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8. 如图，一次函数$y=kx+b(k＜0)$的图象与正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的图象都经过点$A(3,1)$，当$kx+b＜\frac{1}{3}x$时，根据图象可知，$x$的取值范围是（
A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x＜1$
D.$x＞1$
A
）。A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x＜1$
D.$x＞1$
答案
8. A
解析
【分析】
要解决一次函数相关的不等式问题，可利用数形结合思想分析：不等式$kx+b＜\frac{1}{3}x$的几何意义是，在相同横坐标下，一次函数$y=kx+b$的图象位于正比例函数$y=\frac{1}{3}x$图象的下方。首先找到两个函数的交点坐标，交点处两个函数值相等，再结合图象走势判断交点左右两侧哪个区域满足“$y=kx+b$在$y=\frac{1}{3}x$下方”，即可得到x的取值范围。
【解析】
已知两个函数图象的交点为$A(3,1)$，即当$x=3$时，$kx+b=\frac{1}{3}x=1$。
不等式$kx+b＜\frac{1}{3}x$，对应图象上为$y=kx+b$的图象在$y=\frac{1}{3}x$图象下方的部分。
观察图象可得：当$x＞3$时，$y=kx+b$的图象位于$y=\frac{1}{3}x$图象下方，满足$kx+b＜\frac{1}{3}x$。
因此x的取值范围是$x＞3$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，不需要复杂计算，只需准确理解不等式对应的图象位置关系，结合交点坐标即可快速求解，是一次函数不等式类题的基础考法。
【难度系数】
0.8
要解决一次函数相关的不等式问题，可利用数形结合思想分析：不等式$kx+b＜\frac{1}{3}x$的几何意义是，在相同横坐标下，一次函数$y=kx+b$的图象位于正比例函数$y=\frac{1}{3}x$图象的下方。首先找到两个函数的交点坐标，交点处两个函数值相等，再结合图象走势判断交点左右两侧哪个区域满足“$y=kx+b$在$y=\frac{1}{3}x$下方”，即可得到x的取值范围。
【解析】
已知两个函数图象的交点为$A(3,1)$，即当$x=3$时，$kx+b=\frac{1}{3}x=1$。
不等式$kx+b＜\frac{1}{3}x$，对应图象上为$y=kx+b$的图象在$y=\frac{1}{3}x$图象下方的部分。
观察图象可得：当$x＞3$时，$y=kx+b$的图象位于$y=\frac{1}{3}x$图象下方，满足$kx+b＜\frac{1}{3}x$。
因此x的取值范围是$x＞3$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，不需要复杂计算，只需准确理解不等式对应的图象位置关系，结合交点坐标即可快速求解，是一次函数不等式类题的基础考法。
【难度系数】
0.8
9. 写出一个同时具备下列两个条件的一次函数表达式：
①y 随着 x 的增大而增大；②图象经过点(1,3)。
$y=x+2$(答案不唯一)
。①y 随着 x 的增大而增大；②图象经过点(1,3)。
答案
9. $y=x+2$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数）。条件①要求$y$随$x$的增大而增大，根据一次函数的性质，可得一次项系数$k＞0$，我们可以任意取一个正的$k$值，比如取$k=1$；接下来利用条件②图象过点$(1,3)$，将点的坐标代入函数表达式，即可求出常数$b$的值，就能得到符合要求的一次函数表达式。由于$k$可取任意正数，因此答案不唯一。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 根据条件①：$y$随着$x$的增大而增大，可得$k＞0$，我们取$k=1$（也可取其他正数，如2、3等），此时解析式为$y=x+b$。
2. 根据条件②：图象经过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入$y=x+b$中，得：
$3=1+b$
解得$b=2$。
因此可得符合条件的一次函数表达式为$y=x+2$，也可选取其他正的$k$值，求出对应$b$值，得到不同的符合要求的表达式，答案不唯一。
【答案】
$y=x+2$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，侧重考查一次函数增减性与系数的关系，以及待定系数法的简单应用，解题时先确定$k$的符号再代入点求解即可，只要符合要求均为正确答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数）。条件①要求$y$随$x$的增大而增大，根据一次函数的性质，可得一次项系数$k＞0$，我们可以任意取一个正的$k$值，比如取$k=1$；接下来利用条件②图象过点$(1,3)$，将点的坐标代入函数表达式，即可求出常数$b$的值，就能得到符合要求的一次函数表达式。由于$k$可取任意正数，因此答案不唯一。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 根据条件①：$y$随着$x$的增大而增大，可得$k＞0$，我们取$k=1$（也可取其他正数，如2、3等），此时解析式为$y=x+b$。
