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6.在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道题，其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是
20
。答案
6. 20
解析
【分析】
这是一道典型的行程追及问题，解题核心是找到等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解：第一步设快马追上慢马需要的天数为x；第二步分别表示出快马、慢马行驶的总路程：快马x天行驶的路程为240x，慢马先行12天，总行驶时长为(x+12)天，总路程为150(x+12)；第三步根据路程相等的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：设快马追上慢马需要x天。
根据追上时两马行驶路程相等，可列方程：
$240x = 150×(12 + x)$
展开右侧得：
$240x = 1800 + 150x$
移项合并同类项得：
$90x = 1800$
系数化为1得：
$x = 20$
检验：将x=20代入原方程，左边$240×20=4800$，右边$150×(12+20)=150×32=4800$，左边=右边，解正确。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是准确抓住追及问题中路程相等的核心等量关系，结合行程公式“路程=速度×时间”列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的行程追及问题，解题核心是找到等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解：第一步设快马追上慢马需要的天数为x；第二步分别表示出快马、慢马行驶的总路程：快马x天行驶的路程为240x，慢马先行12天，总行驶时长为(x+12)天，总路程为150(x+12)；第三步根据路程相等的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：设快马追上慢马需要x天。
根据追上时两马行驶路程相等，可列方程：
$240x = 150×(12 + x)$
展开右侧得：
$240x = 1800 + 150x$
移项合并同类项得：
$90x = 1800$
系数化为1得：
$x = 20$
检验：将x=20代入原方程，左边$240×20=4800$，右边$150×(12+20)=150×32=4800$，左边=右边，解正确。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是准确抓住追及问题中路程相等的核心等量关系，结合行程公式“路程=速度×时间”列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
7.某市今年进行煤气改造工程，甲、乙两个工程队共同承包这项工程.这项工程若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要15天完成.
(1)若甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天才能够完成任务？
(2)在(1)的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为15万元，则甲队和乙队各得报酬多少万元？
(1)若甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天才能够完成任务？
(2)在(1)的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为15万元，则甲队和乙队各得报酬多少万元？
答案
7. 解：(1)设乙队还需要x天才能完成任务.
根据题意，得$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×4+\frac{1}{15}x=1$，
解得$x=5$.
答：乙队还需要5天才能够完成任务.
(2)甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$，施工时间为4天，所以甲队完成的工作量为$\frac{1}{10}×4=\frac{2}{5}$.同理，乙队完成的工作量为$\frac{1}{15}×9=\frac{3}{5}$，所以甲队的报酬为$\frac{2}{5}×15=6$(万元)，乙队的报酬为$\frac{3}{5}×15=9$(万元).
答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为9万元.
根据题意，得$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×4+\frac{1}{15}x=1$，
解得$x=5$.
答：乙队还需要5天才能够完成任务.
(2)甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$，施工时间为4天，所以甲队完成的工作量为$\frac{1}{10}×4=\frac{2}{5}$.同理，乙队完成的工作量为$\frac{1}{15}×9=\frac{3}{5}$，所以甲队的报酬为$\frac{2}{5}×15=6$(万元)，乙队的报酬为$\frac{3}{5}×15=9$(万元).
答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为9万元.
