等腰三角形的判定
有两个角的三角形是等腰三角形(简写成“等角对”)。

相等 等边

【分析】
本题考查等腰三角形判定定理的基础识记，解题时先回忆等腰三角形判定的文字表述内容：判定等腰三角形的核心依据之一是三角形内角的等量关系，若两个角大小相等，则它们所对的边也相等，对应的简化表述为“等角对等边”，对应空缺内容即可直接得出答案。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该结论简写成“等角对等边”，因此第一个空填“相等”，第二个空填“等边”。
【答案】
相等；等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对等腰三角形判定定理内容的掌握情况，是解决等腰三角形相关证明、计算类问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9

典例1 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$EG// AD$，找出图中的等腰三角形，并给出证明。

证明：图中的等腰三角形是$△ AEF$。
$\because$ AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
$\because EG // AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，$∠ EFA = ∠ BAD$。
$\therefore ∠ E = ∠ EFA$。
$\therefore AE = AF$（等角对等边）。
$\therefore △ AEF$是等腰三角形。

【分析】
要找出图中的等腰三角形，需依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，即只要找到存在两个内角相等的三角形即可。首先结合已知条件：AD是角平分线，可得到一组相等的角；又有EG和AD平行，可利用平行线的同位角、内错角相等的性质，完成角的等量代换，观察△AEF的内角关系，就能推出它的两个内角相等，进而判定其为等腰三角形。
【解析】
解：图中的等腰三角形是$△ AEF$，证明如下：
$\because$ AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
$\because EG // AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），$∠ EFA = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ E = ∠ EFA$（等量代换）。
$\therefore AE = AF$（等角对等边）。
$\therefore △ AEF$是等腰三角形。
【答案】
$△ AEF$是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是通过角平分线、平行线的性质完成角的等量转换，再结合等腰三角形的判定定理得出结论，熟练掌握角的关系推导是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图，AD 平分 ∠BAC，AD⊥BD，垂足为 D，DE//AC.△BDE 是等腰三角形吗？请说明理由.

解 △BDE 是等腰三角形.
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠ADE.
∵AD⊥BD，
∴∠BAD + ∠B = 90°, ∠ADE + ∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE.
∴BE=DE.
∴△BDE 是等腰三角形.

【分析】
要判断△BDE是否为等腰三角形，可依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，证明三角形内有两个相等的内角。首先利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行角的等量代换，最后根据垂直的性质得到互余的角，利用等角的余角相等推出△BDE中∠B和∠BDE相等，即可得出结论。
【解析】
△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD（角平分线的定义）。
∴∠BAD=∠ADE（等量代换）。
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，因此∠BAD + ∠B = 90°，∠ADE + ∠BDE=90°。
根据等角的余角相等，可得∠B=∠BDE。
∴BE=DE（等角对等边）。
∴△BDE是等腰三角形。
【答案】
△BDE 是等腰三角形.
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠ADE.
∵AD⊥BD，
∴∠BAD + ∠B = 90°, ∠ADE + ∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE.
∴BE=DE.
∴△BDE 是等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是基础类几何证明题，综合考察了多种几何基础性质的应用，核心是通过角的等量代换推导得到等角，进而判定等腰三角形，对训练基础逻辑推理能力有较大帮助。
【难度系数】
0.8

典例2 利用直尺和圆规作图:已知线段$a$,求作等腰三角形$ABC$,使$AB=AC$,$BC=a$,高$AD=\frac{1}{2}a$.

解：
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 作线段$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在垂直平分线上，以点$D$为端点截取线段$DA = \frac{1}{2}a$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。

【分析】
要作出符合要求的等腰三角形，首先根据“AB=AC”的条件，可知顶点A在线段BC的垂直平分线上，且BC边上的高AD与BC的垂直平分线重合，D为BC中点。因此解题思路如下：首先确定底边BC的长度为a，再作BC的垂直平分线得到中点D，接着在垂直平分线上截取长度为$\frac{1}{2}a$的线段DA确定A点位置，最后连接AB、AC即可得到所求三角形。
【解析】
作图按以下步骤完成：
1. 利用直尺和圆规作长度等于a的线段BC；
2. 用尺规作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点记为D，此时D是BC的中点；
3. 在BC的垂直平分线上，以D为端点截取线段DA，使$DA=\frac{1}{2}a$，确定点A的位置；
4. 依次连接AB、AC，得到$△ ABC$。
【答案】
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 作线段$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在垂直平分线上，以点$D$为端点截取线段$DA = \frac{1}{2}a$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
基本尺规作图，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是利用等腰三角形的性质快速定位顶点A的位置，需要熟练掌握作定长线段、作线段垂直平分线的基本作图方法。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图,已知线段$a,b$,求作等腰三角形$ABC$,使腰长为$b$,底边上的高为$a(a＜b)$.

(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$.
(3)在$DM$上取一点$A$,使$DA=BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接$AB,AC$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.

作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线MN，以直线外一点为圆心画弧，交MN于P,Q两点，作线段PQ的垂直平分线EF，交MN于点D.
(2)在射线DE上取一点C,使DC=a.
(3)以点C为圆心,b为半径画弧交MN于点A,B.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.

【分析】
要作腰长为$b$、底边上的高为$a$的等腰三角形，可借助等腰三角形“三线合一”的性质梳理思路：首先等腰三角形底边上的高垂直平分底边，因此先画出底边所在的直线，再作该直线的垂线得到高所在的直线；之后在垂线上截取长度为$a$的线段确定顶角顶点$C$；最后以$C$为圆心、腰长$b$为半径画弧，与底边所在直线的交点就是两个底角顶点$A$、$B$，连接各顶点即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 在平面内画一条水平直线$MN$，以直线外一点为圆心画弧，交$MN$于$P,Q$两点，作线段$PQ$的垂直平分线$EF$，交$MN$于点$D$；
2. 在射线$DE$上取一点$C$，使$DC=a$；
3. 以点$C$为圆心，$b$为半径画弧，交$MN$于点$A,B$；
4. 连接$AC,BC$，此时$AC=BC=b$，$CD⊥ AB$且$CD=a$，$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【答案】
作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线MN，以直线外一点为圆心画弧，交MN于P,Q两点，作线段PQ的垂直平分线EF，交MN于点D.
(2)在射线DE上取一点C,使DC=a.
(3)以点C为圆心,b为半径画弧交MN于点A,B.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质确定高和底边的位置关系，再结合给定的长度条件确定各顶点位置，需要熟练掌握基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8