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几何体中,解决最短距离或者路径问题时,都是将立体图形展开成
平面
图形,然后根据“两点之间,线段最短
”确定最短路线,以最短路线为一边构造直角三角形。在将立体图形的侧面展开时,要注意立体图形与平面
图形之间的内在联系,熟练地将实际问题转化为数学问题。答案
平面 线段最短 平面
解析
【分析】
这道题考查几何体最短路径问题的解决原理，解题时可按思路逐步推导：首先，几何体表面的路径分布在不同面，属于弯折状态，无法直接判断最短，因此需要先将路径经过的立体表面展开到同一平面内，得到平面图形；其次，平面内确定两点最短距离的依据是学过的基本事实，即可快速对应第二个空的内容；最后，展开过程中需要把立体图形的棱长、高等数据准确对应到展开后的图形中，因此要注意立体图形和展开后图形的联系，由此得到第三个空的答案。
【解析】
1. 要判断几何体表面的最短路径，首先需将立体图形展开为同一平面内的图形，因此第一空填“平面”；
2. 平面内两点之间的最短距离的判定依据是“两点之间，线段最短”，因此第二空填“线段最短”；
3. 展开时要将立体图形的边长、角度等数量关系准确对应到展开后的图形中，因此需要注意立体图形与平面图形的内在联系，第三空填“平面”。
【答案】
平面 线段最短 平面
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形展开；最短路径问题
【点评】
本题是对几何体表面最短路径求解基本方法的考查，属于基础概念类题目，熟练掌握该原理是解决同类实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查几何体最短路径问题的解决原理，解题时可按思路逐步推导：首先，几何体表面的路径分布在不同面，属于弯折状态，无法直接判断最短，因此需要先将路径经过的立体表面展开到同一平面内，得到平面图形；其次，平面内确定两点最短距离的依据是学过的基本事实，即可快速对应第二个空的内容；最后，展开过程中需要把立体图形的棱长、高等数据准确对应到展开后的图形中，因此要注意立体图形和展开后图形的联系，由此得到第三个空的答案。
【解析】
1. 要判断几何体表面的最短路径，首先需将立体图形展开为同一平面内的图形，因此第一空填“平面”；
2. 平面内两点之间的最短距离的判定依据是“两点之间，线段最短”，因此第二空填“线段最短”；
3. 展开时要将立体图形的边长、角度等数量关系准确对应到展开后的图形中，因此需要注意立体图形与平面图形的内在联系，第三空填“平面”。
【答案】
平面 线段最短 平面
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形展开；最短路径问题
【点评】
本题是对几何体表面最短路径求解基本方法的考查，属于基础概念类题目，熟练掌握该原理是解决同类实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一个动点，$C,P$ 两点之间的最短距离是（
A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$4.8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
C
）。A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$4.8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
答案
1.C
解析
【分析】
要找C、P两点的最短距离，根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，可知该最短距离是点C到线段AB的垂线段长度，也就是Rt△ABC斜边AB上的高。解题时先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种计算方法（等面积法）求出斜边上的高即可。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
2. 求AB边上的高：
设点C到AB的垂线段长度为$h$，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可以表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可以表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，因此有：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$
化简得：$24=5h$，解得$h=4.8\ \mathrm{cm}$
即C、P两点之间的最短距离是$4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；垂线段最短；等面积法
【点评】
本题将垂线段最短的性质与直角三角形计算结合，等面积法是求直角三角形斜边上高的常用方法，熟练掌握该技巧能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
要找C、P两点的最短距离，根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，可知该最短距离是点C到线段AB的垂线段长度，也就是Rt△ABC斜边AB上的高。解题时先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种计算方法（等面积法）求出斜边上的高即可。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
2. 求AB边上的高：
设点C到AB的垂线段长度为$h$，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可以表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可以表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，因此有：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$
化简得：$24=5h$，解得$h=4.8\ \mathrm{cm}$
