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例2 在代数式 $3nm + \frac{2}{2} - x - ab^2 - a^2b - mn$ 中，哪些项是同类项？为什么？
答：$3nm$ 和 $-mn$ 是同类项，因为这两项所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
评析：判断两个项是不是同类项的关键是看这两项是否具备两个条件：① 所含字母相同；② 相同字母的指数也相同。
例3 先化简，再求值：$(4x^2 - 3x) + (2 + 5x - x^2) - (2x^2 + x + 4)$，其中 $|x| = 2$。
解：$(4x^2 - 3x) + (2 + 5x - x^2) - (2x^2 + x + 4)$
$= 4x^2 - 3x + 2 + 5x - x^2 - 2x^2 - x - 4 = x^2 + x - 2$。
由于 $|x| = 2$，因此 $x = 2$ 或 $x = -2$。
当 $x = 2$ 时，原式 $= 2^2 + 2 - 2 = 4$；当 $x = -2$ 时，原式 $= (-2)^2 + (-2) - 2 = 0$。
评析：① 运用绝对值的概念确定字母的取值时，要注意字母可能有两个值；② 当代数式中字母的值改变时，代数式可能有不同的值。
例4 （1）在括号内填上适当的代数式，使等式成立：
$(\_\_\_\_\_\_) + (3ab + 6a^2 - b^2) = 9a^2 - 2ab$。
分析：把所求的代数式以及$(3ab + 6a^2 - b^2),9a^2 - 2ab$都看作一个数，本题就可以转化为“由和及一个加数求另一个加数”的问题。根据一个加数等于和减去另一个加数，得
$9a^2 - 2ab - (3ab + 6a^2 - b^2) = 3a^2 - 5ab + b^2$，
在括号内应填代数式 $3a^2 - 5ab + b^2$。
请你用类似的方法解答第（2）题。
（2）一个多项式加上 $3x^2 - 4x + 5$，再减去 $2x - 6x^2 + 3$ 等于 $2x - 4$，求这个多项式。
例5 某同学经过试验发现“三个连续整数的和是3的倍数”。请你举例试几次，看是否正确。若正确，想一想是否对所有的整数都适合，为什么？
解：例如，
$(-2) + (-1) + 0 = -3 = 3×(-1)$，
$(-1) + 0 + 1 = 0 = 3×0$， $2 + 3 + 4 = 9 = 3×3$，
对于给定的三个连续整数，它们的和都是3的倍数。
设三个连续整数分别为 $a - 1,a,a + 1$（$a$ 为整数），那么
$(a - 1) + a + (a + 1) = 3a$。
因为 $a$ 为整数，所以 $3a$ 是3的倍数。这说明“三个连续整数的和是3的倍数”对所有整数都适合。
评析：本题运用由特殊（具体数值）到一般（用字母表示数）的研究方法归纳出了整数的一条性质。用字母表示数是进行数学探究的常用方法，教科书中多处用到这种方法，希望你能理解并会用这种方法。本题的解答体现了用字母表示数的优越性：① 具有广泛的代表性；② 可以把未知转化为已知；③ 使解题过程化繁为简，直观易懂。
思考探究 若 $xy ≠ 0$，想一想 $x,y$ 取值有多少种可能的情况，试讨论 $\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy}$ 可能有哪些值。
答：$3nm$ 和 $-mn$ 是同类项，因为这两项所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
评析：判断两个项是不是同类项的关键是看这两项是否具备两个条件：① 所含字母相同；② 相同字母的指数也相同。
例3 先化简，再求值：$(4x^2 - 3x) + (2 + 5x - x^2) - (2x^2 + x + 4)$，其中 $|x| = 2$。
解：$(4x^2 - 3x) + (2 + 5x - x^2) - (2x^2 + x + 4)$
$= 4x^2 - 3x + 2 + 5x - x^2 - 2x^2 - x - 4 = x^2 + x - 2$。
由于 $|x| = 2$，因此 $x = 2$ 或 $x = -2$。
当 $x = 2$ 时，原式 $= 2^2 + 2 - 2 = 4$；当 $x = -2$ 时，原式 $= (-2)^2 + (-2) - 2 = 0$。
评析：① 运用绝对值的概念确定字母的取值时，要注意字母可能有两个值；② 当代数式中字母的值改变时，代数式可能有不同的值。
例4 （1）在括号内填上适当的代数式，使等式成立：
$(\_\_\_\_\_\_) + (3ab + 6a^2 - b^2) = 9a^2 - 2ab$。
分析：把所求的代数式以及$(3ab + 6a^2 - b^2),9a^2 - 2ab$都看作一个数，本题就可以转化为“由和及一个加数求另一个加数”的问题。根据一个加数等于和减去另一个加数，得
$9a^2 - 2ab - (3ab + 6a^2 - b^2) = 3a^2 - 5ab + b^2$，
在括号内应填代数式 $3a^2 - 5ab + b^2$。
请你用类似的方法解答第（2）题。
（2）一个多项式加上 $3x^2 - 4x + 5$，再减去 $2x - 6x^2 + 3$ 等于 $2x - 4$，求这个多项式。