解析
【分析】
这是工程类实际应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，结合单独完工时间算出甲、乙两队的工作效率。第(1)问的核心等量关系是：甲乙合作4天的工作量+乙单独做x天的工作量=总工作量1，据此列一元一次方程即可求解。第(2)问报酬按工作量比例分配，先分别计算甲、乙两队完成的总工作量，再用总报酬乘各自工作量的占比，就能得到两队对应的报酬。
【解析】
(1)设乙队还需要x天才能完成任务，将总工作量看作单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×4+\frac{1}{15}x=1$
计算得：$\frac{2}{3}+\frac{1}{15}x=1$
移项化简得：$\frac{1}{15}x=\frac{1}{3}$
解得$x=5$。
答：乙队还需要5天才能够完成任务。
(2)甲队施工总时长为4天，完成的工作量为：$\frac{1}{10}×4=\frac{2}{5}$
乙队施工总时长为$4+5=9$天，完成的工作量为：$\frac{1}{15}×9=\frac{3}{5}$
按工作量比例分配总报酬：
甲队报酬：$15×\frac{2}{5}=6$（万元）
乙队报酬：$15×\frac{3}{5}=9$（万元）
答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为9万元。
【答案】
(1) 5天；(2) 甲队6万元，乙队9万元
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，按比例分配
【点评】
本题是工程类基础应用题，重点考查工程问题的基本模型应用，解题关键是掌握“总工作量设为单位1”的设定，理清工作量、工作效率、工作时间三者的关系，准确找到等量关系列方程，再结合比例分配规则计算报酬即可。
【难度系数】
0.8
这是工程类实际应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，结合单独完工时间算出甲、乙两队的工作效率。第(1)问的核心等量关系是：甲乙合作4天的工作量+乙单独做x天的工作量=总工作量1，据此列一元一次方程即可求解。第(2)问报酬按工作量比例分配，先分别计算甲、乙两队完成的总工作量，再用总报酬乘各自工作量的占比，就能得到两队对应的报酬。
【解析】
(1)设乙队还需要x天才能完成任务，将总工作量看作单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×4+\frac{1}{15}x=1$
计算得：$\frac{2}{3}+\frac{1}{15}x=1$
移项化简得：$\frac{1}{15}x=\frac{1}{3}$
解得$x=5$。
答：乙队还需要5天才能够完成任务。
(2)甲队施工总时长为4天，完成的工作量为：$\frac{1}{10}×4=\frac{2}{5}$
乙队施工总时长为$4+5=9$天，完成的工作量为：$\frac{1}{15}×9=\frac{3}{5}$
按工作量比例分配总报酬：
甲队报酬：$15×\frac{2}{5}=6$（万元）
乙队报酬：$15×\frac{3}{5}=9$（万元）
答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为9万元。
【答案】
(1) 5天；(2) 甲队6万元，乙队9万元
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，按比例分配
【点评】
本题是工程类基础应用题，重点考查工程问题的基本模型应用，解题关键是掌握“总工作量设为单位1”的设定，理清工作量、工作效率、工作时间三者的关系，准确找到等量关系列方程，再结合比例分配规则计算报酬即可。
【难度系数】
0.8
8.某地甲、乙两家超市在元旦期间分别推出如下促销方式.
甲超市:全场均按八八折优惠.
乙超市:购物不超过200元,不给予优惠;超过200元而图 超过500元一律打九折;超过500元时,其中的500元部分打九折,超过500元的部分打八折.
已知两家超市相同商品的标价都一样.
(1)当购物总额为多少元时,在甲、乙两家超市实付款相同?
(2)某顾客在乙超市购物实付款482元,该顾客的选择合算吗?请说明理由.
甲超市:全场均按八八折优惠.
乙超市:购物不超过200元,不给予优惠;超过200元而
已知两家超市相同商品的标价都一样.
(1)当购物总额为多少元时,在甲、乙两家超市实付款相同?
(2)某顾客在乙超市购物实付款482元,该顾客的选择合算吗?请说明理由.
答案
8. 解：(1)设购物总额是x元.
由题意知，$x＞500$，列方程，得$0.88x=500×(1-0.1)+0.8(x-500)$，解得$x=625$.
故当购物总额是625元时，在甲、乙两家超市实付款相同.
(2)不合算.理由如下.
因为$500×(1-0.1)=450＜482$，
所以该顾客总额多于500元.
设该顾客购物总额为y元.
由题意，得$500×(1-0.1)+0.8(y-500)=482$，
解得$y=540$.
若顾客在甲超市购买相同的物品，则实付款是$540×0.88=475.2$(元).
因为$475.2＜482$，
所以该顾客的选择不合算.
由题意知，$x＞500$，列方程，得$0.88x=500×(1-0.1)+0.8(x-500)$，解得$x=625$.
故当购物总额是625元时，在甲、乙两家超市实付款相同.
(2)不合算.理由如下.
因为$500×(1-0.1)=450＜482$，
所以该顾客总额多于500元.
设该顾客购物总额为y元.