即C、P两点之间的最短距离是$4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；垂线段最短；等面积法
【点评】
本题将垂线段最短的性质与直角三角形计算结合，等面积法是求直角三角形斜边上高的常用方法，熟练掌握该技巧能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，有一个底面周长为24 cm、高为5 cm的圆柱，一只蚂蚁沿表面从点A爬到点B所经过的最短路线长为
13 cm
。答案
2. 13 cm
解析
【分析】
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路线问题，核心思路是将立体图形的表面转化为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。首先需要把圆柱的侧面展开为长方形，此时点A和点B在平面中的位置可以构成直角三角形的两个顶点：直角边分别是圆柱的高、底面周长的一半（因为B位于A正对的下方，对应底面圆周的半周），最后用勾股定理求出斜边长度就是最短路线长。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的高展开，得到一个长方形：
1. 长方形的长等于圆柱底面周长，即24 cm，长方形的宽等于圆柱的高，即5 cm；
2. 点B在展开图中对应的水平距离为底面周长的一半：$24÷2=12\ \mathrm{cm}$，垂直距离等于圆柱的高5 cm；
3. 此时A、B两点的最短连线为直角三角形的斜边，根据勾股定理计算：
$AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
13 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题的关键是将立体图形转化为平面图形，需要注意所求两点对应底面圆周的长度是周长的一半，再结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路线问题，核心思路是将立体图形的表面转化为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。首先需要把圆柱的侧面展开为长方形，此时点A和点B在平面中的位置可以构成直角三角形的两个顶点：直角边分别是圆柱的高、底面周长的一半（因为B位于A正对的下方，对应底面圆周的半周），最后用勾股定理求出斜边长度就是最短路线长。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的高展开，得到一个长方形：
1. 长方形的长等于圆柱底面周长，即24 cm，长方形的宽等于圆柱的高，即5 cm；
2. 点B在展开图中对应的水平距离为底面周长的一半：$24÷2=12\ \mathrm{cm}$，垂直距离等于圆柱的高5 cm；
3. 此时A、B两点的最短连线为直角三角形的斜边，根据勾股定理计算：
$AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
13 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题的关键是将立体图形转化为平面图形，需要注意所求两点对应底面圆周的长度是周长的一半，再结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，圆柱的底面半径为$\frac{8}{π}$ cm，高为6 cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从圆柱的表面A处爬行至C处，最短路程是
10 cm
。答案
3. 10 cm
解析
【分析】
要求圆柱表面从A到C的最短路程，需将立体图形表面的路径问题转化为平面图形的线段长度问题：首先将圆柱侧面展开为平面长方形，根据“两点之间线段最短”，展开后A、C两点的线段长度即为最短路程。接下来要确定展开后两点的水平距离和竖直距离：水平距离是圆柱底面周长的一半（BC是底面直径，对应侧面展开后的半周长），竖直距离等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB展开得到平面长方形，具体计算如下：
1. 计算底面半周长：
已知底面半径$r=\frac{8}{π}\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×\frac{8}{π}=16\ \mathrm{cm}$，因此底面半周长为$\frac{1}{2}C=8\ \mathrm{cm}$，即展开后A到C的水平距离为8cm。
2. 展开后A到C的竖直距离等于圆柱的高，为6cm。
3. 由勾股定理计算最短路径AC的长度：
$AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题关键是完成立体到平面的转化，结合两点之间线段最短的原理求解，计算时要注意区分半周长和全周长，避免因取值错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要求圆柱表面从A到C的最短路程，需将立体图形表面的路径问题转化为平面图形的线段长度问题：首先将圆柱侧面展开为平面长方形，根据“两点之间线段最短”，展开后A、C两点的线段长度即为最短路程。接下来要确定展开后两点的水平距离和竖直距离：水平距离是圆柱底面周长的一半（BC是底面直径，对应侧面展开后的半周长），竖直距离等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB展开得到平面长方形，具体计算如下：
1. 计算底面半周长：
已知底面半径$r=\frac{8}{π}\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×\frac{8}{π}=16\ \mathrm{cm}$，因此底面半周长为$\frac{1}{2}C=8\ \mathrm{cm}$，即展开后A到C的水平距离为8cm。
2. 展开后A到C的竖直距离等于圆柱的高，为6cm。
3. 由勾股定理计算最短路径AC的长度：
$AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题关键是完成立体到平面的转化，结合两点之间线段最短的原理求解，计算时要注意区分半周长和全周长，避免因取值错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24 m，高为10 m，从A处环绕油罐建梯子，梯子顶端正好到达点A的正上方点B，则梯子最短需要建
