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8. 如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,DB中,相互平行的线段有(
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
B
)。A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先利用三个相同三角尺对应角相等的性质，再结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等，两直线平行），逐一判断给定线段的位置关系，最后统计平行线段的组数即可。首先找相等的角，判断角是同位角还是内错角，进而得到对应的平行线段，注意不要重复计数、不要漏掉符合条件的平行组。
【解析】
已知三个三角尺完全相同，因此对应角相等：
1. 因为∠B与∠DCE是相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AB// EC}$；
2. 因为∠ACB与∠D是相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AC// ED}$；
3. 因为∠CAE与∠ACB是相等的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AE// DB}$。
综上，相互平行的线段共有3组。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，全等图形的性质
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的关键是结合三角尺拼接的特征找到相等的同位角、内错角，熟练掌握平行线的判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三个相同三角尺对应角相等的性质，再结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等，两直线平行），逐一判断给定线段的位置关系，最后统计平行线段的组数即可。首先找相等的角，判断角是同位角还是内错角，进而得到对应的平行线段，注意不要重复计数、不要漏掉符合条件的平行组。
【解析】
已知三个三角尺完全相同，因此对应角相等：
1. 因为∠B与∠DCE是相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AB// EC}$；
2. 因为∠ACB与∠D是相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AC// ED}$；
3. 因为∠CAE与∠ACB是相等的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AE// DB}$。
综上，相互平行的线段共有3组。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，全等图形的性质
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的关键是结合三角尺拼接的特征找到相等的同位角、内错角，熟练掌握平行线的判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∠1+∠2=90°。求证：AB//CD。
答案
9.证明:因为AE平分$∠BAC$,
所以$∠BAC=2∠1$。
又因为CE平分$∠ACD$,
所以$∠ACD=2∠2$。
因为$∠1+∠2=90°$,
所以$∠BAC+∠ACD=180°$。
所以$AB//CD$。
所以$∠BAC=2∠1$。
又因为CE平分$∠ACD$,
所以$∠ACD=2∠2$。
因为$∠1+∠2=90°$,
所以$∠BAC+∠ACD=180°$。
所以$AB//CD$。
解析
【分析】
要证明AB//CD，根据平行线的判定规则，只需证明AB、CD被AC所截形成的同旁内角∠BAC与∠ACD的和为180°即可。已知AE平分∠BAC、CE平分∠ACD，结合角平分线的定义，可将∠BAC转化为2∠1，∠ACD转化为2∠2，再代入已知条件∠1+∠2=90°，即可求出∠BAC+∠ACD的度数，验证是否满足同旁内角互补的条件，进而得到平行结论。
【解析】
证明：因为AE平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠1。
又因为CE平分∠ACD，根据角平分线的定义可得∠ACD=2∠2。
已知∠1+∠2=90°，对∠BAC+∠ACD变形可得2(∠1+∠2)，代入数值计算得∠BAC+∠ACD=2×90°=180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理，可推出AB//CD。
【答案】
证明:因为AE平分$∠BAC$,
所以$∠BAC=2∠1$。
又因为CE平分$∠ACD$,
所以$∠ACD=2∠2$。
因为$∠1+∠2=90°$,
所以$∠BAC+∠ACD=180°$。
所以$AB//CD$。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，解题的核心是将角平分线的性质与平行线的判定定理结合，通过已知的角的数量关系推导得到两直线平行所需的判定条件，解题时要注意准确识别两条直线对应的同旁内角，理清角之间的数量转化逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明AB//CD，根据平行线的判定规则，只需证明AB、CD被AC所截形成的同旁内角∠BAC与∠ACD的和为180°即可。已知AE平分∠BAC、CE平分∠ACD，结合角平分线的定义，可将∠BAC转化为2∠1，∠ACD转化为2∠2，再代入已知条件∠1+∠2=90°，即可求出∠BAC+∠ACD的度数，验证是否满足同旁内角互补的条件，进而得到平行结论。
【解析】
证明：因为AE平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠1。
