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数学
九年级
全一册
1. 学科特色教材变式「2025重庆中考」某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
九年级
全一册
1. 学科特色教材变式「2025重庆中考」某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（
B
）A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
1.B 设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，由题意,得$25(1+x)^2=36$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去),
∴ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.故选B.
∴ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.故选B.
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^年数 = 最终量；第二步，本题初始量为2022年的25万人，最终量为2024年的36万人，间隔年份为2年，设年平均增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，由题意得：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$
解得$x_1=\frac{6}{5}-1=0.2=20\%$，$x_2=-\frac{6}{5}-1=-2.2$
由于年平均增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
故该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础常考题，解题核心是掌握平均增长率的等量关系，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^年数 = 最终量；第二步，本题初始量为2022年的25万人，最终量为2024年的36万人，间隔年份为2年，设年平均增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，由题意得：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$
解得$x_1=\frac{6}{5}-1=0.2=20\%$，$x_2=-\frac{6}{5}-1=-2.2$
由于年平均增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
故该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础常考题，解题核心是掌握平均增长率的等量关系，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
2.某城市为绿化环境,改善城市容貌,计划经过两年时间,将原来的100公顷绿地面积增加21%,这两年平均每年绿地面积的增长率是（
A.9%
B.10%
C.11%
D.12%
B
）A.9%
B.10%
C.11%
D.12%
答案
2.B 设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，依题意,得$100(1+x)^2=100×(1+21\%)$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).故选B.
解析
【分析】
本题是平均增长率类应用题，解题核心是掌握平均变化率的等量关系：变化前的量×(1+平均增长率)ⁿ=变化后的量（n为增长的期数）。首先明确已知条件：原有绿地面积为100公顷，增长期数为2年，增长后绿地总面积是原面积的(1+21%)。我们可以设年平均增长率为x，将已知量代入等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，依题意得：
$100(1+x)^2=100×(1+21\%)$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开平方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于绿地面积的增长率不能为负数，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
即这两年平均每年绿地面积的增长率是10%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，解题关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类应用题，解题核心是掌握平均变化率的等量关系：变化前的量×(1+平均增长率)ⁿ=变化后的量（n为增长的期数）。首先明确已知条件：原有绿地面积为100公顷，增长期数为2年，增长后绿地总面积是原面积的(1+21%)。我们可以设年平均增长率为x，将已知量代入等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，依题意得：
$100(1+x)^2=100×(1+21\%)$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开平方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于绿地面积的增长率不能为负数，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
即这两年平均每年绿地面积的增长率是10%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，解题关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.8
3.「2026 北京东城期末」在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续11年保持新能源汽车年产销量全球第一.随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1 200元/千瓦时，2025年电池成本约为972元/千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率.
答案
3.解析 设这两年该电池成本的年平均下降率为x，由题意,得$1200(1-x)^2=972$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不合题意,舍去).答:这两年该电池成本的年平均下降率为10%.
解析
【分析】
这是一道平均下降率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率问题的通用等量关系：最终量=初始量×(1-下降率)ⁿ，其中n为经过的变化周期数。本题中初始量是2023年的电池成本1200元/千瓦时，最终量是2025年的972元/千瓦时，经过的年数为2年，因此可设年平均下降率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后注意下降率的取值范围是0＜x＜1，不符合实际意义的解要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x。
根据题意，2024年电池成本为$1200(1-x)$元/千瓦时，2025年电池成本为$1200(1-x)^2$元/千瓦时，列方程得：
$1200(1-x)^2=972$
方程两边同时除以1200，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方，得：
$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于年平均下降率不可能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：这两年该电池成本的年平均下降率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是贴近生活的应用类基础题，解题核心是熟练掌握平均变化率问题的等量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情境对解进行合理性检验，排除不符合实际的根。
【难度系数】
0.85
这是一道平均下降率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率问题的通用等量关系：最终量=初始量×(1-下降率)ⁿ，其中n为经过的变化周期数。本题中初始量是2023年的电池成本1200元/千瓦时，最终量是2025年的972元/千瓦时，经过的年数为2年，因此可设年平均下降率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后注意下降率的取值范围是0＜x＜1，不符合实际意义的解要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x。
根据题意，2024年电池成本为$1200(1-x)$元/千瓦时，2025年电池成本为$1200(1-x)^2$元/千瓦时，列方程得：
$1200(1-x)^2=972$
方程两边同时除以1200，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方，得：
$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于年平均下降率不可能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：这两年该电池成本的年平均下降率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是贴近生活的应用类基础题，解题核心是熟练掌握平均变化率问题的等量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情境对解进行合理性检验，排除不符合实际的根。
【难度系数】
0.85
4.「2026 江苏常州期中」如图，$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$∠ BAC=30°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，点$E$从$A$点出发，沿射线$AB$运动，速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，点$F$从点$C$出发，沿线段$CA$运动，速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，连接$EF$，$E$，$F$两点同时出发，当点$F$到达点$A$时，点$E$也停止运动，当$△ AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$时，点$E$的运动时间为
4或6
s.答案
4.答案 4或6
解析 如图,过点E作$EH⊥AC$于点H,
设运动时间为t s,则$AE=2t\ \mathrm{cm}$,$CF=t\ \mathrm{cm}$,
$\because ∠BAC=30°,BC=5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$,$EH=\frac{1}{2}AE=t\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 0⩽t⩽10$,且$AF=(10-t)\ \mathrm{cm}$,
$\because △AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{1}{2}t(10-t)=12$,整理得$t^2-10t+24=0$,解得$t_1=4$,$t_2=6$,即当$△AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$时,点E的运动时间为4 s或6 s.