26
m。答案
4. 26
解析
【分析】
本题是曲面上的最短路径求解问题，核心解题思路是将曲面转化为平面计算：首先将圆柱侧面沿AB所在竖直线剪开，展开为长方形，利用“两点之间线段最短”可知，梯子最短长度为展开图中A、B两点的线段长度；展开后的长方形长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此时A、B连线与长方形的长、宽构成直角三角形，最后用勾股定理计算斜边长即可得到结果。
【解析】
将圆柱形油罐的侧面沿AB所在的竖直线剪开，展开得到一个长方形：
1. 长方形的长对应圆柱底面周长，为24 m；
2. 长方形的宽对应圆柱的高，为10 m；
根据两点之间线段最短，梯子的最短长度就是展开图中A、B两点连线的长度，即直角三角形的斜边长。
由勾股定理可得：
梯子最短长度 = $\sqrt{24^2 + 10^2}$ = $\sqrt{576 + 100}$ = $\sqrt{676}$ = 26（m）
【答案】
26
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，最短路径计算
【点评】
本题重点考查转化思想的应用，把曲面路径问题转化为平面线段长度计算是解决这类问题的通用思路，需要熟练掌握圆柱展开图的特征，灵活运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
本题是曲面上的最短路径求解问题，核心解题思路是将曲面转化为平面计算：首先将圆柱侧面沿AB所在竖直线剪开，展开为长方形，利用“两点之间线段最短”可知，梯子最短长度为展开图中A、B两点的线段长度；展开后的长方形长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此时A、B连线与长方形的长、宽构成直角三角形，最后用勾股定理计算斜边长即可得到结果。
【解析】
将圆柱形油罐的侧面沿AB所在的竖直线剪开，展开得到一个长方形：
1. 长方形的长对应圆柱底面周长，为24 m；
2. 长方形的宽对应圆柱的高，为10 m；
根据两点之间线段最短，梯子的最短长度就是展开图中A、B两点连线的长度，即直角三角形的斜边长。
由勾股定理可得：
梯子最短长度 = $\sqrt{24^2 + 10^2}$ = $\sqrt{576 + 100}$ = $\sqrt{676}$ = 26（m）
【答案】
26
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，最短路径计算
【点评】
本题重点考查转化思想的应用，把曲面路径问题转化为平面线段长度计算是解决这类问题的通用思路，需要熟练掌握圆柱展开图的特征，灵活运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示的是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从点A到点A'镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5 cm，底面边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少是
13 cm
。答案
5. 13 cm
解析
【分析】
要求三棱镜侧面上从点A到点A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题核心是“化曲为直”：首先将三棱镜的侧面展开为平面图形，把立体问题转化为平面内两点间的距离问题，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径为展开图中对应两点的连线段，最后利用勾股定理计算长度即可。
【解析】
将该三棱镜的侧面沿AA'所在的棱剪开，展开得到一个长方形：
1. 计算长方形的长：三棱镜底面为等边三角形，边长为4 cm，因此侧面展开后长方形的长等于底面三角形的周长，即 $3×4=12\ \mathrm{cm}$；
2. 长方形的宽等于三棱镜的高，为5 cm；
3. 展开后点A和点A'为长方形的一组对角顶点，根据两点之间线段最短，金属丝的最短长度即为该长方形对角线的长度。
由勾股定理得，对角线长度为：
$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
13 cm
【知识点】
立体图形侧面展开、两点之间线段最短、勾股定理应用
【点评】
本题是立体表面最短路径问题的典型题型，重点考查转化思想的应用，需要掌握将立体图形侧面展开转化为平面图形求解的方法，结合勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
要求三棱镜侧面上从点A到点A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题核心是“化曲为直”：首先将三棱镜的侧面展开为平面图形，把立体问题转化为平面内两点间的距离问题，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径为展开图中对应两点的连线段，最后利用勾股定理计算长度即可。
【解析】
将该三棱镜的侧面沿AA'所在的棱剪开，展开得到一个长方形：
1. 计算长方形的长：三棱镜底面为等边三角形，边长为4 cm，因此侧面展开后长方形的长等于底面三角形的周长，即 $3×4=12\ \mathrm{cm}$；
2. 长方形的宽等于三棱镜的高，为5 cm；
3. 展开后点A和点A'为长方形的一组对角顶点，根据两点之间线段最短，金属丝的最短长度即为该长方形对角线的长度。
由勾股定理得，对角线长度为：
$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
13 cm
【知识点】
立体图形侧面展开、两点之间线段最短、勾股定理应用
【点评】
本题是立体表面最短路径问题的典型题型，重点考查转化思想的应用，需要掌握将立体图形侧面展开转化为平面图形求解的方法，结合勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图，长方体的底面两相邻边的边长均为3 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经由四个侧面爬行一圈到达点Q，则爬行的最短路程为
