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13. 我们定义,关于同一个未知数的不等式A和B,两个不等式的解集相同,则称A与B为同解不等式.
(1)若关于x的不等式A:$1-3x＞0$,不等式B:$\frac{3x+a}{2}＜1$是同解不等式,求a的值;
(2)若关于x的不等式C:$x+1＞mn$,不等式D:$x-3＞m$是同解不等式,其中m,n是正整数,求m,n的值;
(3)若关于x的不等式P:$(2a-b)x+3a-4b＜0$,不等式Q:$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$是同解不等式,试求关于x的不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0$的解集.
(1)若关于x的不等式A:$1-3x＞0$,不等式B:$\frac{3x+a}{2}＜1$是同解不等式,求a的值;
(2)若关于x的不等式C:$x+1＞mn$,不等式D:$x-3＞m$是同解不等式,其中m,n是正整数,求m,n的值;
(3)若关于x的不等式P:$(2a-b)x+3a-4b＜0$,不等式Q:$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$是同解不等式,试求关于x的不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0$的解集.
答案
13.解:(1)解关于$x$的不等式A:$1-3x＞0$,得$x＜\frac{1}{3}$,
解关于$x$的不等式B:$\frac{3x+a}{2}＜1$,得$x＜\frac{2-a}{3}$,
由题意,得$\frac{1}{3}=\frac{2-a}{3}$,解得$a=1$.
(2)解关于$x$的不等式C:$x+1＞mn$,得$x＞mn-1$,
解关于$x$的不等式D:$x-3＞m$,得$x＞m+3$,
所以$mn-1=m+3$,所以$m=\frac{4}{n-1}$.
因为$m,n$是正整数,
所以$n-1$为1或4或2,
所以$m=4,n=2$或$m=1,n=5$或$m=2,n=3$.
(3)解关于$x$的不等式Q:$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$,得$x＞\frac{4}{9}$.
因为不等式P,Q为同解不等式,
所以解关于$x$的不等式P:$(2a-b)x+3a-4b＜0$,得$x＞\frac{4b-3a}{2a-b}(2a-b＜0)$,
所以$\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9}$,所以$7a=8b$.
因为$2a-b＜0$,所以$4b=3.5a$,且$a＜0$,所以$a-4b=a-3.5a=-2.5a＞0$,
所以$(a-4b)x+2a-3b＜0$的解为$x＜-\frac{1}{4}$.
解关于$x$的不等式B:$\frac{3x+a}{2}＜1$,得$x＜\frac{2-a}{3}$,
由题意,得$\frac{1}{3}=\frac{2-a}{3}$,解得$a=1$.
(2)解关于$x$的不等式C:$x+1＞mn$,得$x＞mn-1$,
解关于$x$的不等式D:$x-3＞m$,得$x＞m+3$,
所以$mn-1=m+3$,所以$m=\frac{4}{n-1}$.
因为$m,n$是正整数,
所以$n-1$为1或4或2,
所以$m=4,n=2$或$m=1,n=5$或$m=2,n=3$.
(3)解关于$x$的不等式Q:$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$,得$x＞\frac{4}{9}$.
因为不等式P,Q为同解不等式,
所以解关于$x$的不等式P:$(2a-b)x+3a-4b＜0$,得$x＞\frac{4b-3a}{2a-b}(2a-b＜0)$,
所以$\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9}$,所以$7a=8b$.
因为$2a-b＜0$,所以$4b=3.5a$,且$a＜0$,所以$a-4b=a-3.5a=-2.5a＞0$,
所以$(a-4b)x+2a-3b＜0$的解为$x＜-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题围绕同解不等式的定义出题，解题核心是先分别求解两个同解不等式，再根据解集完全相等建立等量关系求解参数，最后利用求得的参数关系解决新的不等式问题。具体思路：(1)分别解不等式A和B，根据两个不等式解集相同，令两个解集的边界值相等，即可列方程求出a的值；(2)分别解不等式C和D，根据解集相等得到m、n的关系式，再结合m、n是正整数的限制条件枚举得到所有符合的取值；(3)先解不等式Q得到其解集，再解含参的不等式P，注意由解集的不等号方向判断P中x的系数为负，再根据解集边界相等得到a和b的数量关系，最后将a、b的关系代入待求的不等式，判断系数正负后求解集即可。
【解析】
(1) 解不等式A：$1-3x＞0$，
移项得$-3x＞-1$，
系数化为1得$x＜\frac{1}{3}$；
解不等式B：$\frac{3x+a}{2}＜1$，
两边同乘2得$3x+a＜2$，
移项得$3x＜2-a$，
系数化为1得$x＜\frac{2-a}{3}$；
∵A和B是同解不等式，
∴$\frac{1}{3}=\frac{2-a}{3}$，
解得$a=1$。
(2) 解不等式C：$x+1＞mn$，移项得$x＞mn-1$；
解不等式D：$x-3＞m$，移项得$x＞m+3$；
∵C和D是同解不等式，
∴$mn-1=m+3$，
整理得$m(n-1)=4$，即$m=\frac{4}{n-1}$；
∵m、n都是正整数，
∴$n-1$是4的正因数，即$n-1=1、2、4$，
对应得：当$n-1=1$时，$n=2$，$m=4$；
当$n-1=2$时，$n=3$，$m=2$；
当$n-1=4$时，$n=5$，$m=1$。
(3) 解不等式Q：$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$，
两边同乘2得$14x-1＞7-4x$，
移项合并同类项得$18x＞8$，
系数化为1得$x＞\frac{4}{9}$；
∵P和Q是同解不等式，解不等式P：$(2a-b)x+3a-4b＜0$，
移项得$(2a-b)x＜4b-3a$，
∵解集为$x＞\frac{4}{9}$，不等号方向改变，
