9. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r为 （）

A.4
B.3
C.2
D.1

9. C

【分析】
这是一道求直角三角形内切圆半径的基础题，有两种常用解题思路：① 用切线长定理：先通过勾股定理求出斜边长度，再根据切线长相等的性质，结合边长关系列方程求解；② 用面积法：分别用直角边乘积的一半、周长乘内切圆半径除以2两种方式表示三角形面积，联立等式即可求出半径。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
方法1（切线长定理）：
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别切于D、E、F
∴$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$，且$OD⊥AB$，$OE⊥BC$
又
∵∠B=90°，$OD=OE=r$
∴四边形ODBE是正方形，即$BD=BE=r$
则$AD=AB-BD=6-r$，$CE=BC-BE=8-r$
∵$AF+CF=AC=10$
∴$(6-r)+(8-r)=10$
解得$r=2$
方法2（面积法）：
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×6×8=24$
根据三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×r$，代入得：
$24=\frac{1}{2}×(6+8+10)×r$
解得$r=2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，两种求解方法都属于常考的基础方法，熟练掌握相关性质和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.7

10. 如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF//AB,与AC,BC分别交于点E,F,则EF与AE+BF的大小关系为EF AE+BF(填“＞”“＜”或“=”).

10. =

【分析】
要判断EF和AE+BF的大小关系，可通过构造等腰三角形实现线段的等量代换。首先利用三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，可得OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA；再结合EF//AB的条件，利用平行线的内错角相等，可证得△AEO和△BFO均为等腰三角形，从而将AE、BF分别转化为EO、OF，即可得到EF与AE+BF的关系。
【解析】
连接OA、OB。
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴ ∠EAO = ∠OAB，∠FBO = ∠OBA。
∵ EF//AB，
∴ ∠EOA = ∠OAB，∠FOB = ∠OBA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EAO = ∠EOA，∠FBO = ∠FOB，
∴ AE = EO，BF = FO（等角对等边）。
又
∵ EF = EO + OF，
∴ EF = AE + BF。
【答案】
=
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题将角平分线、平行线、等腰三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过角平分线和平行线的组合特征构造等腰三角形，完成线段的等量转化，是几何中常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.7

11. 如图,点I为△ABC的内心,连接AI并延长,交△ABC的外接圆于点D,点E为弦AC的中点,连接CD、EI、IC,当AI=2CD,IC=6,ID=5时,IE的长为.

11. 4

【分析】
解题思路：首先利用三角形内心的定义得到角平分线，结合圆周角的性质进行角的转化，证明△DIC为等腰三角形，得到CD=ID，进而求出AI的长度；再通过构造全等三角形，得到线段相等及中点关系，利用直角三角形的判定推出△FIC是直角三角形，最后结合勾股定理求出IE的长度。
思考步骤：1. 看到内心，先联想到角平分线性质，得到角相等关系；2. 结合同弧所对圆周角相等，进行角的转化，证明△DIC是等腰三角形，得到CD=ID，结合已知求出CD、AI的长；3. 利用E是AC中点的条件，构造全等三角形，得到对应边相等和中点关系；4. 根据“若三角形一边上的中线等于该边长度的一半，则这个三角形是直角三角形”的性质得到直角三角形，用勾股定理计算线段长度。
【解析】
解：
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACI=∠BCI。
∵∠BAD和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∴∠CAD=∠BCD。
∵∠DIC=∠CAD + ∠ACI，∠DCI=∠BCD + ∠BCI，
∴∠DIC=∠DCI，
∴CD=ID=5。
∵AI=2CD，
∴AI=2×5=10。
延长EI交CD的延长线于点F，
在△AEI和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAI=∠ ECF\\ AE=CE\\ ∠ AEI=∠ CEF\end{array} $
∴△AEI≌△CEF（ASA），
∴IE=FE，CF=AI=10。
∴DF=CF - CD=10 - 5=5，
∴DF=ID=CD=5，即D为CF中点，且$ID=\frac{1}{2}CF$，
∴△FIC是直角三角形，∠FIC=90°。
在Rt△FIC中，IC=6，CF=10，
由勾股定理得：$IF=\sqrt{CF^2 - IC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
∵$IE=\frac{1}{2}IF$，
∴$IE=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了圆与三角形的多个核心知识点，解题关键是合理构造全等三角形，通过角的转化推导得到等腰三角形和直角三角形，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