13 cm
。答案
6. 13 cm
解析
【分析】
要求立体图形表面的最短爬行路径，需先将立体图形的相关表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，将最短路径转化为平面上两点间的线段长度，再结合勾股定理计算即可。本题中蚂蚁沿四个侧面爬行一圈，因此将四个侧面沿侧棱展开为长方形，先确定展开后长方形的长和宽，再计算对应两点的线段长度即可。
【解析】
将长方体的四个侧面沿侧棱展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的边长：长方体底面是边长为3cm的正方形，爬行一圈对应展开后长方形的长为底面周长，即$ 3×4=12\ \mathrm{cm} $，长方形的宽等于长方体的高$ 5\ \mathrm{cm} $。
2. 根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的最短路程为该长方形的对角线长度，由勾股定理得：
最短路程$ l=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm} $。
【答案】
13 cm
【知识点】
立体图形表面展开；两点之间线段最短；勾股定理应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题核心是掌握“化曲为直”的展开思路，准确计算展开后平面图形的对应边长，再结合勾股定理求解即可，解题时需注意区分爬行路径对应的展开范围，避免算错边长。
【难度系数】
0.7
要求立体图形表面的最短爬行路径，需先将立体图形的相关表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，将最短路径转化为平面上两点间的线段长度，再结合勾股定理计算即可。本题中蚂蚁沿四个侧面爬行一圈，因此将四个侧面沿侧棱展开为长方形，先确定展开后长方形的长和宽，再计算对应两点的线段长度即可。
【解析】
将长方体的四个侧面沿侧棱展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的边长：长方体底面是边长为3cm的正方形，爬行一圈对应展开后长方形的长为底面周长，即$ 3×4=12\ \mathrm{cm} $，长方形的宽等于长方体的高$ 5\ \mathrm{cm} $。
2. 根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的最短路程为该长方形的对角线长度，由勾股定理得：
最短路程$ l=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm} $。
【答案】
13 cm
【知识点】
立体图形表面展开；两点之间线段最短；勾股定理应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题核心是掌握“化曲为直”的展开思路，准确计算展开后平面图形的对应边长，再结合勾股定理求解即可，解题时需注意区分爬行路径对应的展开范围，避免算错边长。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面到点B的最短路程是
25 dm
。答案
7. 25 dm
解析
【分析】
要解决立体图形表面的最短路径问题，首先需要将立体图形展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，两点的连线段就是最短路径，再利用勾股定理计算线段长度即可。首先确定展开后直角三角形的两条直角边长度：一条是台阶的长度20dm，另一条是三级台阶所有高度和宽度的总和，每级台阶宽3dm、高2dm，三级总长度为3×(3+2)=15dm，最后用勾股定理计算斜边长度就是最短路程。
【解析】
将三级台阶的表面展开为平面图形，连接A、B两点，此时线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
首先计算展开后另一条直角边的长度：
每级台阶的宽为3dm，高为2dm，三级台阶的高度与宽度总和为 $ 3×(3+2) = 15\ \mathrm{dm} $
已知台阶的长为20dm，即直角三角形的另一条直角边长为20dm，根据勾股定理：
$ AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 $
所以 $ AB = \sqrt{625} = 25\ \mathrm{dm} $
【答案】
25 dm
【知识点】
平面展开最短路径；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的经典题型，核心解题思路是将立体问题转化为平面问题求解，需要注意正确计算展开后对应边的总长度，再结合勾股定理即可得到结果。
【难度系数】
0.6
要解决立体图形表面的最短路径问题，首先需要将立体图形展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，两点的连线段就是最短路径，再利用勾股定理计算线段长度即可。首先确定展开后直角三角形的两条直角边长度：一条是台阶的长度20dm，另一条是三级台阶所有高度和宽度的总和，每级台阶宽3dm、高2dm，三级总长度为3×(3+2)=15dm，最后用勾股定理计算斜边长度就是最短路程。
【解析】
将三级台阶的表面展开为平面图形，连接A、B两点，此时线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
首先计算展开后另一条直角边的长度：
每级台阶的宽为3dm，高为2dm，三级台阶的高度与宽度总和为 $ 3×(3+2) = 15\ \mathrm{dm} $
已知台阶的长为20dm，即直角三角形的另一条直角边长为20dm，根据勾股定理：
$ AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 $
所以 $ AB = \sqrt{625} = 25\ \mathrm{dm} $
【答案】
25 dm
【知识点】
平面展开最短路径；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的经典题型，核心解题思路是将立体问题转化为平面问题求解，需要注意正确计算展开后对应边的总长度，再结合勾股定理即可得到结果。
【难度系数】
0.6
