7 [2024沭阳段考]如图，，A，B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1.以点A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合于点C处，连接AC，BC，设AB＝x.若以点B为圆心，1.6为半径作⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是 （）

A.$1＜x＜2$
B.$0.6＜x＜1.6$
C.$1＜x＜1.6$
D.$1＜x＜1.4$

D

【分析】
解题时先根据线段和差关系用含x的式子表示出BN的长度，再结合旋转的性质得到AC、BC的长度；首先根据三角形三边关系列出关于x的不等式，得到x的第一组取值范围；再根据“点在圆外时，点到圆心的距离大于半径”，结合点M、N都在⊙B外的条件列出关于x的不等式，得到第二组取值范围；最后取所有范围的公共部分即可得到x的最终取值范围。
【解析】
解：
∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=MN-MA-AB=4-1-x=3-x，
由旋转的性质可得：AC=MA=1，BC=BN=3-x，
∵△ABC存在，需满足三角形三边关系：
①$AC + AB ＞ BC$，即$1 + x ＞ 3 - x$，解得$x＞1$；
②$AC + BC ＞ AB$，即$1 + (3 - x) ＞ x$，解得$x＜2$；
③$AB + BC ＞ AC$，即$x + (3 - x) ＞1$，化简得$3＞1$，恒成立。
又
∵点M、N都在半径为1.6的⊙B外，点在圆外时点到圆心的距离大于半径：
$MB=MA+AB=1+x ＞1.6$，解得$x＞0.6$；
$BN=3-x ＞1.6$，解得$x＜1.4$；
综合所有不等式的解，取公共部分得：$1 ＜ x ＜ 1.4$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；三角形三边关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于综合基础题，解题的关键是梳理清楚所有限制x取值的条件，不要漏看三角形三边关系或点与圆的位置关系的限制，最后取所有解集的公共部分即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

8 在$△ ABC$中，$∠ B=55°,∠ C=65°$.现分别以点$B,C$为圆心，$BC$长为半径画$\odot B,\odot C$，则点$A$在$\odot B$ ，点$A$在$\odot C$ （填“内”“上”或“外”）.

外 内
【解析】在$△ ABC$中,$∠B=55°,∠C=65°,∴ ∠A=60°,∴ ∠C＞∠A＞∠B,∴ AB＞BC＞AC,∴$ 点$A$在$\odot B$外,点$A$在$\odot C$内.

【分析】
要判断点A与⊙B、⊙C的位置关系，需根据点到圆心的距离和半径的大小关系判定：距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内。本题中⊙B、⊙C的半径都为BC，因此只要比较AB与BC、AC与BC的大小即可。三角形中边的大小可通过“大角对大边”判断，所以先利用三角形内角和求出∠A的度数，再比较三个内角的大小，就能得到三边的大小关系，进而判断点的位置。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 55° - 65° = 60°$
因此三个角的大小关系为：$∠ C ＞ ∠ A ＞ ∠ B$
根据三角形“大角对大边”的性质，对应边的大小关系为：$AB ＞ BC ＞ AC$
∵⊙B的半径为$BC$，点A到圆心B的距离为$AB$，$AB＞BC$
∴点A在$\odot B$外
∵⊙C的半径为$BC$，点A到圆心C的距离为$AC$，$AC＜BC$
∴点A在$\odot C$内
【答案】
外；内
【知识点】
点与圆的位置关系判定；三角形内角和定理；三角形大角对大边
【点评】
本题属于基础题，将点与圆的位置关系判定和三角形基础性质结合考查，熟练掌握相关基础知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.8

9 在平面直角坐标系中，$\odot O$的直径为26，圆心O为坐标原点，则点$P(-12,-5)$与$\odot O$的位置关系是。

点$P$在$\odot O$上

【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需按以下思路推导：首先明确点与圆的位置关系由点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小关系决定，$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。因此第一步先根据圆的直径求出半径$r$，第二步利用两点间距离公式计算点$P$到原点$O$的距离$d$，最后对比$d$和$r$的大小即可得出结论。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为26，因此$\odot O$的半径$r=26÷2=13$。
圆心$O$为坐标原点$(0,0)$，点$P$的坐标为$(-12,-5)$，根据两点间距离公式，点$P$到圆心$O$的距离为：
$OP=\sqrt{(-12-0)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
可得$OP=r$，因此点$P$在$\odot O$上。
【答案】
点$P$在$\odot O$上
【知识点】
1.点与圆的位置关系判定
2.两点间距离公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查点与圆位置关系的判定逻辑，只要掌握判定规则和两点间距离的计算方法，就能快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9

10已知$\odot O$的半径为2，设点M到圆心O的距离$OM=a$。若关于x的方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + a - 1 = 0$有实数根，则点M与$\odot O$的位置关系为。

点$M$在$\odot O$上或$\odot O$内

【分析】
要判断点M与$\odot O$的位置关系，需先确定$OM=a$的取值范围：① 已知关于x的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式$\Delta ≥ 0$，据此可列不等式求出a的取值范围；② 再结合点与圆的位置关系的判定规则：点到圆心的距离等于半径时在圆上，小于半径时在圆内，大于半径时在圆外，将a的范围和$\odot O$的半径2比较，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + a - 1 = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{2})^2 - 4 × 2 × (a - 1)$
计算得：
$\Delta = 8 - 8(a - 1) = 16 - 8a$
∵ 方程有实数根
∴ $\Delta ≥ 0$，即$16 - 8a ≥ 0$
解不等式得：$a ≤ 2$
已知$\odot O$的半径为2，点M到圆心的距离$OM=a$
∴ 当$a=2$时，点M在$\odot O$上；当$a＜2$时，点M在$\odot O$内
综上，点M在$\odot O$上或$\odot O$内。
【答案】
点$M$在$\odot O$上或$\odot O$内
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，将一元二次方程根的情况和点与圆的位置关系相结合，解题的关键是熟练掌握两个模块的基础知识点，先通过判别式求出参数的取值范围，再进行位置关系的判断。
【难度系数】
0.7