12. 如图，点E是$△ ABC$的内心，AE的延长线和$△ ABC$的外接圆相交于点D，连接BE.
（1）若$∠ CBD=34°$，求$∠ BEC$的度数；
（2）求证：$DE=DB$.

12. (1) 解:$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore AE$ 平分 $∠ BAC, BE$ 平分$∠ ABC, CE$ 平分 $∠ ACB$. $\because ∠ CBD = 34°, \therefore ∠ CAD = ∠ CBD = 34°$. $\therefore ∠ BAC = 2 ∠ CAD = 68°$. $\therefore ∠ ABC + ∠ ACB=180°-68°=112°$. $\therefore ∠ ABE + ∠ ACE = \frac{1}{2} × 112°=56°$. $\therefore ∠ BEC=∠ BAC+∠ ABE+∠ ACE=68°+56°=124°$;
(2) 证明:$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,$∠ ABE = ∠ CBE$. 由圆周角定理, 得 $∠ DAC = ∠ DBC$. $\because ∠ DBE = ∠ DBC + ∠ EBC, ∠ DEB = ∠ EBA + ∠ EAB$,$\therefore ∠ DBE = ∠ DEB$. $\therefore DE = DB$.

【分析】
（1）求解∠BEC的度数时，首先明确三角形内心是三角形三条角平分线的交点，可得AE、BE、CE分别对应平分△ABC的三个内角；再结合同弧所对圆周角相等的性质，由已知∠CBD的度数求出∠CAD，进而得到∠BAC的度数；最后利用三角形内角和定理推导∠BEC的度数即可。
（2）要证明DE=DB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠DBE=∠DEB。结合内心的角平分线性质、圆周角定理，将两个角分别拆分为两个小角的和，通过等量代换证明两角相等，即可得到结论。
【解析】
(1) 解：$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心，
$\therefore AE$ 平分 $∠ BAC$，$BE$ 平分$∠ ABC$，$CE$ 平分 $∠ ACB$。
$\because ∠ CBD$ 和 $∠ CAD$ 都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAD = ∠ CBD = 34°$，
$\therefore ∠ BAC = 2 ∠ CAD = 2×34°=68°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ ACB=180°-∠BAC=180°-68°=112°$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ ACE = \frac{1}{2} × (∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×112°=56°$，
$\therefore ∠ BEC=∠ BAC+∠ ABE+∠ ACE=68°+56°=124°$。
(2) 证明：$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，$∠ ABE = ∠ CBE$。
由圆周角定理，得 $∠ DAC = ∠ DBC$，
$\therefore ∠BAD=∠DBC$。
$\because ∠ DBE = ∠ DBC + ∠ EBC$，$∠ DEB = ∠ EBA + ∠ EAB$，
通过等量代换可得$∠DBE=∠EAB+∠EBA=∠DEB$，
$\therefore ∠ DBE = ∠ DEB$，
$\therefore DE = DB$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{124°}$；（2）证明成立，$DE=DB$。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，重点考查角度的等量转化能力，解题关键是熟练运用角平分线性质和圆周角相等的结论，通过拆分角完成代换即可求解。
【难度系数】
0.7

13.（攀枝花中考）如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$。
（1）求$△ ABC$的三个内角的大小；
（2）设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d=AB+AC-BC$。

