1. 有理数的乘法运算律
典例1 计算：$( \frac{1}{2} - \frac{5}{9} + \frac{7}{12} ) × (-36)$
规律总结 运用乘法运算律需要注意什么？
（1）观察乘法算式，把两个互为倒数或积为整十、整百的数先结合在一起。
（2）运用分配律时，要将括号外的数和括号内的每一个数都相乘，不可漏乘。
（3）在运用乘法交换律交换乘数的位置时，要连同性质符号一起交换。
典例解析

解：原式$=\frac{1}{2}×(-36) - \frac{5}{9}×(-36) + \frac{7}{12}×(-36)$
$= -18 + 20 - 21$
$= -19$

【分析】
观察算式可知，式子为括号内多个分数的和乘整数-36的形式，且-36恰好是括号内各分数分母的公倍数，若先通分计算括号内的结果再相乘计算繁琐，因此优先选择乘法分配律简化计算。解题时首先利用乘法分配律将括号外的-36分别与括号内的每一项相乘，注意不要漏乘任意一项，同时要注意每一项的符号，相乘得到各部分的整数结果后，再按照有理数加减运算法则计算最终结果即可。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}×(-36) - \frac{5}{9}×(-36) + \frac{7}{12}×(-36)$
$= -18 + 20 - 21$
$= -19$
【答案】
$-19$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数运算律应用的基础题，合理选择运算律可大幅降低计算量，解题时需注意避免漏乘括号内的项、符号计算错误两类常见失误。
【难度系数】
0.8

典例1
解 $(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})×(-36)$
$=\dfrac{1}{2}×(-36)-\dfrac{5}{9}×(-36)+\dfrac{7}{12}×(-36)$

解：
$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})×(-36)$
$=\dfrac{1}{2}×(-36)-\dfrac{5}{9}×(-36)+\dfrac{7}{12}×(-36)$
$=-18 + 20 - 21$
$=-19$

【分析】
观察算式可以发现，括号内各分数的分母都是36的因数，因此可以选择乘法分配律来简化计算，不需要先通分计算括号内的和，直接把括号里的每一项分别与-36相乘即可。运算过程中要注意符号规则：同号相乘得正，异号相乘得负，算出各部分的乘积后再做加减运算就能得到最终结果。
【解析】
解：$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})×(-36)$
$=\dfrac{1}{2}×(-36)-\dfrac{5}{9}×(-36)+\dfrac{7}{12}×(-36)$
$=-18 + 20 - 21$
$=2 - 21$
$=-19$
【答案】
$-19$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数运算的典型基础题，合理选择运算律能有效降低计算量、减少计算错误，解题的易错点是处理负数相乘时符号出错，计算时要格外注意符号规则的应用。
【难度系数】
0.75

举一反三 计算：$(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3})×(-12)=$.

1. 解析 $(-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3})×(-12)= -\frac{1}{6}×(-12)+\frac{1}{4}×(-12)-\frac{1}{3}×(-12)=2-3+4=3.$

【分析】观察算式的特点，括号内各分数的分母均为12的因数，若先通分计算括号内的和再做乘法计算较繁琐，因此优先选择乘法分配律简化运算。解题时先根据乘法分配律将括号外的-12分别与括号内的每一项相乘，再依次计算各乘积，最后将计算结果做加减运算即可，计算过程中要注意准确判断符号。
【解析】利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3})×(-12)&= -\dfrac{1}{6}×(-12)+\dfrac{1}{4}×(-12)-\dfrac{1}{3}×(-12)\\&=2 - 3 + 4\\&=3\end{aligned}$
【答案】3
【知识点】乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】本题属于有理数运算的基础题型，合理选择运算律可简化计算流程，避免通分的繁琐步骤，解题的易错点是各项相乘时的符号判断，需格外注意。
【难度系数】0.8

典例2 下列运算错误的是().

A.$(-\frac{1}{2})×(-6)×0=3$
B.$(-2)×(-3)×5=30$
C.$(-5)×(-2)×(-4)=-40$
D.$(-3)×(-1)×(-3)=-9$

A

【分析】
要解决这道题，我们需要用到有理数乘法的相关规则：①多个有理数相乘时，只要有一个因数是0，乘积就为0；②不含0的多个有理数相乘，先根据负因数的个数确定乘积的符号：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负，再将所有因数的绝对值相乘得到乘积的绝对值。我们只需逐个计算四个选项的结果，找出运算错误的选项即可。
【解析】
我们依次验证每个选项：
A选项：算式中含有因数0，根据“0乘任何数都得0”，可得$(-\frac{1}{2})×(-6)×0=0≠3$，该运算错误。
B选项：算式中负因数有2个（偶数个），因此积为正，再计算绝对值的乘积：$2×3×5=30$，即$(-2)×(-3)×5=30$，运算正确。
C选项：算式中负因数有3个（奇数个），因此积为负，再计算绝对值的乘积：$5×2×4=40$，即$(-5)×(-2)×(-4)=-40$，运算正确。
D选项：算式中负因数有3个（奇数个），因此积为负，再计算绝对值的乘积：$3×1×3=9$，即$(-3)×(-1)×(-3)=-9$，运算正确。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法运算；多个因数乘积符号判定；0的乘法性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题的核心是先判断算式中是否存在0因数，再按规则确定乘积符号、计算绝对值乘积，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

规律总结 多个有理数相乘的步骤：
第一步，看乘数中有没有0，若有0，则结果就为0.
第二步，若乘数中没有0，则判断积的符号(根据负乘数的个数判断).
第三步，计算积的绝对值.
举一反三 已知 $a = (-12) × (-23) × (-34) × (-45), b = (-123) × (-234) × (-345)$，则 $a, b$ 的大小关系是.
$=-18+20-21$
$=-19.$
典例2
答案A

2. 解析 因为$a=(-12)×(-23)×(-34)×(-45)＞0$，$b=(-123)×(-234)×(-345)＜0$，所以$a＞b.$

【分析】
要比较a、b的大小，无需计算两者的具体乘积，可先根据多个非0有理数相乘的符号判定规则判断两者的符号：多个非0有理数相乘时，负因数的个数为偶数，积为正；负因数的个数为奇数，积为负。再根据“正数大于所有负数”的大小比较规则即可得出结果。首先数a的负因数个数，再数b的负因数个数，分别判断符号后比较即可。
【解析】
先判断a的符号：$a = (-12) × (-23) × (-34) × (-45)$中共有4个负因数，负因数个数为偶数，因此$a＞0$；
再判断b的符号：$b = (-123) × (-234) × (-345)$中共有3个负因数，负因数个数为奇数，因此$b＜0$；
根据有理数大小比较规则，正数大于一切负数，因此$a＞b$。
【答案】
$a＞b$
【知识点】
多个有理数相乘的符号判断、有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，无需计算复杂的乘积结果，核心是灵活运用多个有理数相乘的符号判定规律，通过判断两个数的符号即可快速比较大小，解题时注意准确数清负因数的个数。
【难度系数】
0.9