10. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，有下列结论：①$abc＞0$；②$b^2＜4ac$；③$a-b+c＜0$；④$a+b＞m(am+b)(m≠1)$；⑤若方程$|ax^2+bx+c|=1$有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（）


A.①②
B.③④
C.③⑤
D.④⑤

10.B 【点拨】
∵二次函数图象开口向下，
∴$a＜0$.
∵对称轴在$y$轴的右侧，
∴$a$与$b$异号，
∴$b＞0$.
∵二次函数图象与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$abc＜0$，故①错误.
∵二次函数图象与$x$轴交于不同的两点，
∴$b^2-4ac＞0$，
∴$b^2＞4ac$，故②错误.
∵当$x=-1$时，$y＜0$，
∴$a-b+c＜0$，故③正确.
∵$x=1$时函数有最大值，
∴当$x=1$时的$y$值大于当$x=m(m≠1)$时的$y$值，即$a+b+c＞am^2+bm+c$，
∴$a+b＞m(am+b)(m≠1)$成立，故④正确.将$x$轴下方二次函数图象翻折到$x$轴上方，若与直线$y=1$有四个交点，则由二次函数图象的轴对称性知，关于对称轴对称的两个根的和为2，
∴四个根的和为4，故⑤错误.综上，③④正确.

11. 新视角 存在性探究题 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$与x轴交于$B(4,0)$,$C(-2,0)$两点,与y轴交于点$A(0,-2)$.在抛物线的对称轴上是否存在一点$M$,使得$△ MAB$是以$AB$为一条直角边的直角三角形?若存在,请求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

11.【解】存在.如图,过点$B$作$BM_1⊥ AB$交抛物线的对称轴于点$M_1$,过点$A$作$AM_2⊥ AB$交抛物线的对称轴于点$M_2$,连接$AM_1,BM_2$.
易得抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$可设$M_1(1,n)$，则$AM_1^2=(0-1)^2+(-2-n)^2=n^2+4n+5$，
$BM_1^2=(4-1)^2+(0-n)^2=n^2+9$.
易得$AB^2=2^2+4^2=20$.
在$\mathrm{Rt}△ ABM_1$中，$AB^2+BM_1^2=AM_1^2$.
$\therefore 20+n^2+9=n^2+4n+5$，
解得$n=6$.$\therefore M_1(1,6)$.
$\therefore$易得直线$BM_1$的表达式为$y=-2x+8$.易得$AM_2// BM_1$，
又$\because$直线$AM_2$经过点$A(0,-2)$，
$\therefore$易得直线$AM_2$的表达式为$y=-2x-2$.
$\therefore$当$x=1$时，$y=-2×1-2=-4$.$\therefore M_2(1,-4)$.
综上所述，点$M$的坐标为$(1,6)$或$(1,-4)$.

12. [2025 北京] 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ 经过点 $O$ 和点 $A(3,3a)$。
(1)求 $c$ 的值，并用含 $a$ 的式子表示 $b$；
(2)过点 $P(t,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $M$，交直线 $y=ax$ 于点 $N$。
①若 $a=1,t=4$，求 $MN$ 的长；
②已知在点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $B(2a,0)$ 的过程中，$MN$ 的长随 $OP$ 的长的增大而增大，求 $a$ 的取值范围。

12.【解】(1)将点$O(0,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$，可得$c=0$，
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=ax^2+bx$.
将点$A(3,3a)$的坐标代入$y=ax^2+bx$，可得$3a=9a+3b$，解得$b=-2a$.
(2)①若$a=1$，则该抛物线及直线的表达式分别为$y=x^2-2x$，$y=x$，如图，
当$t=4$时，点$P(4,0)$，
$\because PM⊥ x$轴，$\therefore x_M=x_N=4$.
将$x=4$代入$y=x^2-2x$，可得$y=4^2-2×4=8$，即$M(4,8)$，
将$x=4$代入$y=x$，可得$y=4$，即$N(4,4)$，
$\therefore MN=8-4=4$.
②当点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，
$\because PM⊥ x$轴，$P(t,0)$，
$\therefore x_M=x_N=t$.
$\therefore M(t,at^2-2at),N(t,at)$，
$\therefore MN=|at^2-2at-at|=|at^2-3at|$.
令$MN=0$，即$at^2-3at=0$，解得$t=0$或$t=3$，
Ⅰ.若$a＞0$，则$2a＞0$，即点$B$在$y$轴右侧，如图，
当$0＜t≤3$时，$MN=-at^2+3at$，其函数图象开口向下，对称轴为直线$t=\frac{3}{2}$，若$MN$的长随$OP$的长的增大而增大，即$MN$的长随$t$的增大而增大，
则$2a≤\frac{3}{2}$，解得$a≤\frac{3}{4}$，即$0＜a≤\frac{3}{4}$；
当$t＞3$时，$MN=at^2-3at$，其函数图象开口向上，对称轴为直线$t=\frac{3}{2}$，无符合题意的$a$值.
Ⅱ.若$a＜0$，则$2a＜0$，即点$B$在$y$轴左侧，如图，
$MN=-at^2+3at$，其函数图象开口向上，对称轴为直线$t=\frac{3}{2}$，由图知$MN$的长随$OP$的长的增大而增大，即当$t＜0$时，$MN$的长随$t$的减小而增大，$\therefore a＜0$.
综上所述，$a$的取值范围为$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$.