∴$2a-b＜0$，且$\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9}$，
交叉相乘得$9(4b-3a)=4(2a-b)$，
展开得$36b-27a=8a-4b$，
移项合并同类项得$40b=35a$，化简得$7a=8b$，即$b=\frac{7}{8}a$；
代入$2a-b＜0$得$2a-\frac{7}{8}a＜0$，即$\frac{9}{8}a＜0$，
∴$a＜0$；
将$b=\frac{7}{8}a$代入待求不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0$：
计算得系数$a-4b=a-4×\frac{7}{8}a=-\frac{5}{2}a$，
∵$a＜0$，
∴$-\frac{5}{2}a＞0$；
移项得$-\frac{5}{2}ax＜3b-2a$，代入$b=\frac{7}{8}a$得右边为$3×\frac{7}{8}a-2a=\frac{5}{8}a$，
两边同除以$-\frac{5}{2}a$（正数，不等号方向不变）得$x＜\frac{\frac{5}{8}a}{-\frac{5}{2}a}=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) $\begin{cases}m=4 \\ n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2 \\ n=3\end{cases}$或$\begin{cases}m=1 \\ n=5\end{cases}$；
(3) $x＜-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元一次不等式解法，同解不等式定义，含参不等式求解
【点评】
本题以同解不等式为核心考点，三个小问难度逐层递进，既考查了一元一次不等式的基础求解能力，也考查了含参不等式中不等号方向与系数符号的关联分析，以及不定方程整数解的枚举思路，解题时需特别注意解含参不等式时系数正负对不等号方向的影响，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.6
本题围绕同解不等式的定义出题，解题核心是先分别求解两个同解不等式，再根据解集完全相等建立等量关系求解参数，最后利用求得的参数关系解决新的不等式问题。具体思路：(1)分别解不等式A和B，根据两个不等式解集相同，令两个解集的边界值相等，即可列方程求出a的值；(2)分别解不等式C和D，根据解集相等得到m、n的关系式，再结合m、n是正整数的限制条件枚举得到所有符合的取值；(3)先解不等式Q得到其解集，再解含参的不等式P，注意由解集的不等号方向判断P中x的系数为负，再根据解集边界相等得到a和b的数量关系，最后将a、b的关系代入待求的不等式，判断系数正负后求解集即可。
【解析】
(1) 解不等式A：$1-3x＞0$，
移项得$-3x＞-1$，
系数化为1得$x＜\frac{1}{3}$；
解不等式B：$\frac{3x+a}{2}＜1$，
两边同乘2得$3x+a＜2$，
移项得$3x＜2-a$，
系数化为1得$x＜\frac{2-a}{3}$；
∵A和B是同解不等式，
∴$\frac{1}{3}=\frac{2-a}{3}$，
解得$a=1$。
(2) 解不等式C：$x+1＞mn$，移项得$x＞mn-1$；
解不等式D：$x-3＞m$，移项得$x＞m+3$；
∵C和D是同解不等式，
∴$mn-1=m+3$，
整理得$m(n-1)=4$，即$m=\frac{4}{n-1}$；
∵m、n都是正整数，
∴$n-1$是4的正因数，即$n-1=1、2、4$，
对应得：当$n-1=1$时，$n=2$，$m=4$；
当$n-1=2$时，$n=3$，$m=2$；
当$n-1=4$时，$n=5$，$m=1$。
(3) 解不等式Q：$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$，
两边同乘2得$14x-1＞7-4x$，
移项合并同类项得$18x＞8$，
系数化为1得$x＞\frac{4}{9}$；
∵P和Q是同解不等式，解不等式P：$(2a-b)x+3a-4b＜0$，
移项得$(2a-b)x＜4b-3a$，
∵解集为$x＞\frac{4}{9}$，不等号方向改变，
∴$2a-b＜0$，且$\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9}$，
交叉相乘得$9(4b-3a)=4(2a-b)$，
展开得$36b-27a=8a-4b$，
移项合并同类项得$40b=35a$，化简得$7a=8b$，即$b=\frac{7}{8}a$；
代入$2a-b＜0$得$2a-\frac{7}{8}a＜0$，即$\frac{9}{8}a＜0$，
∴$a＜0$；
将$b=\frac{7}{8}a$代入待求不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0$：
计算得系数$a-4b=a-4×\frac{7}{8}a=-\frac{5}{2}a$，
∵$a＜0$，
∴$-\frac{5}{2}a＞0$；
移项得$-\frac{5}{2}ax＜3b-2a$，代入$b=\frac{7}{8}a$得右边为$3×\frac{7}{8}a-2a=\frac{5}{8}a$，
两边同除以$-\frac{5}{2}a$（正数，不等号方向不变）得$x＜\frac{\frac{5}{8}a}{-\frac{5}{2}a}=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) $\begin{cases}m=4 \\ n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2 \\ n=3\end{cases}$或$\begin{cases}m=1 \\ n=5\end{cases}$；
(3) $x＜-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元一次不等式解法，同解不等式定义，含参不等式求解
【点评】
本题以同解不等式为核心考点，三个小问难度逐层递进，既考查了一元一次不等式的基础求解能力，也考查了含参不等式中不等号方向与系数符号的关联分析，以及不定方程整数解的枚举思路，解题时需特别注意解含参不等式时系数正负对不等号方向的影响，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.6
