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12. 数学活动课上,老师准备了若干张如图1所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为b、宽为a的长方形,并用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形.
(1)若要拼出一个面积为$(2a+b)(3a+2b)$的矩形,则需要A种卡片
(2)观察图2,请你写出三个代数式$(a+b)^2$, $a^2+b^2$, $2ab$之间的等量关系:
(3)正方形ABCD和正方形AEFG如图3摆放,边长分别为x、y.若$x^2+y^2=34$,BE=2,求图中阴影部分的面积.
(第12题图)
(1)若要拼出一个面积为$(2a+b)(3a+2b)$的矩形,则需要A种卡片
6
张,B种卡片2
张,C种卡片7
张.(2)观察图2,请你写出三个代数式$(a+b)^2$, $a^2+b^2$, $2ab$之间的等量关系:
$(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab$
.(3)正方形ABCD和正方形AEFG如图3摆放,边长分别为x、y.若$x^2+y^2=34$,BE=2,求图中阴影部分的面积.
(第12题图)
答案
12. (1)6 2 7
(2)$(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab$
(3)
∵ $BE=2$,
∴ $x-y=2$.
∵ $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)$,
∴ $(x+y)^2+4=2×34$.
∴ $(x+y)^2=64$.
∵ $x＞0,y＞0$,
∴ $x+y=8$.
∴ 阴影部分的面积
$=\dfrac{1}{2}BE· EF+\dfrac{1}{2}CD· DG$
$=\dfrac{1}{2}×2y+\dfrac{1}{2}x(x-y)$
$=x+y$
$=8$.
(2)$(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab$
(3)
∵ $BE=2$,
∴ $x-y=2$.
∵ $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)$,
∴ $(x+y)^2+4=2×34$.
∴ $(x+y)^2=64$.
∵ $x＞0,y＞0$,
∴ $x+y=8$.
∴ 阴影部分的面积
$=\dfrac{1}{2}BE· EF+\dfrac{1}{2}CD· DG$
$=\dfrac{1}{2}×2y+\dfrac{1}{2}x(x-y)$
$=x+y$
$=8$.
13. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》一书中提出了“杨辉三角”(如图),此图揭示了$(a+b)^n$（$n$为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如:
$(a+b)^0=1$,它只有一项,系数为1;
$(a+b)^1=a+b$,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;
……
根据以上规律,解答下列问题:
(1)$(a+b)^4$展开式共有
(2)$(a+b)^n$展开式共有
例如:
$(a+b)^0=1$,它只有一项,系数为1;
$(a+b)^1=a+b$,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;
……
根据以上规律,解答下列问题:
(1)$(a+b)^4$展开式共有
5
项,系数分别为1,4,6,4,1
.(2)$(a+b)^n$展开式共有
$(n+1)$
项,系数和为$2^n$
.答案
13. (1)5 1,4,6,4,1
(2)$(n+1)$ $2^n$
(2)$(n+1)$ $2^n$
