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11. 在直角坐标系中，已知点$A(8,0)$，动点$P(x,y)$在第一象限，且$x+y=10$，$△ OPA$的面积为$S$。
（1）求$S$关于$x$的函数表达式及$x$的取值范围。
（2）当$S=12$时，求点$P$的坐标。
（1）求$S$关于$x$的函数表达式及$x$的取值范围。
（2）当$S=12$时，求点$P$的坐标。
答案
11. （1）$S=-4x+40,0＜x＜10$
（2）$P(7,3)$
（2）$P(7,3)$
解析
【分析】
（1）求S关于x的函数表达式时，先明确△OPA的底和高：OA为底，长度可由A点坐标直接得到，点P的纵坐标y是△OPA的高。结合已知条件x+y=10，将y用含x的式子表示后代入三角形面积公式，就能得到S与x的函数关系。再根据P在第一象限，横、纵坐标均为正，即可求出x的取值范围。
（2）求S=12时点P的坐标，只需将S=12代入第一问得到的函数表达式，解出x的值，再代入x+y=10求出y的值即可。
【解析】
（1）
∵点A的坐标为$(8,0)$，
∴$OA=8$。
△OPA的高为点P的纵坐标y，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×OA×y=\frac{1}{2}×8×y=4y$
∵$x+y=10$，
∴$y=10-x$，将其代入上式得：
$S=4(10-x)=-4x+40$
∵点$P(x,y)$在第一象限，
∴$x＞0$，$y=10-x＞0$，解得$0＜x＜10$。
（2）当$S=12$时，代入$S=-4x+40$得：
$12=-4x+40$
移项计算得$4x=28$，解得$x=7$。
将$x=7$代入$x+y=10$，得$y=10-7=3$。
【答案】
（1）$S=-4x+40$，$0＜x＜10$
（2）$P(7,3)$
【知识点】
一次函数表达式求解，三角形面积公式，象限内坐标特征
【点评】
本题是一次函数与平面几何的基础综合题，解题核心是结合三角形面积公式建立函数关系，再根据点的位置限制确定自变量取值范围，代入求值时按照解方程的步骤计算即可，是巩固一次函数应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）求S关于x的函数表达式时，先明确△OPA的底和高：OA为底，长度可由A点坐标直接得到，点P的纵坐标y是△OPA的高。结合已知条件x+y=10，将y用含x的式子表示后代入三角形面积公式，就能得到S与x的函数关系。再根据P在第一象限，横、纵坐标均为正，即可求出x的取值范围。
（2）求S=12时点P的坐标，只需将S=12代入第一问得到的函数表达式，解出x的值，再代入x+y=10求出y的值即可。
【解析】
（1）
∵点A的坐标为$(8,0)$，
∴$OA=8$。
△OPA的高为点P的纵坐标y，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×OA×y=\frac{1}{2}×8×y=4y$
∵$x+y=10$，
∴$y=10-x$，将其代入上式得：
$S=4(10-x)=-4x+40$
∵点$P(x,y)$在第一象限，
∴$x＞0$，$y=10-x＞0$，解得$0＜x＜10$。
（2）当$S=12$时，代入$S=-4x+40$得：
$12=-4x+40$
移项计算得$4x=28$，解得$x=7$。
将$x=7$代入$x+y=10$，得$y=10-7=3$。
【答案】
（1）$S=-4x+40$，$0＜x＜10$
（2）$P(7,3)$
【知识点】
一次函数表达式求解，三角形面积公式，象限内坐标特征
【点评】
本题是一次函数与平面几何的基础综合题，解题核心是结合三角形面积公式建立函数关系，再根据点的位置限制确定自变量取值范围，代入求值时按照解方程的步骤计算即可，是巩固一次函数应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
12. 已知一次函数 $ y = ax - 1 $（$ a $ 为常数，且 $ a ≠ 0 $）。
（1）若点 $ (2, -3) $ 在该函数的图象上，求 $ a $ 的值。
（2）若当 $ -1 ≤ x ≤ 2 $ 时，该函数有最大值 2，求 $ a $ 的值。
质量反馈
亲爱的同学：
感谢您使用作业本。为了更好地为您服务，提高作业本的质量，我们恳切希望您在使用后，对作业本编写内容的科学性、题目的新颖性、题目的难易程度以及本书的版面设计、印刷质量等方面作出反馈，我们将认真地对待每条意见，并及时加以改进。来信请寄：浙江省教育厅教研室课程部（地址：杭州市西湖区学院路35号浙江教育综合大楼，邮编：310012），或者发送电子邮件到：zjjyskc@163.com。
浙江省教育厅教研室
《数学作业本 八年级上册》质量跟踪表
我所在的学校：
（1）若点 $ (2, -3) $ 在该函数的图象上，求 $ a $ 的值。
（2）若当 $ -1 ≤ x ≤ 2 $ 时，该函数有最大值 2，求 $ a $ 的值。
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《数学作业本 八年级上册》质量跟踪表
我所在的学校：
答案
12. （1）$a=-1$
（2）因为当$a＜0$时，y 随x 的增大而减小，所以当$x=-1$时，y 有最大值 2。把$x=-1$代入$y=ax-1$，得$2=-a-1$，解得$a=-3$。