由题意，得$500×(1-0.1)+0.8(y-500)=482$，
解得$y=540$.
若顾客在甲超市购买相同的物品，则实付款是$540×0.88=475.2$(元).
因为$475.2＜482$，
所以该顾客的选择不合算.
解析
【分析】
（1）要找到两家超市实付款相同的购物总额，先分优惠区间分析：①购物总额≤200元时，甲打八八折、乙无优惠，实付款不可能相等；②200元＜购物总额≤500元时，甲打八八折、乙打九折，折扣不同也不可能相等，因此仅当购物总额超过500元时才可能实付款相同。此时分别写出两家超市的实付款表达式，令二者相等列一元一次方程求解即可。
（2）判断顾客选择是否合算，首先判断购物总额所属区间：先算购物500元时乙超市实付款为450元，482＞450，说明总额超过500元。先列方程求出购物总额，再计算该总额在甲超市的实付款，和482元对比即可得出结论。
【解析】
(1) 设购物总额是$x$元，由分析可知$x＞500$。
甲超市实付款为$0.88x$元；乙超市实付款为500元部分打九折、超出部分打八折，即$500×0.9 + 0.8(x-500)$元。
令二者相等列方程：
$0.88x=500×0.9 + 0.8(x-500)$
解方程：
$0.88x=450+0.8x-400$
$0.08x=50$
$x=625$
(2) 该顾客选择不合算，理由如下：
首先计算购物总额为500元时，乙超市实付款为$500×0.9=450$元，$450＜482$，说明该顾客购物总额超过500元。
设该顾客购物总额为$y$元，列方程：
$500×0.9 + 0.8(y-500)=482$
解方程：
$450+0.8y-400=482$
$0.8y=432$
$y=540$
若在甲超市购买相同商品，实付款为$540×0.88=475.2$元。
因为$475.2＜482$，所以在甲超市购买更便宜，该顾客选择乙超市不合算。
【答案】
(1) 当购物总额为625元时，甲、乙两家超市实付款相同；
(2) 该顾客的选择不合算。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，方案选择问题
【点评】
本题结合生活中常见的超市促销场景出题，解题核心是明确不同优惠区间的计费规则，先判断金额所属的优惠区间再列方程计算，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要找到两家超市实付款相同的购物总额，先分优惠区间分析：①购物总额≤200元时，甲打八八折、乙无优惠，实付款不可能相等；②200元＜购物总额≤500元时，甲打八八折、乙打九折，折扣不同也不可能相等，因此仅当购物总额超过500元时才可能实付款相同。此时分别写出两家超市的实付款表达式，令二者相等列一元一次方程求解即可。
（2）判断顾客选择是否合算，首先判断购物总额所属区间：先算购物500元时乙超市实付款为450元，482＞450，说明总额超过500元。先列方程求出购物总额，再计算该总额在甲超市的实付款，和482元对比即可得出结论。
【解析】
(1) 设购物总额是$x$元，由分析可知$x＞500$。
甲超市实付款为$0.88x$元；乙超市实付款为500元部分打九折、超出部分打八折，即$500×0.9 + 0.8(x-500)$元。
令二者相等列方程：
$0.88x=500×0.9 + 0.8(x-500)$
解方程：
$0.88x=450+0.8x-400$
$0.08x=50$
$x=625$
(2) 该顾客选择不合算，理由如下：
首先计算购物总额为500元时，乙超市实付款为$500×0.9=450$元，$450＜482$，说明该顾客购物总额超过500元。
设该顾客购物总额为$y$元，列方程：
$500×0.9 + 0.8(y-500)=482$
解方程：
$450+0.8y-400=482$
$0.8y=432$
$y=540$
若在甲超市购买相同商品，实付款为$540×0.88=475.2$元。
因为$475.2＜482$，所以在甲超市购买更便宜，该顾客选择乙超市不合算。
【答案】
(1) 当购物总额为625元时，甲、乙两家超市实付款相同；
(2) 该顾客的选择不合算。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，方案选择问题
【点评】
本题结合生活中常见的超市促销场景出题，解题核心是明确不同优惠区间的计费规则，先判断金额所属的优惠区间再列方程计算，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