11 如图,在平面直角坐标系中,以点A(2,0)为圆心作圆,使圆经过点B(0,-4).
(1) 试判断点C(0,4),D(-2,0),E(0,8)与$\odot A$ 的位置关系;
(2) 若点M(0,m)在$\odot A$外,则m的取值范围是.

(1) 连接$AB. \because A(2,0),B(0,-4),\therefore OA=2,OB=4.$ 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,即$\odot A$的半径为$2\sqrt{5}. \because C(0,4),D(-2,0),E(0,8),\therefore$ 同理,可得$AC=2\sqrt{5},AD=4,AE=2\sqrt{17}. \because AC=2\sqrt{5},AD＜2\sqrt{5},AE＞2\sqrt{5},\therefore$ 点$C(0,4)$在$\odot A$上,点$D(-2,0)$在$\odot A$内,点$E(0,8)$在$\odot A$外 (2) $m＜-4$或$m＞4$

【分析】
要判断点与圆的位置关系，首先需要确定圆的半径：已知⊙A过点B，因此半径r等于AB的长度，可通过勾股定理计算AB的长度。接下来分别计算各待判断点到圆心A的距离d，再根据d与r的大小关系判断位置：d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内，d＞r时点在圆外。第二问中，点M在y轴上，结合y轴上落在⊙A上的点的坐标，即可推出M在圆外时m的取值范围。
【解析】
(1) 连接$AB$，
$\because A(2,0),B(0,-4)$，
$\therefore OA=2,OB=4,∠ AOB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot A$的半径$r=2\sqrt{5}$。
分别计算各点到A的距离：
对$C(0,4)$：$AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}=r$；
对$D(-2,0)$：$AD=\sqrt{[2-(-2)]^2+(0-0)^2}=4＜2\sqrt{5}$；
对$E(0,8)$：$AE=\sqrt{(2-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{4+64}=2\sqrt{17}＞2\sqrt{5}$。
$\therefore$ 点$C$在$\odot A$上，点$D$在$\odot A$内，点$E$在$\odot A$外。
(2) 点$M(0,m)$在y轴上，由(1)可知y轴上的点$B(0,-4)$、$C(0,4)$在$\odot A$上，若点$M$在$\odot A$外，则点M到A的距离大于半径，即$m$的取值范围为$m＜-4$或$m＞4$。
【答案】
(1) 点$C(0,4)$在$\odot A$上，点$D(-2,0)$在$\odot A$内，点$E(0,8)$在$\odot A$外；
(2) $m＜-4$或$m＞4$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、两点间距离计算
【点评】
本题核心考查点与圆位置关系的判定，解题关键是掌握点到圆心距离和半径的大小比较规则，能熟练运用勾股定理计算平面直角坐标系中两点的距离，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

12 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心,r为半径作圆.
(1) 在点A,B,C中,若有且只有一点在圆内,求r的取值范围;
(2) 在点A,B,C中,若至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,求r的取值范围.

连接$DB. \because$ 四边形$ABCD$为矩形,$\therefore ∠A=90°,DC=AB.$
$\because AB=4,AD=3,\therefore DC=4,BD=\sqrt{3^2+4^2}=5,\therefore DA＜DC＜DB.$ (1) 由题意,得只能是点$A$在$\odot D$内,点$B,C$均不在$\odot D$内,$\therefore DA＜r≤ DC$,即$3＜r≤4$ (2) 由题意,得点$A$一定在$\odot D$内,点$B$一定在$\odot D$外,$\therefore 3＜r＜5$

【分析】
要解决本题，首先要明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。第一步先计算A、B、C三点到圆心D的距离：矩形中AD=3，DC=AB=4，对角线BD用勾股定理求得为5，可得距离大小关系为$DA＜DC＜DB$。再结合两问的条件推导r的范围：
(1)要求有且只有1个点在圆内，只能是距离最小的点A在圆内，其余两点在圆上或圆外，因此r要大于DA且小于等于DC；
(2)要求至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，说明半径要大于最小距离（保证存在圆内的点），小于最大距离（保证存在圆外的点）即可。
【解析】
解：连接$BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore ∠A=90°,DC=AB$。
$\because AB=4,AD=3$，
$\therefore DC=4$，$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
可得三点到D的距离关系：$DA＜DC＜DB$。
(1) 若点A,B,C中有且只有一点在圆内，结合距离关系可知仅点A在圆内，点B、C不在圆内，
$\therefore DA＜r≤ DC$，即$3＜r≤4$。
(2) 若至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，结合距离关系可知半径需大于最小距离、小于最大距离，
$\therefore DA＜r＜DB$，即$3＜r＜5$。
【答案】
(1) $\boxed{3＜r≤4}$
(2) $\boxed{3＜r＜5}$
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的实际应用，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合题设条件确定半径的取值范围，解题时需注意判断端点值是否符合要求，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7