7.核心素养
几何直观「2026江苏扬州高邮期中」如图,若线段MN将边长为6,8,m的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分,则m=.

7.答案 2或6
解析 如图,延长NA,MB相交于点C,
则△MNC是直角三角形,
由题意得$\frac{1}{2}(6+8+m)×8 - m(8-m)=\frac{1}{2}(6^2+8^2+m^2)$,
整理得$m^2-8m+12=0$,
解得$m_1=2$,$m_2=6$,
∴ m的值为2或6.

【分析】
要解决该问题，可通过割补法将不规则组合图形转化为规则图形计算面积。直接计算线段MN分割的两部分面积较为困难，因此我们延长NA、MB交于点C，补出大直角三角形MNC。此时MN下方的面积等于大直角三角形MNC的面积减去补出的小矩形的面积，该面积恰好等于三个正方形总面积的一半，据此列方程求解即可。
【解析】
如图，延长NA，MB相交于点C，
则$△ MNC$是直角三角形。
三个正方形的总面积为$6^2+8^2+m^2$，因此总面积的一半为$\frac{1}{2}(6^2+8^2+m^2)$。
大直角三角形$MNC$的底长为$6+8+m$，高为8，面积为$\frac{1}{2}(6+8+m)×8$；补出的小矩形长为$m$，宽为$8-m$，面积为$m(8-m)$。
根据MN下方的面积等于总面积的一半，列方程得：
$\frac{1}{2}(6+8+m)×8 - m(8-m)=\frac{1}{2}(6^2+8^2+m^2)$
整理得：$m^2-8m+12=0$
因式分解得$(m-2)(m-6)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=6$，两个解均符合图形实际要求。
【答案】
2或6
【知识点】
割补法求面积，一元二次方程的应用，正方形面积计算
【点评】
本题将不规则图形面积问题通过割补法转化为规则图形面积计算，以此建立等量关系列方程求解，解题关键是正确作出辅助线，准确梳理各部分面积的关系，同时要注意检验方程的解是否符合实际图形的要求。
【难度系数】
0.6

8. 核心素养
几何直观
「2026江苏无锡期中」数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60 cm，宽为40 cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形(阴影部分)，再把剩余部分沿虚线折起来得到长方体礼品盒.
(1)当礼品盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积.
(2)当礼品盒的侧面ABCD的面积为528 cm²时，求剪去的小正方形的边长.

8.解析 (1)设小正方形的边长为x cm,则礼品盒底面的长为$\frac{1}{2}(60-2x)=(30-x)$cm,宽为x cm,礼品盒的高为(40-2x)cm,由题意得$30-x=4x$,解得x=6,
∴ 30-x=24,40-2x=40-2×6=28,
∴ 24×6×28=4032($cm^3$),即该长方体礼品盒的体积为4032 $cm^3$.
(2)设小正方形的边长为y cm,则AB=(40-2y)cm,BC=(30-y)cm,由题意得$(30-y)(40-2y)=528$,
整理得$y^2-50y+336=0$,解得$y_1=8$,$y_2=42$(不符合题意,舍去).故剪去的小正方形的边长为8 cm.

