登录
1. [2026南京一模]一元二次方程$x(x-1)=0$的两根是（
A.0,1
B.0,2
C.1,2
D.1,-2
A
）A.0,1
B.0,2
C.1,2
D.1,-2
答案
$\because x(x-1)=0,\therefore x=0$或$x-1=0$,解得$x_1=0,x_2=1.$
2. 嘉嘉在解方程$x(x-3)=x-3$时,只得到一个解是$x=1$,则他漏掉的解是（
A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=0$
D.$x=-1$
A
）A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=0$
D.$x=-1$
答案
A
3. [2025宿迁泗阳期中]已知$y_1=x^2 -9$，$y_2=3 -x$，当$y_1=y_2$时，$x=$
-4或3
。答案
$\because y_1=x^2 -9,y_2=3 -x,\therefore$ 当$y_1=y_2$时,$x^2 -9 =3 -x$,则$(x-3)(x+3)+(x-3)=0$,即$(x-3)(x+4)=0$,$\therefore x_1=3,x_2=-4$,即$x=-4$或$3.$
4. 用因式分解法解方程$x^2 + px - 6 = 0$，将左边分解因式后有一个因式是$x - 3$，则$p$的值是
-1
。答案
由题意,设$x^2 +px -6=(x-3)(x+a),\therefore x^2 +px -6=x^2 +(a-3)x -3a,\therefore p=a-3,-6=-3a,\therefore a=2,p=-1.$
5. 用因式分解法解下列方程：
(1) $2x(x - 3) - (3 - x) = 0$;
(2) $3x(x - 2) = 2x - 4$;
(3) $x^2 = 2\sqrt{2}x - 2$;
(4) $(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$.
(1) $2x(x - 3) - (3 - x) = 0$;
(2) $3x(x - 2) = 2x - 4$;
(3) $x^2 = 2\sqrt{2}x - 2$;
(4) $(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$.
答案
解:(1)原方程可变形为$2x(x-3)+(x-3)=0$,
$(2x+1)(x-3)=0$,
$2x+1=0$或$x-3=0$,
所以$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = 3$.
(2)原方程可变形为$3x(x-2)-2(x-2)=0$,
$(x-2)(3x-2)=0$,
$x-2=0$或$3x-2=0$,
所以$x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$.
(3)原方程可变形为$x^2 -2\sqrt{2}x +2=0$,
$(x-\sqrt{2})^2=0$,
所以$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$.
(4)原方程可变形为$(x-4)^2 -(5-2x)^2=0$,
$(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0$,
$(1-x)(3x-9)=0$,
$1-x=0$或$3x-9=0$,
所以$x_1 = 1,x_2 = 3$.
$(2x+1)(x-3)=0$,
$2x+1=0$或$x-3=0$,
所以$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = 3$.
(2)原方程可变形为$3x(x-2)-2(x-2)=0$,
$(x-2)(3x-2)=0$,
$x-2=0$或$3x-2=0$,
所以$x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$.
(3)原方程可变形为$x^2 -2\sqrt{2}x +2=0$,
$(x-\sqrt{2})^2=0$,
所以$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$.
(4)原方程可变形为$(x-4)^2 -(5-2x)^2=0$,
$(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0$,
$(1-x)(3x-9)=0$,
$1-x=0$或$3x-9=0$,
所以$x_1 = 1,x_2 = 3$.
6. 教材讨论变式 [2026 扬州宝应月考] 习题课上，数学老师展示了嘉嘉的解答过程：
解方程 $4(x-5)=(x-5)^2$。
解：方程两边同时除以$(x-5)$，得
$4=x-5$，第一步
$4+5=x$，第二步
$x=9$。第三步
(1)嘉嘉的解答过程从第
(2)请给出这道题的正确解答过程。
解方程 $4(x-5)=(x-5)^2$。
解：方程两边同时除以$(x-5)$，得
$4=x-5$，第一步
$4+5=x$，第二步
$x=9$。第三步
(1)嘉嘉的解答过程从第
一
步开始出现错误；(2)请给出这道题的正确解答过程。
答案
(1)一
(2)移项,得$4(x-5)-(x-5)^2=0$,
$(x-5)[4-(x-5)]=0$,
即$x-5=0$或$4-x+5=0$,
所以$x_1=5,x_2=9$.
