8. 在平面直角坐标系中,若以点$A(2,-1)$为圆心,2为半径的$\odot A$与过点$B(1,0)$的直线交于点$C,D$,则$CD$的最小值为 （）

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$

8.C

9. 如图，AB是$\odot O$的弦，C是优弧$\overset{\frown}{AB}$上的动点（点C不与点A，B重合），$CH⊥ AB$，垂足为H，M是BC的中点.若$\odot O$的半径是3，则MH长的最大值是 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

9.A

10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=70°$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径作弧,交直线$BC$于点$P$,连接$AP$,则$∠ BAP$的度数是$\underline{\hspace{5em}}$.

10.$15°或75°$

11. 如图,正方形 $ABCD$ 在$\odot O$的内部,点 $B,C$ 在圆上,点 $A,D$ 在直径上.
(1)$OA$ 与 $OD$ 相等吗? 为什么?
(2)在正方形 $ABCD$ 右侧再作一个小正方形 $EDGF$,且点 $F$ 在$\odot O$上,若正方形 $ABCD$ 的边长为 4,求正方形 $EDGF$ 的边长.

11.解:(1)$OA=OD$. 理由如下:连接OB,OC,如答图.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠BAO=∠CDO=90°,AB=DC$.
又$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ABO≌\mathrm{Rt}△DCO(\mathrm{HL})$,
$\therefore OA=OD$.
(2)$\because AD=4,\therefore OD=2,OC=2\sqrt{5}$.
如答图,连接 OF,则 $OF=OC=2\sqrt{5}$.
设正方形 $EDGF$ 的边长为 $x$,
在$\mathrm{Rt}△OGF$中,$FG^2+OG^2=OF^2$,
即$x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2$,
解得$x_1=2,x_2=-4$(不合题意,舍去),
$\therefore$ 正方形 $EDGF$ 的边长为 2.

12.(2025·徐州泉山区模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,以AB边上的动点O为圆心,OB的长为半径作圆,将△AOD沿OD翻折至△A'OD,若⊙O过△A'OD一边上的中点,求⊙O的半径.

12.解:如答图①,当以 OB 为半径的$\odot O$过$△A'OD$的边$OA'$的中点时,由折叠可知 $OA=OA'$. 又$\because OA'=2OB$,
$\therefore AB=3OB,\therefore OB=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}$. 如答图②,当以 OB 为半径的$\odot O$过$△A'OD$的边OD的中点时,$OD=2OB$. 设$OB=x$,则$OD=2x,OA=2-x$. 在$\mathrm{Rt}△AOD$中,由勾股定理,得$OA^2+AD^2=OD^2$,$\therefore (2-x)^2+2^2=(2x)^2$,解得$x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$(负值舍去),即半径$OB=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$.如答图③,当以 OB 为半径的$\odot O$过$△A'OD$的边$A'D$的中点时,$A'E=\frac{1}{2}AD=1$. 设 $OB=y$,则$OE=y,OA'=OA=2-y$. 在$\mathrm{Rt}△A'OE$中,由勾股定理,得$OA'^2+A'E^2=OE^2$,$\therefore (2-y)^2+1^2=y^2$,解得 $y=\frac{5}{4}$,即半径$OB=\frac{5}{4}$.
综上所述,半径 OB 的长为$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$.