【分析】
(1) 解题先明确折叠后长方体各边和剪去小正方形边长的对应关系：设小正方形边长为x cm，观察图形可知，长方体底面长是原纸板长减去两个小正方形边长后平分的长度，底面宽等于小正方形边长，高是原纸板宽减去两个小正方形边长。再根据“底面长是宽的4倍”列方程求解x，最后代入长方体体积公式计算即可。
(2) 设小正方形边长为y cm，先确定侧面ABCD的长对应长方体的高，宽对应底面的长，根据侧面面积为528cm²列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到小正方形边长。
【解析】
(1) 设剪去的小正方形的边长为x cm，
由图形可得：礼品盒底面的长为$\frac{1}{2}(60-2x)=(30-x)$cm，底面的宽为x cm，礼品盒的高为$(40-2x)$cm，
根据题意列方程：
$30-x=4x$
解得$x=6$，
则底面长：$30-x=30-6=24$cm，高：$40-2x=40-2×6=28$cm，
长方体体积为：$24×6×28=4032$（$cm^3$）。
(2) 设剪去的小正方形的边长为y cm，
由图形可得：$AB=(40-2y)$cm，$BC=(30-y)$cm，
根据侧面ABCD面积为528$cm^2$，列方程：
$(30-y)(40-2y)=528$
整理得：$y^2-50y+336=0$
解得：$y_1=8$，$y_2=42$，
当$y=42$时，$40-2y=-44＜0$，不符合实际意义，舍去，
故剪去的小正方形边长为8 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4032\ cm^3}$
(2) $\boldsymbol{8\ cm}$
【知识点】
一元一次方程的应用；一元二次方程的应用；长方体体积计算
【点评】
本题结合长方体平面展开图考查方程的实际应用，解题核心是准确找到展开图线段和长方体长宽高的对应关系，求解后要注意检验根是否符合实际几何意义，避免出现边长为负的错误。
【难度系数】
0.7

1.「2026江苏南京雨花台中学月考改编」如图，用长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m）围成中间有一道篱笆的长方形花圃，现要围成面积为45 m²的花圃，则AB的长是 m.

答案 5
解析 设 AB = x m, 则 BC = (24 - 3x) m, 由题意得x(24-3x)= 45,整理得 x² -8x +15 = 0,解得 x₁ = 5,x₂ = 3,当 x = 5 时,24-3x=9＜10,符合题意,当 x = 3 时,24-3x=15＞10,不合题意,舍去,故围成面积为 45 m² 的花圃时,AB 的长是 5 m.

【分析】
这是利用一元二次方程解决的实际围建问题，解题思路如下：第一步先设AB的长度为未知数x，观察篱笆结构可知共有3段长度等于AB的竖直篱笆，因此水平边BC的长度等于总篱笆长度减去3倍AB的长度；第二步根据矩形面积=长×宽的公式，结合已知面积为45m²列方程；第三步解方程得到两个根后，结合墙的最大可用长度为10m的限制条件，判断BC的长度是否符合要求，舍去不符合题意的根，最终得到AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长为$ (24-3x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(24-3x)=45 $
整理得：$ x^2-8x+15=0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-5)=0 $
解得：$ x_1=3 $，$ x_2=5 $
检验根的合理性：
当$ x=3 $时，$ 24-3x=15 \, \mathrm{m} $，$ 15＞10 $，超出墙的最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$ x=5 $时，$ 24-3x=9 \, \mathrm{m} $，$ 9＜10 $，符合墙的长度限制。
因此AB的长为5m。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的围栏类实际应用题，易错点是忽略墙的长度限制，直接保留所有方程的根导致结果错误，解题时要养成结合实际条件检验结果的习惯。
【难度系数】
0.7

2.「2026山东滨州滨城期中」如图,某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一条通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长为45米.
(1)若饲养场(矩形ABCD)的一边CD的长为x米,则另一边BC的长为米.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为180平方米,则边CD的长为米.

答案 (1)(48-3x) (2)10
解析 (1)BC=45-x-2×(x-1)+1=(48-3x)米,故答案为(48-3x).
(2)设 CD = y(0＜y≤15) 米,则 BC = 45-y-2(y-1)+1=(48-3y) 米,依题意得 y(48-3y) = 180, 整理得 y² - 16y+60=0, 解得 y₁=6,y₂=10. 当 y=6 时,48-3y=48-3×6=30＞27,不合题意,舍去;当 y=10 时,48-3y=48-3×10=18＜27,符合题意.故边 CD 的长为 10 米.