13. (1) 解:$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆, $\therefore AB ⊥ OD, BC ⊥ OE, CA ⊥ OF$. $\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$. $\because ∠ DOE = 120°$,$∠ EOF = 150°$,$\therefore ∠ B = 360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE = 60°$,$∠ C = 360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF = 30°$. $\therefore ∠ A = 180°-∠ B-∠ C = 90°$. $\therefore ∠ A,∠ B,∠ C$ 的度数分别为 $90°$,$60°$,$30°$;
(2) 证明:$\because AD = AF, BD = BE, CF = CE$,$\therefore BD+CF = BE+CE = BC$. $\because AB+AC = AD+BD+CF+AF = 2AF + BC$,$\therefore 2AF = AB + AC - BC$. $\because ∠ ODA = ∠ OFA = ∠ A = 90°$,$\therefore$ 四边形 $ADOF$ 是矩形. $\therefore OD = AF$. $\because \odot O$ 的直径为 $d$,$OD$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore d = 2OD = 2AF$. $\therefore d = AB + AC - BC$.

【分析】
（1）求△ABC的内角，先利用内切圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径，得到OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，即四边形ODBE、OECF中各有两个直角。结合四边形内角和为360°，分别代入已知的∠DOE、∠EOF的度数，即可求出∠B和∠C，再利用三角形内角和180°求出∠A。
（2）证明d=AB+AC-BC，先根据切线长定理得到三组相等的切线段，将AB、AC拆分为对应切线段的和，变形得到2AF=AB+AC-BC。再结合第（1）问得到的∠A=90°，可证四边形ADOF是矩形，得到AF=OD，结合直径与半径的关系，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于D、E、F，
$\therefore OD⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC$，
$\therefore ∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°$。
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，已知$∠ DOE=120°$，
$\therefore ∠B = 360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE = 360°-90°-90°-120°=60°$，
同理，在四边形OECF中，$∠ EOF=150°$，
$\therefore ∠C = 360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF = 360°-90°-90°-150°=30°$，
根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠A = 180°-∠B-∠C = 180°-60°-30°=90°$。
(2) 证明：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，
$\therefore AD = AF, BD = BE, CF = CE$，
$\therefore BD+CF = BE+CE = BC$，
$\because AB+AC = AD+BD+AF+CF = (AD+AF)+(BD+CF) = 2AF + BC$，
移项得$2AF = AB + AC - BC$，
又$\because ∠ODA = ∠OFA = ∠A = 90°$，
$\therefore$四边形$ADOF$是矩形，
$\therefore AF = OD$，
$\because \odot O$的直径为$d$，$OD$为$\odot O$的半径，
$\therefore d = 2OD = 2AF$，
$\therefore d = AB + AC - BC$。
【答案】
(1) $∠A=90°$，$∠B=60°$，$∠C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形与内切圆结合的基础题，考查核心性质的应用，计算角度时需结合四边形内角和推导，证明线段关系时要熟练运用切线长定理完成等量代换，属于常考题型，需牢固掌握相关知识点。
【难度系数】
0.7

14. 如图，AB为$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$，$BC＞AC$，点P是$△ ABC$的内心，延长CP交$\odot O$于点D，连接BP，BD.
（1）求证：$BD=PD$；
（2）若$\odot O$的半径是$3\sqrt{2}$，$CD=8$，求BC的长.

