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23. 下列是学习方程应用时，老师的板书和两名同学所列的方程(组).
问题:某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和17枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币.这件衣服价值多少银币？他每月所得报酬是多少？
小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2, \\12y=x+17,\end{cases}$ 小强所列方程为$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
根据以上信息，解答下列问题.
(1)以上两个方程(组)中$x$的意义是________，小刚所列的方程组中$y$的意义是________；
(2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程，请完成这一推导过程；
(3)请从以上两个方程(组)中任选一个，并完成老师提出的问题.
问题:某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和17枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币.这件衣服价值多少银币？他每月所得报酬是多少？
小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2, \\12y=x+17,\end{cases}$ 小强所列方程为$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
根据以上信息，解答下列问题.
(1)以上两个方程(组)中$x$的意义是________，小刚所列的方程组中$y$的意义是________；
(2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程，请完成这一推导过程；
(3)请从以上两个方程(组)中任选一个，并完成老师提出的问题.
答案
23.(1) 一件衣服的价值 每个月所得的报酬
(2) $\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ 由②,得 $y=\dfrac{x+17}{12}$. 将 $y = \dfrac{x+17}{12}$ 代入①,得 $\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
(3) 选择小刚的方法：
$\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ ②$-$①, 得 $5y=15$,解得 $y=3$. 把 $y=3$ 代入①,得 $7×3=x+2$,解得 $x=19$.
$\therefore$原方程组的解为 $\begin{cases}x=19,\\y=3.\end{cases}$
选择小强的方法：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$,
去分母,得 $7(x+17)=12x+24$,
去括号,得 $7x+119=12x+24$,移项、合并同类项,得 $5x=95$,系数化为1,得 $x=19$,即这件衣服的价值为19银币.
$\therefore$每月的报酬为 $\dfrac{19+17}{12}=3$(银币).
答:这件衣服的价值是19银币,他每月所得报酬为3银币.
(2) $\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ 由②,得 $y=\dfrac{x+17}{12}$. 将 $y = \dfrac{x+17}{12}$ 代入①,得 $\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
(3) 选择小刚的方法：
$\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ ②$-$①, 得 $5y=15$,解得 $y=3$. 把 $y=3$ 代入①,得 $7×3=x+2$,解得 $x=19$.
$\therefore$原方程组的解为 $\begin{cases}x=19,\\y=3.\end{cases}$
选择小强的方法：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$,
去分母,得 $7(x+17)=12x+24$,
去括号,得 $7x+119=12x+24$,移项、合并同类项,得 $5x=95$,系数化为1,得 $x=19$,即这件衣服的价值为19银币.
$\therefore$每月的报酬为 $\dfrac{19+17}{12}=3$(银币).
答:这件衣服的价值是19银币,他每月所得报酬为3银币.
解析
【分析】
(1) 结合题干所求的两个量：衣服价值、每月报酬，观察方程的等量关系：7个月报酬=衣服价值+2银币，12个月报酬=衣服价值+17银币，即可对应得到x、y的含义。
(2) 要推导得到小强的一元一次方程，需运用代入消元的思路：先从二元一次方程组的第二个方程中将y用含x的代数式表示，再代入第一个方程消去y，即可得到仅含x的方程。
(3) 若选二元一次方程组，可通过加减消元法先消去x求出y的值，再代入求x的值；若选一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解x，再计算每月报酬即可。
【解析】
(1) 根据题意，12个月的总报酬为1件衣服加17枚银币，7个月的总报酬为1件衣服加2枚银币，对照方程可知x表示一件衣服的价值，y表示每个月所得的报酬。
(2) 已知小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2&①\\12y=x+17&②\end{cases}$，
由②两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，
将$y=\dfrac{x+17}{12}$代入①式，可得$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，即为小强所列的方程。
