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7.若以关于$ x,y $的二元一次方程$ x - 2y + b = 0 $的解为坐标的点$ (x,y) $都在直线$ y = \frac{1}{2}x + b - 1 $上，则常数$ b $的值为（
A.0
B.−1
C.2
D.1
C
）A.0
B.−1
C.2
D.1
答案
7.C
解析
【分析】
首先明确二元一次方程的所有解对应的点构成的图象就是其对应的一次函数的直线，若方程的解对应的点都在另一条直线上，说明两条直线是完全重合的同一条直线，它们的解析式（$y=kx+c$形式）中一次项系数$k$和常数项$c$都对应相等。解题时先将给定的二元一次方程变形为$y$关于$x$的一次函数形式，再对比已知直线的解析式，令常数项相等列方程求解即可得到$b$的值。
【解析】
第一步：将二元一次方程$x - 2y + b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
第二步：根据题意，该方程的所有解对应的点都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，说明两条直线完全重合，因此它们的常数项相等，可列方程：
$\frac{b}{2} = b - 1$
第三步：解上述一元一次方程：
两边同乘2得：$b = 2b - 2$
移项得：$2b - b = 2$
解得：$b = 2$
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；解一元一次方程
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题核心是理解“方程的解对应的点全部在某直线上”的本质是两条直线解析式完全相同，属于基础题型，熟练掌握二者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确二元一次方程的所有解对应的点构成的图象就是其对应的一次函数的直线，若方程的解对应的点都在另一条直线上，说明两条直线是完全重合的同一条直线，它们的解析式（$y=kx+c$形式）中一次项系数$k$和常数项$c$都对应相等。解题时先将给定的二元一次方程变形为$y$关于$x$的一次函数形式，再对比已知直线的解析式，令常数项相等列方程求解即可得到$b$的值。
【解析】
第一步：将二元一次方程$x - 2y + b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
第二步：根据题意，该方程的所有解对应的点都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，说明两条直线完全重合，因此它们的常数项相等，可列方程：
$\frac{b}{2} = b - 1$
第三步：解上述一元一次方程：
两边同乘2得：$b = 2b - 2$
移项得：$2b - b = 2$
解得：$b = 2$
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；解一元一次方程
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题核心是理解“方程的解对应的点全部在某直线上”的本质是两条直线解析式完全相同，属于基础题型，熟练掌握二者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8.如图,直线$l_1:y=x+1$与直线$l_2:y=mx+n$相交于点$P(1,b)$,$l_1$,$l_2$与$y$轴分别交于点$A$,$B$.
(1)求$b$的值；
(2)根据以上信息,直接写出关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解；
(3)当$n=3$时,求$△ PAB$的面积.
(1)求$b$的值；
(2)根据以上信息,直接写出关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解；
(3)当$n=3$时,求$△ PAB$的面积.
答案
解:(1)因为点$ P(1,b) $在直线$ l_1 $上，
所以$ b=1+1=2 $.
(2)关于$ x,y $的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)当$ n=3 $时,直线$ l_2 $的解析式为$ y=mx+3 $,令$ x=0 $,则$ y=3 $,所以$ B(0,3) $.
对于$ l_1:y=x+1 $,令$ x=0 $,则$ y=1 $,
所以$ A(0,1) $,所以$ AB=2 $.
所以$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB·|x_P|=\frac{1}{2}×2×1=1 $.
所以$ b=1+1=2 $.
(2)关于$ x,y $的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)当$ n=3 $时,直线$ l_2 $的解析式为$ y=mx+3 $,令$ x=0 $,则$ y=3 $,所以$ B(0,3) $.
对于$ l_1:y=x+1 $,令$ x=0 $,则$ y=1 $,
所以$ A(0,1) $,所以$ AB=2 $.
所以$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB·|x_P|=\frac{1}{2}×2×1=1 $.
解析
【分析】
(1) 求b的值：已知点P在直线l₁上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点P的横坐标代入l₁的解析式即可算出b的值；
(2) 求方程组的解：二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，交点同时在两条直线上，坐标同时满足两个函数解析式，因此直接写出交点P的坐标即为方程组的解；
(3) 求△PAB的面积：先求A、B两点坐标，A、B是两条直线与y轴的交点，令x=0分别代入两个函数解析式即可得到A、B的纵坐标，算出AB的长度；△PAB的底为AB，高为点P到y轴的水平距离（即P点横坐标的绝对值），代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)
∵点$ P(1,b) $在直线$ l_1:y=x+1 $上，
∴将$x=1$代入解析式得：$ b=1+1=2 $。
(2)
∵直线$l_1$和$l_2$的交点为$P(1,2)$，交点坐标同时满足两个直线的解析式，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3) 当$ n=3 $时，直线$ l_2 $的解析式为$ y=mx+3 $，
令$ x=0 $，得$ y=3 $，即$ B(0,3) $；
对于$ l_1:y=x+1 $，令$ x=0 $，得$ y=1 $，即$ A(0,1) $；
∴$AB=3-1=2$，点P到y轴的距离为$|1|=1$，
∴$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×$点P到y轴的距离$=\frac{1}{2}×2×1=1 $。
【答案】
(1) $b=2$；
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$；
(3) $1$
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程组的关系，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查的均为核心基础知识点，解题的关键是理解一次函数图象与方程（组）的对应关系，计算面积时找准底和对应高即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求b的值：已知点P在直线l₁上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点P的横坐标代入l₁的解析式即可算出b的值；
(2) 求方程组的解：二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，交点同时在两条直线上，坐标同时满足两个函数解析式，因此直接写出交点P的坐标即为方程组的解；
(3) 求△PAB的面积：先求A、B两点坐标，A、B是两条直线与y轴的交点，令x=0分别代入两个函数解析式即可得到A、B的纵坐标，算出AB的长度；△PAB的底为AB，高为点P到y轴的水平距离（即P点横坐标的绝对值），代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)
∵点$ P(1,b) $在直线$ l_1:y=x+1 $上，
∴将$x=1$代入解析式得：$ b=1+1=2 $。
(2)
∵直线$l_1$和$l_2$的交点为$P(1,2)$，交点坐标同时满足两个直线的解析式，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3) 当$ n=3 $时，直线$ l_2 $的解析式为$ y=mx+3 $，
令$ x=0 $，得$ y=3 $，即$ B(0,3) $；
对于$ l_1:y=x+1 $，令$ x=0 $，得$ y=1 $，即$ A(0,1) $；
∴$AB=3-1=2$，点P到y轴的距离为$|1|=1$，
∴$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×$点P到y轴的距离$=\frac{1}{2}×2×1=1 $。
【答案】
(1) $b=2$；
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$；
(3) $1$
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程组的关系，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查的均为核心基础知识点，解题的关键是理解一次函数图象与方程（组）的对应关系，计算面积时找准底和对应高即可快速求解。
【难度系数】
0.8