因为当$a＞0$时，y 随x 的增大而增大，所以当$x=2$时，y 有最大值 2。把$x=2$代入$y=ax-1$，得$2=2a-1$，解得$a=\dfrac{3}{2}$。
综上所述，$a$的值为$-3$或$\dfrac{3}{2}$。
（2）因为当$a＜0$时，y 随x 的增大而减小，所以当$x=-1$时，y 有最大值 2。把$x=-1$代入$y=ax-1$，得$2=-a-1$，解得$a=-3$。
因为当$a＞0$时，y 随x 的增大而增大，所以当$x=2$时，y 有最大值 2。把$x=2$代入$y=ax-1$，得$2=2a-1$，解得$a=\dfrac{3}{2}$。
综上所述，$a$的值为$-3$或$\dfrac{3}{2}$。
解析
【分析】
（1）解题思路：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点的横、纵坐标代入一次函数解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）解题思路：一次函数的最值和函数的增减性有关，增减性由a的符号决定，因此需要分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：①当$a＞0$时，y随x的增大而增大，在x的取值范围内取最大值时，函数取得最大值；②当$a＜0$时，y随x的增大而减小，在x的取值范围内取最小值时，函数取得最大值。分别代入最值对应的x、y值求解，再验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
（1）
∵点$(2,-3)$在函数$y=ax-1$的图象上
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=2a-1$
解得：$a=-1$
（2）一次函数$y=ax-1$的增减性分两种情况：
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值2
将$x=2$，$y=2$代入解析式得：
$2=2a-1$
解得：$a=\frac{3}{2}$，符合$a＞0$的条件。
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=-1$时，$y$取得最大值2
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：
$2=-a-1$
解得：$a=-3$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$-3$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）$a=-1$；（2）$a$的值为$-3$或$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论求最值
【点评】
本题第一问属于基础题，直接代入点坐标求解即可；第二问需要结合一次函数的增减性分类讨论，容易遗漏其中一种a的符号情况，解题时要注意分类讨论思想的应用，求解后要验证结果是否符合对应的前提条件。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点的横、纵坐标代入一次函数解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）解题思路：一次函数的最值和函数的增减性有关，增减性由a的符号决定，因此需要分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：①当$a＞0$时，y随x的增大而增大，在x的取值范围内取最大值时，函数取得最大值；②当$a＜0$时，y随x的增大而减小，在x的取值范围内取最小值时，函数取得最大值。分别代入最值对应的x、y值求解，再验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
（1）
∵点$(2,-3)$在函数$y=ax-1$的图象上
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=2a-1$
解得：$a=-1$
（2）一次函数$y=ax-1$的增减性分两种情况：
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值2
将$x=2$，$y=2$代入解析式得：
$2=2a-1$
解得：$a=\frac{3}{2}$，符合$a＞0$的条件。
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=-1$时，$y$取得最大值2
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：
$2=-a-1$
解得：$a=-3$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$-3$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）$a=-1$；（2）$a$的值为$-3$或$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论求最值
【点评】
本题第一问属于基础题，直接代入点坐标求解即可；第二问需要结合一次函数的增减性分类讨论，容易遗漏其中一种a的符号情况，解题时要注意分类讨论思想的应用，求解后要验证结果是否符合对应的前提条件。
【难度系数】
0.7