(2)移项,得$4(x-5)-(x-5)^2=0$,
$(x-5)[4-(x-5)]=0$,
即$x-5=0$或$4-x+5=0$,
所以$x_1=5,x_2=9$.
7. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(2x - 1)^2 - 9 = 0$；
(2)$x^2 - 2x = 5$；
(3)$2x^2 - 3 = 3x$；
(4)$(x - 3)^2 + 2x(x - 3) = 0$。
(1)$(2x - 1)^2 - 9 = 0$；
(2)$x^2 - 2x = 5$；
(3)$2x^2 - 3 = 3x$；
(4)$(x - 3)^2 + 2x(x - 3) = 0$。
答案
解:(1)移项,得$(2x-1)^2=9$.
直接开平方,得$2x-1=\pm3$,
$\therefore x_1=2,x_2=-1$.
(2)配方,得$x^2 -2x +1=5+1$,即$(x-1)^2=6$.
解这个方程,得$x-1=\pm\sqrt{6}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$.
(3)两边都除以2,得$x^2 -\frac{3}{2}=\frac{3}{2}x$.
移项,得$x^2 -\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}$.
配方,得$x^2 -\frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2=\frac{3}{2} + (\frac{3}{4})^2$,
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{33}{16}$.
解这个方程,得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{33}}{4}$.
(4)原方程可变形为$(x-3)(x-3+2x)=0$,
$(x-3)(3x-3)=0$,
$x-3=0$或$3x-3=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
直接开平方,得$2x-1=\pm3$,
$\therefore x_1=2,x_2=-1$.
(2)配方,得$x^2 -2x +1=5+1$,即$(x-1)^2=6$.
解这个方程,得$x-1=\pm\sqrt{6}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$.
(3)两边都除以2,得$x^2 -\frac{3}{2}=\frac{3}{2}x$.
移项,得$x^2 -\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}$.
配方,得$x^2 -\frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2=\frac{3}{2} + (\frac{3}{4})^2$,
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{33}{16}$.
解这个方程,得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{33}}{4}$.
(4)原方程可变形为$(x-3)(x-3+2x)=0$,
$(x-3)(3x-3)=0$,
$x-3=0$或$3x-3=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
8. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$x^2 - 3x = 4(x - 3)$的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（
A.3
B.4
C.6
D.$\frac{5}{2}$
D
）A.3
B.4
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
方程$x^2 -3x=4(x-3)$整理,得$x(x-3)-4(x-3)=0$,因式分解,得$(x-3)(x-4)=0$,所以$x-3=0$或$x-4=0$,所以$x_1=3,x_2=4$,则该直角三角形两直角边的长分别为3,4,所以斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以该直角三角形斜边上的中线长为$\frac{5}{2}$(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
9. 若关于x的方程$x^2 -2px +3q =0$的两根分别是-3和5，则多项式$2x^2 -4px +6q$可以分解为
2(x+3)(x-5)
.答案
由题意,得$2x^2 -4px +6q=2(x^2 -2px +3q)=2(x+3)(x-5)$.
10. 如图,已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是$x^2 - 3x$,则x=
6
。答案
$\because O$是原点,且是$AB$的中点,$\therefore OA=OB$.$\because$ 点$B$对应的数是$x$,$\therefore$ 点$A$对应的数是$-x$.$\because$ 点$B$是$AC$的中点,$\therefore AB=BC$,$\therefore x - (-x)=x^2 -3x -x$,整理,得$x^2 -6x=0$,解得$x_1=0,x_2=6$.$\because$ 点$B$异于原点,$\therefore x=6$.