解析
【分析】
解题时先处理静态的直角三角形ABC：已知∠B=90°、∠BAC=30°、BC=5cm，利用含30°角的直角三角形的性质先求出斜边AC的长度，为后续表示线段长度做基础。再分析动点：设运动时间为t s，根据两点的运动速度，分别用含t的代数式表示AE、CF的长度，进而得到AF的长度，同时确定t的取值范围。要求△AEF的面积，过E作AC边上的高EH，再次利用30°角的直角三角形性质将高EH用t表示，最后结合三角形面积公式列方程求解，检验解是否在t的取值范围内即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作$EH⊥AC$于点H，
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE=2t\ \mathrm{cm}$，$CF=t\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠B=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AEH$中，$∠BAC=30°$，$\therefore EH=\frac{1}{2}AE=t\ \mathrm{cm}$。
点F从C运动到A的总时长为$10÷1=10\ \mathrm{s}$，因此$0≤ t≤10$，此时$AF=AC-CF=(10-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because △AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{1}{2}· AF· EH=12$，即$\frac{1}{2}t(10-t)=12$，
整理得$t^2-10t+24=0$，因式分解得$(t-4)(t-6)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=6$，两个解均满足$0≤ t≤10$，符合题意。
【答案】
4或6
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合动点场景、几何面积计算与一元二次方程应用，核心是将运动过程中的线段长度用含时间的代数式表示，结合面积公式建立方程，求解后注意验证解是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时先处理静态的直角三角形ABC：已知∠B=90°、∠BAC=30°、BC=5cm，利用含30°角的直角三角形的性质先求出斜边AC的长度，为后续表示线段长度做基础。再分析动点：设运动时间为t s，根据两点的运动速度，分别用含t的代数式表示AE、CF的长度，进而得到AF的长度，同时确定t的取值范围。要求△AEF的面积，过E作AC边上的高EH，再次利用30°角的直角三角形性质将高EH用t表示，最后结合三角形面积公式列方程求解，检验解是否在t的取值范围内即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作$EH⊥AC$于点H，
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE=2t\ \mathrm{cm}$，$CF=t\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠B=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AEH$中，$∠BAC=30°$，$\therefore EH=\frac{1}{2}AE=t\ \mathrm{cm}$。
点F从C运动到A的总时长为$10÷1=10\ \mathrm{s}$，因此$0≤ t≤10$，此时$AF=AC-CF=(10-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because △AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{1}{2}· AF· EH=12$，即$\frac{1}{2}t(10-t)=12$，
整理得$t^2-10t+24=0$，因式分解得$(t-4)(t-6)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=6$，两个解均满足$0≤ t≤10$，符合题意。
【答案】
4或6
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合动点场景、几何面积计算与一元二次方程应用，核心是将运动过程中的线段长度用含时间的代数式表示，结合面积公式建立方程，求解后注意验证解是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.6
5.「2026上海临港实验中学月考，★☆」俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，可得每天“遗忘”的百分比约为
29.3%
.(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414)$答案
5.答案 29.3%
解析 设每天“遗忘”的百分比为x,由题意得$(1-x)^2=\frac{1}{2}$,解得$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$,$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$(不合题意,舍去),
$\because \frac{2-\sqrt{2}}{2}≈0.293$,
$\therefore$ 每天“遗忘”的百分比约为29.3%.
解析 设每天“遗忘”的百分比为x,由题意得$(1-x)^2=\frac{1}{2}$,解得$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$,$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$(不合题意,舍去),
$\because \frac{2-\sqrt{2}}{2}≈0.293$,
$\therefore$ 每天“遗忘”的百分比约为29.3%.
