]+2=(-42)+2=-40$。

1. 原式$=[(-17)+(-23)]+(29+21)=(-40)+50=10$
2. 原式$=[(-18.65)+18.65]+[(-6.15)+6.15]=0$
3. 原式$=[\frac{2}{7}+(-\frac{4}{7})]+[(-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}]=-\frac{2}{7}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{28}$
4. 原式$=[(-12)+(-10)+(-20)]+2=(-42)+2=-40$

【分析】
这几道有理数加法计算题，可利用有理数加法的交换律和结合律简化计算，解题思路如下：①先观察算式中数字的特征：判断是否有互为相反数的数、是否有同分母的分数、是否可将同符号的数归类；②运用加法交换律调整数字的位置，再用加法结合律将便于计算的数先分组求和；③最后计算各组的和得到最终结果。具体到每道题：(1)将两个负数、两个正数分别结合；(2)将互为相反数的两组数分别结合；(3)将同分母的分数分别结合；(4)将所有负数先结合，再与正数相加。
【解析】
(1) 利用加法结合律将同号数分组计算：
原式$=[(-17)+(-23)]+(29+21)$
$=(-40)+50$
$=10$
(2) 将互为相反数的数分组计算：
原式$=[(-18.65)+18.65]+[(-6.15)+6.15]$
$=0+0$
$=0$
(3) 将同分母分数分组，剩余异分母分数通分后计算：
原式$=[\frac{2}{7}+(-\frac{4}{7})]+[(-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}]$
$=-\frac{2}{7}+\frac{1}{4}$
$=-\frac{8}{28}+\frac{7}{28}$
$=-\frac{1}{28}$
(4) 将所有负数先分组求和，再与正数相加：
原式$=[(-12)+(-10)+(-20)]+2$
$=(-42)+2$
$=-40$
【答案】
(1)$10$；(2)$0$；(3)$-\frac{1}{28}$；(4)$-40$
【知识点】
有理数加法运算律、有理数加法计算、分数通分
【点评】
本题考查有理数加法的简便运算，核心是灵活运用加法交换律和结合律，做题时先观察数字特征再分组计算，能大幅降低计算难度，减少运算失误。
【难度系数】
0.85

例2 一辆出租车某段时间的营运全是在一条东西走向的街道上进行的，若规定向东为正，向西为负，则这段时间按照时间先后顺序的行车里程（单位：km）记录如下：+15，-2，+5，-15，+6.
（1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车距离出发点有多远？
（2）若这辆出租车的平均耗油量为0.06 L/km，则这段时间这辆出租车共耗油多少升？
解（1）$(+15)+(-2)+(+5)+(-15)+(+6)=[(+15)+(-15)]+(-2)+[(+5)+(+6)]=9(\mathrm{km})$.
答：出租车距离出发点9 km.
（2）因为$|+15|+|-2|+|+5|+|-15|+|+6|=43(\mathrm{km})$，$0.06×43=2.58(\mathrm{L})$.
答：这段时间这辆出租车共耗油2.58 L.
规律总结
使用运算律的基本思路是利用运算律，通过变换运算顺序或组合方式，使计算过程更简便.
解题要点
1. 互为相反数的两个数优先相加.
2. 几个数相加得整数的数优先相加.
3. 同分母或容易通分的分数优先相加.
4. 符号相同的数优先相加.
解题要点
在利用有理数的加法解决实际问题的过程中，可以结合正数、负数的实际意义，将具体问题转换为数的运算.

1. $(+15)+(-2)+(+5)+(-15)+(+6)=[(+15)+(-15)]+(-2)+[(+5)+(+6)]=9(\mathrm{km})$
答：出租车距离出发点9 km.
2. 因为$|+15|+|-2|+|+5|+|-15|+|+6|=43(\mathrm{km})$，$0.06×43=2.58(\mathrm{L})$
答：这段时间这辆出租车共耗油2.58 L.

【分析】
第（1）问求出租车距离出发点的距离：题目规定向东为正、向西为负，所有行车里程的代数和就表示出租车最终相对于出发点的位置，计算时可以利用有理数加法运算律，把互为相反数的+15和-15先相加，再计算剩余的数，能简化运算过程。
第（2）问求总耗油量：耗油量只和行驶的总路程有关，和行驶方向无关，所以需要先把每一段里程的绝对值相加算出总路程，再乘每千米的耗油量即可得到总耗油量。
【解析】
（1）将所有行车里程相加：
$\begin{aligned}(+15)+(-2)+(+5)+(-15)+(+6)&=[(+15)+(-15)]+(-2)+[(+5)+(+6)]\\&=0 + (-2) + 11\\&=9(\mathrm{km})\end{aligned}$
（2）先计算总行驶路程，即所有里程的绝对值之和：
$|+15|+|-2|+|+5|+|-15|+|+6|=15+2+5+15+6=43(\mathrm{km})$
再计算总耗油量：
$0.06×43=2.58(\mathrm{L})$
【答案】
（1）出租车距离出发点9 km；
（2）这段时间这辆出租车共耗油2.58 L。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加法运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合出租车营运的生活场景，考察了有理数相关知识在实际问题中的应用，解题时要注意区分“相对出发点的位置”和“总行驶路程”的计算差异，合理运用加法运算律可以有效简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.8