又因为CE平分∠ACD，根据角平分线的定义可得∠ACD=2∠2。
已知∠1+∠2=90°，对∠BAC+∠ACD变形可得2(∠1+∠2)，代入数值计算得∠BAC+∠ACD=2×90°=180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理，可推出AB//CD。
【答案】
证明:因为AE平分$∠BAC$,
所以$∠BAC=2∠1$。
又因为CE平分$∠ACD$,
所以$∠ACD=2∠2$。
因为$∠1+∠2=90°$,
所以$∠BAC+∠ACD=180°$。
所以$AB//CD$。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，解题的核心是将角平分线的性质与平行线的判定定理结合，通过已知的角的数量关系推导得到两直线平行所需的判定条件，解题时要注意准确识别两条直线对应的同旁内角，理清角之间的数量转化逻辑。
【难度系数】
0.8
10. 如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B。求证：BA//CE。
答案
10.证明:因为CE平分$∠ACD$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠B$,
所以$∠2=∠B$,
所以$BA//CE$。
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠B$,
所以$∠2=∠B$,
所以$BA//CE$。
解析
【分析】
要证明BA//CE，可通过平行线的判定定理推导。首先观察图形，BA与CE被直线BD所截，形成的同位角为∠B和∠2，若能证明这两个角相等即可推出两直线平行。已知CE平分∠ACD，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再结合题目给出的∠1=∠B，通过等量代换即可得到∠2=∠B，满足“同位角相等，两直线平行”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：因为CE平分∠ACD，
所以∠1=∠2。
又因为∠1=∠B，
所以∠2=∠B，
所以BA//CE。
【答案】
证明：因为CE平分∠ACD，
所以∠1=∠2。
又因为∠1=∠B，
所以∠2=∠B，
所以BA//CE。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于平行线证明的基础题型，解题关键是结合角平分线的性质找到相等的同位角，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明BA//CE，可通过平行线的判定定理推导。首先观察图形，BA与CE被直线BD所截，形成的同位角为∠B和∠2，若能证明这两个角相等即可推出两直线平行。已知CE平分∠ACD，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再结合题目给出的∠1=∠B，通过等量代换即可得到∠2=∠B，满足“同位角相等，两直线平行”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：因为CE平分∠ACD，
所以∠1=∠2。
又因为∠1=∠B，
所以∠2=∠B，
所以BA//CE。
【答案】
证明：因为CE平分∠ACD，
所以∠1=∠2。
又因为∠1=∠B，
所以∠2=∠B，
所以BA//CE。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于平行线证明的基础题型，解题关键是结合角平分线的性质找到相等的同位角，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 如图，$∠ 1 = ∠ C$，$∠ 2 + ∠ D = 90°$，$BE ⊥ FD$于点G。求证：$AB // CD$。
答案
11.证明:因为$BE⊥FD$,
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
解析
【分析】
要证明$AB// CD$，可通过推导同位角相等来实现。首先从已知的垂直条件入手，结合直角三角形两锐角互余得到$∠ 1$与$∠ D$的互余关系，再对比已知的$∠ 2$与$∠ D$的互余关系，利用同角的余角相等得到$∠ 1=∠ 2$，最后结合$∠ 1=∠ C$等量代换得到判定平行所需的同位角相等条件，即可完成证明。
【解析】
证明:因为$BE⊥FD$,
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
【答案】
证明:因为$BE⊥FD$,
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，解题核心是利用互余关系完成角的等量代换，进而得到两直线平行的判定条件，解题时要注意逻辑的连贯性，每一步推导都要有对应的定理或已知作为依据。
【难度系数】
0.8
要证明$AB// CD$，可通过推导同位角相等来实现。首先从已知的垂直条件入手，结合直角三角形两锐角互余得到$∠ 1$与$∠ D$的互余关系，再对比已知的$∠ 2$与$∠ D$的互余关系，利用同角的余角相等得到$∠ 1=∠ 2$，最后结合$∠ 1=∠ C$等量代换得到判定平行所需的同位角相等条件，即可完成证明。
【解析】
证明:因为$BE⊥FD$,
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
【答案】
证明:因为$BE⊥FD$,
所以$∠EGD=90°$,
所以$∠1+∠D=90°$。
又因为$∠2+∠D=90°$,
所以$∠1=∠2$。
又因为$∠1=∠C$,
所以$∠2=∠C$,
所以$AB//CD$。
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，解题核心是利用互余关系完成角的等量代换，进而得到两直线平行的判定条件，解题时要注意逻辑的连贯性，每一步推导都要有对应的定理或已知作为依据。
【难度系数】
0.8
