11. [2025宿迁宿豫区期中]定义新运算“⊕”如下:当$a ≥ b$时，$a \oplus b = a^2 - b^2$；当$a ＜ b$时，$a \oplus b = a^2 - b$. 若$(x - 1) \oplus (2x + 1) = 0$，则$x =$.

当$x-1≥ 2x+1$,即$x≤ -2$时,$(x-1)^2 -(2x+1)^2=0$,$\therefore (x-1+2x+1)(x-1-2x-1)=0$,即$3x(-x-2)=0$,解得$x_1=0$(舍去),$x_2=-2$;当$x-1＜2x+1$,即$x＞-2$时,$(x-1)^2 -(2x+1)=0$. 化简,得$x^2 -4x=0$,即$x(x-4)=0$,解得$x_1=0,x_2=4$. 综上可知,$x$的值为$-2$或$0$或$4$.

12. 解下列方程：
(1) $(2x+1)^2 + 4(2x+1) + 4 = 0$；
(2) $x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$；
(3) $3x^3 - 12x^2 + 12x = 0$。

解:(1)原方程可变形为$(2x+1+2)^2=0$,
$(2x+3)^2=0$,
所以$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)原方程可变形为$x^2 +2mx +m^2=1$,
$(x+m)^2=1$.
解这个方程,得$x+m=\pm1$.
所以$x_1=-1-m,x_2=1-m$.
(3)原方程可化为$3x(x^2 -4x +4)=0$,
$3x(x-2)^2=0$,
所以$3x=0$或$(x-2)^2=0$,
所以$x_1=0,x_2=x_3=2$.

13. 应用意识 [2025苏州高新区期中] 阅读材料:为解方程$(x^2 -1)^2 -3(x^2 -1)=0$,我们可以将$(x^2 -1)$视为一个整体,设$x^2 -1 = y$,将原方程化为$y^2 -3y=0$ ①,解得$y_1=0,y_2=3.$
当$y=0$时,$x^2 -1=0,\therefore x^2=1,\therefore x=\pm1.$
当$y=3$时,$x^2 -1=3,\therefore x^2=4,\therefore x=\pm2.$
$\therefore$原方程的解为$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2.$
由原方程得到①的过程,利用换元法达到了简化方程的目的,体现了整体转化的数学思想.
解答问题:
(1)利用上述材料中的方法解方程:$(x^2 +2x)^2 -(x^2 +2x)-2=0.$
(2)已知关于$x$的一元二次方程$a(x + m)^2 +n=0$的两根分别为$-3,1$,则方程$a(2x + m -4)^2 +n=0(a≠0)$的两根分别是什么?请说明理由.

解:(1)设$x^2 +2x = m$,则$m^2 -m -2=0$,解得$m_1=2$,$m_2=-1$.
当$m=2$时,$x^2 +2x=2$,即$(x+1)^2=3$,解得$x_1=-1+\sqrt{3}$,$x_2=-1-\sqrt{3}$;
当$m=-1$时,$x^2 +2x=-1$,即$(x+1)^2=0$,解得$x_3=x_4=-1$.
综上可知,原方程的解为$x_1=-1+\sqrt{3}$,$x_2=-1-\sqrt{3}$,$x_3=x_4=-1$.
(2)方程$a(2x+m-4)^2 +n=0(a≠0)$的两根分别是$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$.
理由如下:
将方程$a(2x+m-4)^2 +n=0$变形为$a[(2x-4)+m]^2 +n=0$.
设$2x-4=t$,$\therefore a(t+m)^2 +n=0$.
$\because$ 一元二次方程$a(x+m)^2 +n=0$的两根分别为$-3$,$1$,
$\therefore t=-3$或$t=1$,
$\therefore 2x-4=-3$或$2x-4=1$,解得$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 方程$a(2x+m-4)^2 +n=0(a≠0)$的两根分别是$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$.

我们可以用公式$x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$来分解因式.
如:$x^2 +6x +8 =0$,方程变为
$=0$;
$x^2 -7x -30 =0$,方程变为$=0$.
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解.
如:$3x^2 -7x +2 =0$.
解:如图,方程左边分解因式,
得$(x -2)(3x -1)=0$,
从而可以快速求出方程的解.

解一元二次方程
(1)补全题中空白部分的内容.
(2)解方程:①$x^2 +8x +12 =0$;②$6x^2 -11x -10 =0$.
(3)解关于$x$的一元二次方程$3x^2 - (6 + a)x +2a =0$.
(4)菱形$ABCD$的两条对角线相交于点$O$,若菱形的边长是$x^2 -8x +15 =0$的一个根,且$AC=8\ \mathrm{cm}$,则该菱形的面积是$\mathrm{cm}^2$.

解:(1)$(x+2)(x+4)$ $(x-10)(x+3)$
(2)①原方程可化为$(x+2)(x+6)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x+6=0$,
$\therefore x_1=-2,x_2=-6$.
②原方程可化为$(2x-5)(3x+2)=0$,
$\therefore 2x-5=0$或$3x+2=0$,
$\therefore x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{2}{3}$.
(3)原方程可化为$(3x-a)(x-2)=0$,
$\therefore 3x-a=0$或$x-2=0$,
$\therefore x_1=\frac{a}{3},x_2=2$.
(4)24
$\because x^2 -8x +15=0$,$\therefore (x-3)(x-5)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$,$\therefore x_1=3,x_2=5$.
当菱形的边长是3时,$3+3=6＜8$,不能组成三角形,$\therefore$ 该菱形的边长是5. 菱形$ABCD$如图所示. 在菱形$ABCD$中,$AC⊥ BD$,$OA=\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore OB=\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 -4^2}=3(\mathrm{cm})$,$\therefore BD=2OB=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24(\mathrm{cm}^2)$.