【分析】
(1) 首先明确木栏的构成：平行于CD的木栏共3段（CD本身、中间2道隔栏），其中2道隔栏各有1米宽的门无需木栏；平行于BC的木栏共1段，也有1米宽的门无需木栏，已知木栏总长45米，据此列等式变形即可得到BC的代数式。
(2) 利用矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后结合两面墙的最大可用长度限制，舍去不符合实际的根，即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 设CD的长为x米，平行于CD的木栏总长度为$x + 2(x-1)$米，平行于BC的木栏长度为$(BC - 1)$米，由木栏总长为45米可得：
$x + 2(x-1) + (BC - 1) = 45$
整理得：$BC = 45 - x - 2(x-1) + 1 = 48 - 3x$
(2) 设CD的长为y米，由AB位置的墙最大可用长度为15米，得$0 ＜ y ≤15$，此时BC的长为$(48-3y)$米，由AD位置的墙最大可用长度为27米，得$0 ＜ 48-3y ≤27$。
根据矩形面积为180平方米列方程：
$y(48-3y)=180$
整理得：$y^2 -16y +60=0$
因式分解得：$(y-6)(y-10)=0$
解得$y_1=6$，$y_2=10$。
检验：当$y=6$时，$48-3y=48-18=30＞27$，超过AD墙最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$y=10$时，$48-3y=48-30=18＜27$，且$10＜15$，符合题意。
【答案】
(1) $(48-3x)$
(2) $10$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类问题，解题的核心是厘清木栏和门的数量关系，正确表示出矩形的边长，求解方程后要注意结合实际场景的限制条件对根进行检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.65

3.「2026江苏扬州仪征期中」如图，用一段长为69米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形羊圈都有一个1米宽的门，墙的最大可用长度为35米。
(1)如果羊圈的总面积为320平方米，求边AB的长。
(2)羊圈的总面积能为400平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由。

解析 (1)设边 AB 的长为 x 米,则 AD = 69-4x+3 = (72-4x) 米.根据题意得 x(72-4x) = 320, 整理得 x² - 18x+80=0, 解得 x₁=8,x₂=10. 当 x=8 时,72-4x=72-4×8=40＞35,不符合题意,舍去;当 x=10 时,72-4x=72-4×10=32＜35,符合题意.故边 AB 的长为 10 米.
(2)羊圈的总面积不能为 400 平方米,理由如下:
设边 AB 的长为 y 米,则 AD = 69-4y+3 = (72-4y) 米,
由题意得 y(72-4y) = 400, 整理得 y² - 18y + 100 = 0,
∵ Δ = (-18)² -4×1×100 = 324 - 400 = -76 ＜ 0,
∴ 原方程无实数根,
∴ 羊圈的总面积不能为 400 平方米.

【分析】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：1. 设定变量：设垂直于墙的边AB长为x米，先推导平行于墙的边AD的长度：观察图形可知垂直于墙的边共有4段，3个羊圈各有1个宽1米的门，总篱笆长69米，因此AD的长度=总篱笆长-4段垂直边的长度+3个门的总宽度（门不用篱笆，所以要加回）；2. 第一问根据矩形总面积=AB×AD=320列方程，求解后结合墙的最大可用长度35米，舍去不符合实际的根；3. 第二问假设总面积为400平方米列方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有实数根，进而判断能否达到该面积。
【解析】
(1) 设边AB的长为x米，则平行于墙的边AD的长度为$69 - 4x + 3 = (72 - 4x)$米。
根据矩形总面积公式列方程：
$x(72 - 4x) = 320$
整理得：$x^2 - 18x + 80 = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 10$
检验：
当$x=8$时，$72 - 4x = 72 - 32 = 40 ＞ 35$，超过墙的最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$72 - 4x = 72 - 40 = 32 ＜ 35$，符合题意。
(2) 羊圈的总面积不能为400平方米，理由如下：
设边AB的长为y米，则AD的长度为$(72 - 4y)$米，
根据题意列方程：
$y(72 - 4y) = 400$
整理得：$y^2 - 18y + 100 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-18)^2 - 4 × 1 × 100 = 324 - 400 = -76 ＜ 0$
因此该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的y值。
【答案】
(1) 边AB的长为10米；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际背景下的方程应用问题，解题时需注意两点：一是推导边长时不要遗漏门的宽度对平行于墙的边长的影响，二是求解方程后要结合实际限制条件对根进行取舍，判断存在性问题可通过判别式判断方程是否有实根来解决。
【难度系数】
0.6