4. 如图，O是$△ ABC$的边AC上一点，以点O为圆心、OA长为半径作$\odot O$，与BC相切于点E，交AB于点D.连接OD并延长，交CB的延长线于点F，连接AF，OE，$∠ AOD=∠ EOD$.求证：AF是$\odot O$的切线.

证明：在$\triangle AOF$和$\triangle EOF$中， $\begin{cases}OA = OE\\\angle AOD=\angle EOD\\OF = OF\end{cases}$ 所以$\triangle AOF\cong\triangle EOF(SAS)，$所以$\angle OAF=\angle OEF。$ 因为$BC$与$\odot O$相切，所以$OE\perp FC，$所以$\angle OAF=\angle OEF = 90^{\circ}，$即$OA\perp AF。$ 因为$OA$为$\odot O$的半径，所以$AF$是$\odot O$的切线。

5. 如图, AB 为$\odot O$的直径,过圆上一点 D 作$\odot O$的切线 CD,交 BA 的延长线于点 C,过点 O 作$OE// AD$交 CD 于点 E,连接 BE. 直线 BE 与$\odot O$相切吗? 请说明理由.

解: 直线$BE$与$\odot O$相切。 理由：连接$OD。$ 因为$CD$与$\odot O$相切于点$D，$所以$\angle ODE = 90^{\circ}。$ 因为$OE// AD，$所以$\angle ADO=\angle DOE，$$\angle DAO=\angle BOE。$ 因为$OD = OA，$所以$\angle ADO=\angle DAO，$所以$\angle DOE=\angle BOE。$ 在$\triangle DOE$和$\triangle BOE$中， $\begin{cases}OD = OB\\\angle DOE=\angle BOE\\OE = OE\end{cases}$ 所以$\triangle DOE\cong\triangle BOE(SAS)，$所以$\angle ODE=\angle OBE = 90^{\circ}，$即$OB\perp BE。$ 因为$OB$为$\odot O$的半径，所以直线$BE$与$\odot O$相切。 ;

6. (2023·如皋期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,以点$D$为圆心,$BD$长为半径作$\odot D$交$AB$于点$E$.
(1) 求证:$AC$与$\odot D$相切;
(2) 若$AC=5$,$BC=3$,求$AE$的长.

(1)证明：如图，过点$D$作$DF\perp AC$于点$F。$ 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$AB\perp BC。$ 因为$CD$平分$\angle ACB，$所以$BD = DF。$ 因为$BD$是$\odot D$的半径，所以$DF$是$\odot D$的半径，所以$AC$与$\odot D$相切。 (2)解:设$\odot D$的半径为$x。$ 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$$BC = 3，$$AC = 5，$根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4。$ 因为$AC$与$\odot D$相切，所以$BC = CF = 3，$所以$AF=AC - CF = 2。$ 因为$AB = 4，$所以$AD=AB - BD = 4 - x。$ 在$Rt\triangle AFD$中，根据勾股定理$AD^{2}=DF^{2}+AF^{2}，$即$(4 - x)^{2}=x^{2}+2^{2}。$ 展开得$16-8x+x^{2}=x^{2}+4，$ 移项得$16 - 4=8x，$ 解得$x=\frac{3}{2}。$ 所以$AE=AB - BE=4 - 2x=4 - 2\times\frac{3}{2}=4 - 3 = 1。$ ;