(3) 选择小刚的方程组求解：
$\begin{cases}7y=x+2&①\\12y=x+17&②\end{cases}$，
用②-①，得$12y-7y=(x+17)-(x+2)$，
化简得$5y=15$，解得$y=3$，
将$y=3$代入①式，得$7×3=x+2$，解得$x=19$。
若选择小强的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，
去分母，两边同乘12得$7(x+17)=12(x+2)$，
去括号得$7x+119=12x+24$，
移项、合并同类项得$5x=95$，
系数化为1得$x=19$，
则每月报酬为$\dfrac{19+17}{12}=3$（银币）。
【答案】
(1) 一件衣服的价值；每个月所得的报酬
(2) 推导过程：$\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ 由②得 $y=\dfrac{x+17}{12}$，将$y = \dfrac{x+17}{12}$代入①，得$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$。
(3) 这件衣服价值19银币，他每月所得报酬为3银币。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；代入消元法
【点评】
本题结合实际生活中的报酬结算场景，考查方程的建模与求解，体现了一元一次方程和二元一次方程组的内在联系，有助于提升学生分析等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 结合题干所求的两个量：衣服价值、每月报酬，观察方程的等量关系：7个月报酬=衣服价值+2银币，12个月报酬=衣服价值+17银币，即可对应得到x、y的含义。
(2) 要推导得到小强的一元一次方程，需运用代入消元的思路：先从二元一次方程组的第二个方程中将y用含x的代数式表示，再代入第一个方程消去y，即可得到仅含x的方程。
(3) 若选二元一次方程组，可通过加减消元法先消去x求出y的值，再代入求x的值；若选一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解x，再计算每月报酬即可。
【解析】
(1) 根据题意，12个月的总报酬为1件衣服加17枚银币，7个月的总报酬为1件衣服加2枚银币，对照方程可知x表示一件衣服的价值，y表示每个月所得的报酬。
(2) 已知小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2&①\\12y=x+17&②\end{cases}$，
由②两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，
将$y=\dfrac{x+17}{12}$代入①式，可得$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，即为小强所列的方程。
(3) 选择小刚的方程组求解：
$\begin{cases}7y=x+2&①\\12y=x+17&②\end{cases}$，
用②-①，得$12y-7y=(x+17)-(x+2)$，
化简得$5y=15$，解得$y=3$，
将$y=3$代入①式，得$7×3=x+2$，解得$x=19$。
若选择小强的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，
去分母，两边同乘12得$7(x+17)=12(x+2)$，
去括号得$7x+119=12x+24$，
移项、合并同类项得$5x=95$，
系数化为1得$x=19$，
则每月报酬为$\dfrac{19+17}{12}=3$（银币）。
【答案】
(1) 一件衣服的价值；每个月所得的报酬
(2) 推导过程：$\begin{cases}7y=x+2①,\\12y=x+17②,\end{cases}$ 由②得 $y=\dfrac{x+17}{12}$，将$y = \dfrac{x+17}{12}$代入①，得$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$。
(3) 这件衣服价值19银币，他每月所得报酬为3银币。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；代入消元法
【点评】
本题结合实际生活中的报酬结算场景，考查方程的建模与求解，体现了一元一次方程和二元一次方程组的内在联系，有助于提升学生分析等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
24.【学习材料】
在求代数式的值时,有些题目可以用整体求值的方法,化难为易.
例如:已知$\begin{cases}3x+2y+z=4,①\\7x+4y+3z=10,②\end{cases}$求$2x+y+z$的值.
解:②$-$①,得$4x+2y+2z=6$.③
③$×\frac{1}{2}$,得$2x+y+z=3$,所以$2x+y+z$的值为3.
【类似迁移】
(1)已知$\begin{cases}x+2y+3z=10,①\\5x+6y+7z=26,②\end{cases}$则$3x+4y+5z$的值为 ______ ;
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来,七(2)班学生准备购买若干啦啦队道具,积极筹备入场表演.根据商店的价格,若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗,需要28元;若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗,需要66元.七(2)班共45名同学,则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元?
在求代数式的值时,有些题目可以用整体求值的方法,化难为易.
例如:已知$\begin{cases}3x+2y+z=4,①\\7x+4y+3z=10,②\end{cases}$求$2x+y+z$的值.
解:②$-$①,得$4x+2y+2z=6$.③
③$×\frac{1}{2}$,得$2x+y+z=3$,所以$2x+y+z$的值为3.
