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10.(2025·泰兴期中)已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - x - 2 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$取最小的正整数时,求方程的根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$取最小的正整数时,求方程的根.
答案
解:(1)$\because$一元二次方程$mx^2 - x - 2 = 0$有两个不相等的实数根,
$\therefore b^2 - 4ac=(-1)^2 - 4× m× (-2)＞0$ 且 $m≠0$,
所以 $m＞-\dfrac{1}{8}$ 且 $m≠0$.
(2)$\because m＞-\dfrac{1}{8}$ 且 $m≠0$,$m$取最小的正整数,$\therefore m=1$,
$\therefore$ 方程为 $x^2 - x - 2=0$,
解得 $x_1=2$,$x_2=-1$.
$\therefore b^2 - 4ac=(-1)^2 - 4× m× (-2)＞0$ 且 $m≠0$,
所以 $m＞-\dfrac{1}{8}$ 且 $m≠0$.
(2)$\because m＞-\dfrac{1}{8}$ 且 $m≠0$,$m$取最小的正整数,$\therefore m=1$,
$\therefore$ 方程为 $x^2 - x - 2=0$,
解得 $x_1=2$,$x_2=-1$.
11.(2025·姑苏区期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + 4 - m^2 = 0$.
(1)求证:不论$m$为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两根均不小于$1$,求$m$的取值范围.
(1)求证:不论$m$为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两根均不小于$1$,求$m$的取值范围.
答案
(1)证明:$\because b^2 - 4ac=(-4)^2 - 4× 1× (4 - m^2)=16 - 16 + 4m^2=4m^2≥0$,
$\therefore$ 不论 $m$ 为何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because x^2 - 4x + 4 - m^2=0$,$\therefore (x - 2)^2=m^2$,
$\therefore x - 2=\pm m$,$\therefore x_1=2 + m$,$x_2=2 - m$.
$\because$ 两根均不小于 $1$,
$\therefore \begin{cases}2+m≥1,\\2-m≥1,\end{cases}$
解得 $-1≤ m≤1$,
即 $m$ 的取值范围为 $-1≤ m≤1$.
$\therefore$ 不论 $m$ 为何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because x^2 - 4x + 4 - m^2=0$,$\therefore (x - 2)^2=m^2$,
$\therefore x - 2=\pm m$,$\therefore x_1=2 + m$,$x_2=2 - m$.
$\because$ 两根均不小于 $1$,
$\therefore \begin{cases}2+m≥1,\\2-m≥1,\end{cases}$
解得 $-1≤ m≤1$,
即 $m$ 的取值范围为 $-1≤ m≤1$.
12.已知关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x - 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为 2,求 $ a $ 的值；
(3)直接写出所有不大于 5 的正整数 $ a $ 的值,使原方程的两个根均为有理数.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为 2,求 $ a $ 的值；
(3)直接写出所有不大于 5 的正整数 $ a $ 的值,使原方程的两个根均为有理数.
答案
解:(1)根据题意,得 $a≠0$ 且 $b^2 - 4ac=2^2 - 4a× (-3)＞0$,解得 $a＞-\dfrac{1}{3}$ 且 $a≠0$.
(2)把 $x=2$ 代入 $ax^2 + 2x - 3=0$,得 $4a + 4 - 3=0$,解得 $a=-\dfrac{1}{4}$.
(3)当 $b^2 - 4ac=4 + 12a$ 为完全平方数时,原方程的两个根均为有理数,
当 $a=1$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 12=16$;
当 $a=2$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 24=28$(舍去);
当 $a=3$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 36=40$(舍去);
当 $a=4$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 48=52$(舍去);
当 $a=5$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 60=64$.
综上所述,当 $a$ 的值为 1 或 5 时,原方程的两个根均为有理数.
(2)把 $x=2$ 代入 $ax^2 + 2x - 3=0$,得 $4a + 4 - 3=0$,解得 $a=-\dfrac{1}{4}$.
(3)当 $b^2 - 4ac=4 + 12a$ 为完全平方数时,原方程的两个根均为有理数,
当 $a=1$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 12=16$;
当 $a=2$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 24=28$(舍去);
当 $a=3$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 36=40$(舍去);
当 $a=4$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 48=52$(舍去);
当 $a=5$ 时,$b^2 - 4ac=4 + 60=64$.
综上所述,当 $a$ 的值为 1 或 5 时,原方程的两个根均为有理数.
13.已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2k+1)x + 5(k - \frac{3}{4}) = 0 $。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,该方程总有实数根;
(2)若等腰 $ △ ABC $ 的一边长 $ a=4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是该方程的两个根,求 $ △ ABC $ 的周长。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,该方程总有实数根;
(2)若等腰 $ △ ABC $ 的一边长 $ a=4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是该方程的两个根,求 $ △ ABC $ 的周长。
答案
(1)证明:$b^2 - 4ac=[-(2k+1)]^2 - 4× 5(k - \dfrac{3}{4})=4(k-2)^2$.
$\because 4(k-2)^2≥0$,即 $b^2 - 4ac≥0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because △ ABC$ 是等腰三角形,$a=4$,
$\therefore b=c$ 或 $b,c$ 中有一个为 $4$.
①当 $b=c$ 时,$4(k-2)^2=0$,则 $k=2$,方程化为 $x^2 - 5x + \dfrac{25}{4}=0$,解得 $x_1=x_2=\dfrac{5}{2}$,
而 $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=5＞4$,$\therefore \dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2},4$ 能构成三角形,
则 $△ ABC$ 的周长为 $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}+4=9$;
②当 $b=a=4$ 或 $c=a=4$ 时,
把 $x=4$ 代入方程,得 $16 - 4(2k+1)+5(k - \dfrac{3}{4})=0$,
解得 $k=\dfrac{11}{4}$,方程化为 $x^2 - \dfrac{13}{2}x + 10=0$,解得 $x_1=\dfrac{5}{2}$,
$x_2=4$.$\because 4,4,\dfrac{5}{2}$ 能构成三角形,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $4+4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{21}{2}$.
综上所述,$△ ABC$ 的周长为 $9$ 或 $\dfrac{21}{2}$.
$\because 4(k-2)^2≥0$,即 $b^2 - 4ac≥0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,该方程总有实数根.
(2)解:$\because △ ABC$ 是等腰三角形,$a=4$,
$\therefore b=c$ 或 $b,c$ 中有一个为 $4$.
①当 $b=c$ 时,$4(k-2)^2=0$,则 $k=2$,方程化为 $x^2 - 5x + \dfrac{25}{4}=0$,解得 $x_1=x_2=\dfrac{5}{2}$,
而 $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=5＞4$,$\therefore \dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2},4$ 能构成三角形,
则 $△ ABC$ 的周长为 $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}+4=9$;
②当 $b=a=4$ 或 $c=a=4$ 时,
把 $x=4$ 代入方程,得 $16 - 4(2k+1)+5(k - \dfrac{3}{4})=0$,
解得 $k=\dfrac{11}{4}$,方程化为 $x^2 - \dfrac{13}{2}x + 10=0$,解得 $x_1=\dfrac{5}{2}$,
$x_2=4$.$\because 4,4,\dfrac{5}{2}$ 能构成三角形,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $4+4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{21}{2}$.
综上所述,$△ ABC$ 的周长为 $9$ 或 $\dfrac{21}{2}$.