2. 根据条件②：图象经过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入$y=x+b$中，得：
$3=1+b$
解得$b=2$。
因此可得符合条件的一次函数表达式为$y=x+2$，也可选取其他正的$k$值，求出对应$b$值，得到不同的符合要求的表达式，答案不唯一。
【答案】
$y=x+2$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，侧重考查一次函数增减性与系数的关系，以及待定系数法的简单应用，解题时先确定$k$的符号再代入点求解即可，只要符合要求均为正确答案。
【难度系数】
0.9
10. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作。根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球，量筒中水面升高
（2）在水没有溢出的情况下，求放入小球后量筒中水面的高度 y（cm）与小球个数 x 之间的一次函数表达式。
（3）当量筒中至少放入几个小球时，就会有水溢出？
（1）放入一个小球，量筒中水面升高
2
cm。（2）在水没有溢出的情况下，求放入小球后量筒中水面的高度 y（cm）与小球个数 x 之间的一次函数表达式。
（3）当量筒中至少放入几个小球时，就会有水溢出？
答案
10. （1）2
（2）$y=2x+30$
（3）10 个
（2）$y=2x+30$
（3）10 个
解析
【分析】
首先从图中提取有效信息：不放小球时量筒水面高度为30cm，放入3个小球后水面高度升至36cm，量筒总高度为49cm，水面高度超过49cm时水会溢出。
（1）先计算3个小球使水面上升的总高度，除以3即可得到单个小球使水面升高的高度；
（2）水面高度y与小球个数x是一次函数关系，设解析式为$y=kx+b$，代入x=0时y=30、x=3时y=36两组数据，用待定系数法求解即可；
（3）水溢出说明水面高度大于量筒总高度，据此列不等式求解，结合小球个数为正整数的隐含条件，得到最小的小球个数。
【解析】
（1）放入3个小球后，水面上升的总高度为：$36-30=6\ \mathrm{cm}$
因此放入1个小球水面升高的高度为：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
（2）设水未溢出时，水面高度y（cm）与小球个数x的一次函数表达式为$y=kx+b$（x为非负整数）。
当$x=0$时，$y=30$，代入得$b=30$；
当$x=3$时，$y=36$，代入得$3k+30=36$，解得$k=2$。
因此一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+30}$。
（3）当水面高度超过量筒高度49cm时会有水溢出，因此列不等式：
$2x+30＞49$
解不等式得：$2x＞19$，即$x＞9.5$。
因为小球个数x为正整数，所以x的最小取值为10。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）$\boldsymbol{y=2x+30}$
（3）$\boldsymbol{10}$个
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，图表信息分析
【点评】
本题结合生活场景出题，需要学生从图示中提取有效数据，将实际问题转化为数学中的函数、不等式问题求解，解题时要注意小球个数为正整数的隐含条件，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先从图中提取有效信息：不放小球时量筒水面高度为30cm，放入3个小球后水面高度升至36cm，量筒总高度为49cm，水面高度超过49cm时水会溢出。
（1）先计算3个小球使水面上升的总高度，除以3即可得到单个小球使水面升高的高度；
（2）水面高度y与小球个数x是一次函数关系，设解析式为$y=kx+b$，代入x=0时y=30、x=3时y=36两组数据，用待定系数法求解即可；
（3）水溢出说明水面高度大于量筒总高度，据此列不等式求解，结合小球个数为正整数的隐含条件，得到最小的小球个数。
【解析】
（1）放入3个小球后，水面上升的总高度为：$36-30=6\ \mathrm{cm}$
因此放入1个小球水面升高的高度为：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
（2）设水未溢出时，水面高度y（cm）与小球个数x的一次函数表达式为$y=kx+b$（x为非负整数）。
当$x=0$时，$y=30$，代入得$b=30$；
当$x=3$时，$y=36$，代入得$3k+30=36$，解得$k=2$。
因此一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+30}$。
（3）当水面高度超过量筒高度49cm时会有水溢出，因此列不等式：
$2x+30＞49$
解不等式得：$2x＞19$，即$x＞9.5$。
因为小球个数x为正整数，所以x的最小取值为10。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）$\boldsymbol{y=2x+30}$
（3）$\boldsymbol{10}$个
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，图表信息分析
【点评】
本题结合生活场景出题，需要学生从图示中提取有效数据，将实际问题转化为数学中的函数、不等式问题求解，解题时要注意小球个数为正整数的隐含条件，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