【类似迁移】
(1)已知$\begin{cases}x+2y+3z=10,①\\5x+6y+7z=26,②\end{cases}$则$3x+4y+5z$的值为 ______ ;
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来,七(2)班学生准备购买若干啦啦队道具,积极筹备入场表演.根据商店的价格,若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗,需要28元;若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗,需要66元.七(2)班共45名同学,则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元?
答案
24.(1) $18$
(2) 设买1条彩带需要$x$元,1个头饰需要$y$元,1面小红旗需要$z$元,
由题意,得 $\begin{cases}3x+2y+z=28①,\\7x+5y+3z=66②,\end{cases}$
②$-$①$×2$,得 $x+y+z=10③$.
③$×45$,得 $45x+45y+45z=450$.
答:购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元.
(2) 设买1条彩带需要$x$元,1个头饰需要$y$元,1面小红旗需要$z$元,
由题意,得 $\begin{cases}3x+2y+z=28①,\\7x+5y+3z=66②,\end{cases}$
②$-$①$×2$,得 $x+y+z=10③$.
③$×45$,得 $45x+45y+45z=450$.
答:购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元.
解析
【分析】
(1) 求解时运用整体思想，观察已知两个方程和所求代数式$3x+4y+5z$的系数关系，发现两个已知方程相加后，左边各项系数恰好是所求代数式对应系数的2倍，因此先将两个方程求和，再除以2即可得到结果，无需单独求出x、y、z的取值。
(2) 先根据题意设未知数列出三元一次方程组，所求总费用对应$45(x+y+z)$，因此只需通过方程变形求出$x+y+z$的整体值，再乘45即可得到结果，同样利用整体思想简化计算。
【解析】
(1) 将方程①和方程②左右两边分别相加，得：
$(x+2y+3z)+(5x+6y+7z)=10+26$
整理得$6x+8y+10z=36$，
等式两边同时除以2，得$3x+4y+5z=18$。
(2) 设买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，
根据题意列方程组：$\begin{cases}3x+2y+z=28①\\7x+5y+3z=66②\end{cases}$
用②$-$①$×2$，得：
$(7x+5y+3z)-2×(3x+2y+z)=66-2×28$
整理得$x+y+z=10$③，
购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗的总费用为$45(x+y+z)$，将③代入得$45×10=450$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{18}$
(2) 购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要$\boxed{450}$元。
【知识点】
整体思想求值，列方程组解应用题，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，不需要逐一求解每个未知数的取值，只需观察目标代数式和已知方程的系数关联，对已知方程做合适的加减变形即可快速得到结果，大幅简化了计算步骤，解题核心是准确找到已知式和目标式的系数规律。
【难度系数】
0.7
(1) 求解时运用整体思想，观察已知两个方程和所求代数式$3x+4y+5z$的系数关系，发现两个已知方程相加后，左边各项系数恰好是所求代数式对应系数的2倍，因此先将两个方程求和，再除以2即可得到结果，无需单独求出x、y、z的取值。
(2) 先根据题意设未知数列出三元一次方程组，所求总费用对应$45(x+y+z)$，因此只需通过方程变形求出$x+y+z$的整体值，再乘45即可得到结果，同样利用整体思想简化计算。
【解析】
(1) 将方程①和方程②左右两边分别相加，得：
$(x+2y+3z)+(5x+6y+7z)=10+26$
整理得$6x+8y+10z=36$，
等式两边同时除以2，得$3x+4y+5z=18$。
(2) 设买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，
根据题意列方程组：$\begin{cases}3x+2y+z=28①\\7x+5y+3z=66②\end{cases}$
用②$-$①$×2$，得：
$(7x+5y+3z)-2×(3x+2y+z)=66-2×28$
整理得$x+y+z=10$③，
购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗的总费用为$45(x+y+z)$，将③代入得$45×10=450$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{18}$
(2) 购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要$\boxed{450}$元。
【知识点】
整体思想求值，列方程组解应用题，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，不需要逐一求解每个未知数的取值，只需观察目标代数式和已知方程的系数关联，对已知方程做合适的加减变形即可快速得到结果，大幅简化了计算步骤，解题核心是准确找到已知式和目标式的系数规律。
【难度系数】
0.7