例5 某同学经过试验发现“三个连续整数的和是3的倍数”。请你举例试几次，看是否正确。若正确，想一想是否对所有的整数都适合，为什么？
解：例如，
$(-2) + (-1) + 0 = -3 = 3×(-1)$，
$(-1) + 0 + 1 = 0 = 3×0$， $2 + 3 + 4 = 9 = 3×3$，
对于给定的三个连续整数，它们的和都是3的倍数。
设三个连续整数分别为 $a - 1,a,a + 1$（$a$ 为整数），那么
$(a - 1) + a + (a + 1) = 3a$。
因为 $a$ 为整数，所以 $3a$ 是3的倍数。这说明“三个连续整数的和是3的倍数”对所有整数都适合。
评析：本题运用由特殊（具体数值）到一般（用字母表示数）的研究方法归纳出了整数的一条性质。用字母表示数是进行数学探究的常用方法，教科书中多处用到这种方法，希望你能理解并会用这种方法。本题的解答体现了用字母表示数的优越性：① 具有广泛的代表性；② 可以把未知转化为已知；③ 使解题过程化繁为简，直观易懂。
思考探究 若 $xy ≠ 0$，想一想 $x,y$ 取值有多少种可能的情况，试讨论 $\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy}$ 可能有哪些值。
答案
例4(2)解答
解：设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A + (3x^2 - 4x + 5) - (2x - 6x^2 + 3) = 2x - 4$
则
$\begin{aligned}A&=2x - 4 - (3x^2 - 4x + 5) + (2x - 6x^2 + 3)\\&=2x - 4 - 3x^2 + 4x - 5 + 2x - 6x^2 + 3\\&=(-3x^2 -6x^2)+(2x+4x+2x)+(-4-5+3)\\&=-9x^2 + 8x -6\end{aligned}$
答：这个多项式是$-9x^2 + 8x -6$。
---
思考探究解答
解：因为$xy ≠ 0$，所以$x ≠ 0$，$y ≠ 0$，$x$、$y$的符号共有4种可能的情况：
① 当$x＞0$，$y＞0$时，$xy＞0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{x}{x} + \frac{y}{y} + \frac{xy}{xy} = 1+1+1=3$；
② 当$x＞0$，$y＜0$时，$xy＜0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{x}{x} + \frac{-y}{y} + \frac{-xy}{xy} = 1-1-1=-1$；
③ 当$x＜0$，$y＞0$时，$xy＜0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{-x}{x} + \frac{y}{y} + \frac{-xy}{xy} = -1+1-1=-1$；
④ 当$x＜0$，$y＜0$时，$xy＞0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{-x}{x} + \frac{-y}{y} + \frac{xy}{xy} = -1-1+1=-1$。
综上，$x,y$取值共有4种可能的情况，该代数式的值可能为$3$或$-1$。
解：设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A + (3x^2 - 4x + 5) - (2x - 6x^2 + 3) = 2x - 4$
则
$\begin{aligned}A&=2x - 4 - (3x^2 - 4x + 5) + (2x - 6x^2 + 3)\\&=2x - 4 - 3x^2 + 4x - 5 + 2x - 6x^2 + 3\\&=(-3x^2 -6x^2)+(2x+4x+2x)+(-4-5+3)\\&=-9x^2 + 8x -6\end{aligned}$
答：这个多项式是$-9x^2 + 8x -6$。
---
思考探究解答
解：因为$xy ≠ 0$，所以$x ≠ 0$，$y ≠ 0$，$x$、$y$的符号共有4种可能的情况：
① 当$x＞0$，$y＞0$时，$xy＞0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{x}{x} + \frac{y}{y} + \frac{xy}{xy} = 1+1+1=3$；
② 当$x＞0$，$y＜0$时，$xy＜0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{x}{x} + \frac{-y}{y} + \frac{-xy}{xy} = 1-1-1=-1$；
③ 当$x＜0$，$y＞0$时，$xy＜0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{-x}{x} + \frac{y}{y} + \frac{-xy}{xy} = -1+1-1=-1$；
④ 当$x＜0$，$y＜0$时，$xy＞0$，
$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|xy|}{xy} = \frac{-x}{x} + \frac{-y}{y} + \frac{xy}{xy} = -1-1+1=-1$。
综上，$x,y$取值共有4种可能的情况，该代数式的值可能为$3$或$-1$。