解析
【分析】
这是一道平均变化率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确“每天遗忘百分比相同”的含义：每天剩余的知识量是前一天的(1-每天遗忘百分比)；再抓住“两天不练丢一半”的条件，即两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，设每天遗忘的百分比为$x$，据此列出一元二次方程；最后求解方程，结合实际意义舍去不符合的根，代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
设每天“遗忘”的百分比为$x$（$0＜x＜1$），根据两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
由于遗忘百分比不可能大于1，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}＞1$，不合题意，舍去。
将$\sqrt{2}\approx1.414$代入得：
$x=\frac{2-1.414}{2}=0.293=29.3\%$
【答案】
29.3%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；无理数近似计算
【点评】
本题结合传统俗语考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“两天不练丢一半”对应的数量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际问题的取值范围舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
这是一道平均变化率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确“每天遗忘百分比相同”的含义：每天剩余的知识量是前一天的(1-每天遗忘百分比)；再抓住“两天不练丢一半”的条件，即两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，设每天遗忘的百分比为$x$，据此列出一元二次方程；最后求解方程，结合实际意义舍去不符合的根，代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
设每天“遗忘”的百分比为$x$（$0＜x＜1$），根据两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
由于遗忘百分比不可能大于1，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}＞1$，不合题意，舍去。
将$\sqrt{2}\approx1.414$代入得：
$x=\frac{2-1.414}{2}=0.293=29.3\%$
【答案】
29.3%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；无理数近似计算
【点评】
本题结合传统俗语考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“两天不练丢一半”对应的数量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际问题的取值范围舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
6. 情境 数学文化 发展史 「2026 江苏扬州中学文昌教育集团期中，★☆」
欧几里得的《几何原本》中记载，形如$x^2+ax=b^2$（$a＞0,b＞0$）的方程的图解法如下：如图，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边长作$\mathrm{Rt}△ ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的正根。利用以上方法解关于$x$的一元二次方程$x^2+mx=36$时，若构造后的图形满足$AD=2BD$，则$m$的值为
欧几里得的《几何原本》中记载，形如$x^2+ax=b^2$（$a＞0,b＞0$）的方程的图解法如下：如图，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边长作$\mathrm{Rt}△ ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的正根。利用以上方法解关于$x$的一元二次方程$x^2+mx=36$时，若构造后的图形满足$AD=2BD$，则$m$的值为
$3\sqrt{2}$
。答案
6.答案 $3\sqrt{2}$
解析 根据题意,构造图形如图所示.
$\because AD=2BD$,$\therefore AD=m$,即m就是$x^2+mx=36$的一个正根,$\therefore m^2+m^2=36$,解得$m=3\sqrt{2}$(负值已舍).
解析
【分析】
解题时先将待解的一元二次方程$x^2+mx=36$与题干给出的$x^2+ax=b^2$形式做对应，确定参数$a=m$、$b=6$，再结合$AD=2BD$的条件推出$AD$的长度，最后根据“$AD$是方程的正根”这一结论，将$AD$代入方程即可求解$m$的值，也可通过勾股定理列等式计算。
【解析】
对照$x^2+ax=b^2$的形式，方程$x^2+mx=36$中$a=m$，$b^2=36$，因$b＞0$，故$b=6$。
根据题意构造图形，可知$BD=\frac{a}{2}=\frac{m}{2}$，$AC=b=6$，$∠ C=90°$。
$\because AD=2BD$，$\therefore AD=2×\frac{m}{2}=m$。
由题中的图解法可知，$AD$是方程$x^2+mx=36$的正根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 + m· m = 36$
整理得$2m^2=36$，即$m^2=18$。
$\because m＞0$，$\therefore m=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的根，勾股定理，解一元二次方程
【点评】
本题结合《几何原本》的数学文化背景，将代数知识与几何图形结合，考查知识迁移能力和数形结合思想，出题形式灵活，需要先理解题目给出的新解法，再结合已知条件计算，能有效考查对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将待解的一元二次方程$x^2+mx=36$与题干给出的$x^2+ax=b^2$形式做对应，确定参数$a=m$、$b=6$，再结合$AD=2BD$的条件推出$AD$的长度，最后根据“$AD$是方程的正根”这一结论，将$AD$代入方程即可求解$m$的值，也可通过勾股定理列等式计算。
【解析】
对照$x^2+ax=b^2$的形式，方程$x^2+mx=36$中$a=m$，$b^2=36$，因$b＞0$，故$b=6$。
根据题意构造图形
，可知$BD=\frac{a}{2}=\frac{m}{2}$，$AC=b=6$，$∠ C=90°$。$\because AD=2BD$，$\therefore AD=2×\frac{m}{2}=m$。
由题中的图解法可知，$AD$是方程$x^2+mx=36$的正根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 + m· m = 36$
整理得$2m^2=36$，即$m^2=18$。
$\because m＞0$，$\therefore m=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的根，勾股定理，解一元二次方程
【点评】
本题结合《几何原本》的数学文化背景，将代数知识与几何图形结合，考查知识迁移能力和数形结合思想，出题形式灵活，需要先理解题目给出的新解法，再结合已知条件计算，能有效考查对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