12.如图,已知$EG// AF$,请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题,并证明这个命题(只写出一种情况):①$AB=AC$;②$DE=DF$;③$BE=CF$。(在已知和求证中,填写正确序号)
已知:$EG// AF$,
求证:
已知:$EG// AF$,
①
,②
。求证:
③
。答案
12.解:答案不唯一。
举例:① ② ③
证明:因为$EG//AF$,
所以$∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA$。
因为$AB=AC$,所以$∠B=∠BCA$,
所以$∠B=∠BGE$,
所以$BE=EG$。
因为$∠EDG=∠CDF,DE=DF$,
$∠GED=∠F$,所以$△DEG≌△DFC$,
所以$EG=CF$,
所以$BE=CF$。
举例:① ② ③
证明:因为$EG//AF$,
所以$∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA$。
因为$AB=AC$,所以$∠B=∠BCA$,
所以$∠B=∠BGE$,
所以$BE=EG$。
因为$∠EDG=∠CDF,DE=DF$,
$∠GED=∠F$,所以$△DEG≌△DFC$,
所以$EG=CF$,
所以$BE=CF$。
解析
【分析】
本次选择已知$EG// AF$、①$AB=AC$、②$DE=DF$，求证③$BE=CF$的情况进行分析。首先利用平行线的性质可得对应角相等，结合$AB=AC$可推导$△ BEG$为等腰三角形，得到$BE=EG$，完成线段的转化；再根据$DE=DF$，结合内错角相等、对顶角相等证明$△ DEG$与$△ DFC$全等，得到$EG=CF$，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
已知：$EG// AF$，①$AB=AC$，②$DE=DF$。
求证：③$BE=CF$。
证明：$\because EG// AF$，
$\therefore ∠ GED=∠ F$，$∠ BGE=∠ BCA$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCA$，
$\therefore ∠ B=∠ BGE$，
$\therefore BE=EG$。
在$△ DEG$和$△ DFC$中：
$\begin{cases}∠ GED=∠ F \\DE=DF \\∠ EDG=∠ FDC\end{cases}$
$\therefore △ DEG≌ △ DFC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore BE=CF$。
（答案不唯一，也可选择其他条件组合推导）
【答案】
答案不唯一，示例：
已知：$EG// AF$，①$AB=AC$，②$DE=DF$。
求证：③$BE=CF$。
证明：$\because EG// AF$，$\therefore ∠ GED=∠ F,∠ BGE=∠ BCA$。$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ BCA$，$\therefore ∠ B=∠ BGE$，$\therefore BE=EG$。$\because ∠ EDG=∠ CDF,DE=DF,∠ GED=∠ F$，$\therefore △ DEG≌△ DFC$，$\therefore EG=CF$，$\therefore BE=CF$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为开放性几何题，可灵活选择条件组合进行推导，解题时需熟练运用平行线、等腰三角形、全等三角形的相关性质与判定，能够有效培养逻辑推理能力与条件分析能力。
【难度系数】
0.7
本次选择已知$EG// AF$、①$AB=AC$、②$DE=DF$，求证③$BE=CF$的情况进行分析。首先利用平行线的性质可得对应角相等，结合$AB=AC$可推导$△ BEG$为等腰三角形，得到$BE=EG$，完成线段的转化；再根据$DE=DF$，结合内错角相等、对顶角相等证明$△ DEG$与$△ DFC$全等，得到$EG=CF$，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
已知：$EG// AF$，①$AB=AC$，②$DE=DF$。
求证：③$BE=CF$。
证明：$\because EG// AF$，
$\therefore ∠ GED=∠ F$，$∠ BGE=∠ BCA$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCA$，
$\therefore ∠ B=∠ BGE$，
$\therefore BE=EG$。
在$△ DEG$和$△ DFC$中：
$\begin{cases}∠ GED=∠ F \\DE=DF \\∠ EDG=∠ FDC\end{cases}$
$\therefore △ DEG≌ △ DFC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore BE=CF$。
（答案不唯一，也可选择其他条件组合推导）
【答案】
答案不唯一，示例：
已知：$EG// AF$，①$AB=AC$，②$DE=DF$。
求证：③$BE=CF$。
证明：$\because EG// AF$，$\therefore ∠ GED=∠ F,∠ BGE=∠ BCA$。$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ BCA$，$\therefore ∠ B=∠ BGE$，$\therefore BE=EG$。$\because ∠ EDG=∠ CDF,DE=DF,∠ GED=∠ F$，$\therefore △ DEG≌△ DFC$，$\therefore EG=CF$，$\therefore BE=CF$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为开放性几何题，可灵活选择条件组合进行推导，解题时需熟练运用平行线、等腰三角形、全等三角形的相关性质与判定，能够有效培养逻辑推理能力与条件分析能力。
【难度系数】
0.7
