10. 已知函数 $ y= (m^{2}+m)x^{2}+mx+\sqrt{2} $,当______时,它是二次函数；当______时,它是一次函数．

$m≠0$且$m≠-1$ $m=-1$

11. (2024 甘肃中考改)已知二次函数 $ y = ax^{2}-bx - 1 $,当 $ x = 2 $ 时,$ y = 1 $,则 $ 2024 + 2a - b = $______．

2025

12. 某种商品每件的进价为 30 元,在某段时间内若以每件 $ x $ 元出售,可卖出 $ (100 - x) $ 件,设利润为 $ y $ 元．
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2)当利润为 1000 元时,求 $ x $ 的值．

解：(1) 由题意，得$y=(x-30)(100 -x)=-x^{2}+130x-3000$；
(2) 由题意，得$-x^{2}+130x-3000=1000$，
解得$x_{1}=80,x_{2}=50$.
答：当利润为 1000 元时，x 的值是 80 或 50.

13. (教材 $ P_{29}T_{2} $ 变式)如图,四边形 $ ABCD $ 是一块边长为 4 m 的正方形苗圃,园林部门拟将其改造为矩形 $ AEFG $ 的形状,其中点 $ E $ 在 $ AB $ 边上,点 $ G $ 在 $ AD $ 的延长线上,$ DG = 2BE $,设 $ BE $ 的长为 $ x $ m,改造后的矩形 $ AEFG $ 的面积为 $ y $ $ m^{2} $．
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式(不需求自变量的取值范围)；
(2)根据改造方案,若改造后的矩形 $ AEFG $ 的面积与原正方形 $ ABCD $ 的面积相等时,$ BE $ 的长为多少米？

解：(1)$y=(4-x)(4+2x)$
$=-2x^{2}+4x+16$；
(2) 根据题意，
得$-2x^{2}+4x+16=4^{2}$，
解得$x_{1}=2,x_{2}=0$（不合题意，舍去），$\therefore BE=2$.
答：BE 的长为 2 m.

14. (教材 $ P_{54} $ 数学活动 2 变式)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标是 $ (0,2) $,依次完成以下活动与探究：
(1)在 $ x $ 轴正半轴上任取一点 $ M $,连接 $ AM $,画出线段 $ AM $ 的垂直平分线 $ l_{1} $,过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线 $ l_{2} $,记 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 的交点为 $ P $；
(2)设点 $ P $ 的坐标为 $ (x,y) $,求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式．

解：(1) 如图所示；

(2) 连接 PA，过点 P 作$PH⊥y$轴于点 H，则$PH=x,AH=y-2$.
∵直线$l_{1}$垂直平分 AM，
$PM⊥x$轴，
$\therefore PA=PM=y$，
在$Rt△PHA$中，
$PH^{2}+AH^{2}=PA^{2}$，
$\therefore x^{2}+(y-2)^{2}=y^{2}$，
整理可得 y 与 x 的函数关系式为$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$.