14. (1) 证明:$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ACB = 90°$. $\because$ 点 $P$ 是 $△ ABC$ 的内心,$\therefore ∠ ACD = ∠ BCP = 45°$,$∠ CBP = ∠ EBP$. $\therefore ∠ ABD = ∠ ACD = 45°$. $\because ∠ DPB = ∠ BCP + ∠ CBP = 45° + ∠ CBP$,$∠ DBP = ∠ ABD + ∠ EBP = 45° + ∠ EBP$,$\therefore ∠ DPB = ∠ DBP$. $\therefore BD = DP$;
(2) 解:连接 $AD$,过点 $B$ 作 $BH ⊥ CD$ 于点 $H$,$\because AB$ 是直径,$∠ ABD = 45°$,$\therefore AB=6\sqrt{2}$,$△ ABD$ 是等腰直角三角形. $\therefore BD = \frac{\sqrt{2}}{2} AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 6\sqrt{2} = 6$. $\because ∠ BCD = 45°$,$BH ⊥ CD$,$\therefore ∠ BCH = ∠ CBH = 45°$. $\therefore BH = CH$. $\therefore BC = \sqrt{2} BH$. $\because BD^2 = DH^2 + BH^2$,$\therefore 36=(8-BH)^2 + BH^2$. $\therefore BH = 4\pm\sqrt{2}$. $\therefore BC=4\sqrt{2}\pm2$. 又$\because BC＞AC$,$AC^2+BC^2=AB^2=72$,$\therefore BC＞6$. $\therefore BC=4\sqrt{2}+2$.

【分析】
（1）要证明$BD=PD$，可通过证明$∠ DPB=∠ DBP$，利用等角对等边推导。首先由AB是直径得$∠ ACB=90°$，结合P是三角形内心的性质，可得CP平分$∠ ACB$、BP平分$∠ ABC$，得到$45°$的等角，再利用同弧所对圆周角相等得$∠ ABD=∠ ACD=45°$，分别表示出$∠ DPB$和$∠ DBP$即可证明两角相等。
（2）先由圆的半径求出直径AB的长度，连接AD可得等腰直角$△ ABD$，求出BD的长；过B作$BH⊥ CD$于H，由$∠ BCD=45°$得$△ BCH$是等腰直角三角形，设$BH=CH=x$，则$DH=8-x$，在$Rt△ BDH$中用勾股定理列方程求出x，再根据$BC＞AC$的条件筛选符合的x值，即可求出BC的长。
【解析】
（1）证明：
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because$点P是$△ ABC$的内心，$\therefore CP$平分$∠ ACB$，$BP$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCP=45°$，$∠ CBP=∠ ABP$。
$\because$同弧$AD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ABD=∠ ACD=45°$。
$\because ∠ DPB$是$△ BCP$的外角，$\therefore ∠ DPB=∠ BCP+∠ CBP=45°+∠ CBP$，
$∠ DBP=∠ ABD+∠ ABP=45°+∠ ABP$，
$\therefore ∠ DPB=∠ DBP$，$\therefore BD=PD$。
（2）解：
连接$AD$，过点B作$BH⊥ CD$于点H。
$\because \odot O$的半径是$3\sqrt{2}$，$\therefore AB=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ ADB=90°$，又$∠ ABD=45°$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×6\sqrt{2}=6$。
$\because ∠ BCD=45°$，$BH⊥ CD$，$\therefore △ BCH$是等腰直角三角形，
$\therefore BH=CH$，$BC=\sqrt{2}BH$。
设$BH=CH=x$，则$DH=CD-CH=8-x$，
在$Rt△ BDH$中，由勾股定理得$BD^2=DH^2+BH^2$，
代入得$6^2=(8-x)^2+x^2$，
整理得$x^2-8x+14=0$，解得$x=4\pm\sqrt{2}$，
$\therefore BC=\sqrt{2}x=4\sqrt{2}\pm2$。
$\because BC＞AC$，且在$Rt△ ABC$中$AC^2+BC^2=AB^2=72$，若$BC=AC$则$BC=6$，故$BC＞6$。
$\because 4\sqrt{2}-2＜6$不符合条件，舍去，$4\sqrt{2}+2＞6$符合条件，
$\therefore BC=4\sqrt{2}+2$。
【答案】
（1）$BD=PD$得证；
（2）$BC$的长为$4\sqrt{2}+2$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、等腰三角形判定、勾股定理的应用，解题时要注意结合内心性质推导角的等量关系，第二问求解后需要根据题设条件对根进行取舍，较好考查了几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6