如图,已知$\odot O$,A 是$\odot O$上一点,只用圆规将$\odot O$的圆周四等分.(按如下步骤完成,保留作图痕迹)
①以点 A 为圆心,OA 长为半径,自点 A 起,在$\odot O上逆时针方向顺次截取\widehat {AB}= \widehat {BC}= \widehat {CD};$
②分别以点 A,D 为圆心,AC 长为半径作弧,两弧交于$\odot O$上方点 E;
③以点 A 为圆心,OE 长为半径作弧,交$\odot O$于 G,H 两点,即点 A,G,D,H 将$\odot O$的圆周四等分.

解:如图,点A,G,D,H把$\odot O$的圆周四等分.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以 AB 为直径的$\odot O$交边 AC 于点 D,连接 BD,过点 C 作$CE// AB.$
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点 B 作$\odot O$的切线,交 CE 于点 F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2)在(1)的条件下,求证:$BD= BF.$

解:(1)方法不唯一,如图所示,BF即为所求;

(2)$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ABC=∠ACB$.
又$\because CE// AB$,
$\therefore ∠ABC=∠BCF$,
$\therefore ∠BCF=∠ACB$.
∵点D在以AB为直径的圆上,
$\therefore ∠ADB=90^{\circ },\therefore ∠BDC=90^{\circ }$.
又∵BF为$\odot O$的切线,
$\therefore ∠ABF=90^{\circ }$.
$\because CE// AB$,
$\therefore ∠BFC+∠ABF=180^{\circ }$,
$\therefore ∠BFC=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BDC=∠BFC$.
∵在$\triangle BCD$和$\triangle BCF$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠BCD=∠BCF,\\ ∠BDC=∠BFC,\\ BC=BC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BCD\cong \triangle BCF(AAS)$,
$\therefore BD=BF$.

3. 如图,$\odot O为锐角\triangle ABC$的外接圆,半径为 5.
(1)用尺规作图作出$∠BAC$的平分线,并标出它与$\widehat {BC}$的交点 E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中的点 E 到 BC 的距离为 3,求 CE 的长.

解:(1)如图所示,射线AE就是所求作的角平分线;

(2)连接OE交BC于点F,
连接OC,CE,
∵AE平分$∠BAC$,
$\therefore \widehat {BE}=\widehat {CE}$,
$\therefore OE⊥BC,EF=3$,
$\therefore OF=5-3=2$,
在$Rt\triangle OFC$中,
由勾股定理可得
$FC=\sqrt {OC^{2}-OF^{2}}=\sqrt {21}$,
在$Rt\triangle EFC$中,
由勾股定理可得
$CE=\sqrt {EF^{2}+FC^{2}}=\sqrt {30}$.