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3. 项目学习小组,将一瓶身为柱状体的空塑料瓶,去掉瓶盖及上端,在瓶底处系上一块质量合适的石块,做好密封,然后将其放置在盛有适量水的容器里,即可制作出浮力秤,其总质量为 25 g。不放物体时,待浮力秤静止,液面所对应瓶子的位置标记为“0”刻度,如图所示。(g 取 10 N/kg,$\rho_{水}=1.0$ g/$cm^{3}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为 40 $cm^{2}$,则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{液}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{水}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{液}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为 40 $cm^{2}$,则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{液}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{水}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{液}$)
答案
3．（1）空载时浮力秤漂浮，依据平衡条件可知$F_{浮}=G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg × 10N/kg=0.25N （2）$浮力秤浸到“2”刻度漂浮时，秤内被测物的质量为$m_{测}，$依据漂浮时受力平衡，不放被测物时$G_{秤}=F_{浮}=\rho_{水}gV_{0}，$放入被测物时，$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g，$由阿基米德原理可知$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}，$则$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}，$即$m_{测}g=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}-G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}-\rho_{水}gV_{0}，$$m_{测}=\rho_{水} \Delta V_{排}=\rho_{水}S \Delta h=1.0g/cm^{3} × 40cm^{2} × 2cm=80g$
（3）在水和液体中浮力秤均漂浮，浮力等于重力，则$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}，$故$\rho_{液}=\rho_{水} \frac{h_{1}}{h_{2}}$
（3）在水和液体中浮力秤均漂浮，浮力等于重力，则$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}，$故$\rho_{液}=\rho_{水} \frac{h_{1}}{h_{2}}$
解析
【分析】
1. 第(1)问：空载时浮力秤静止在水中，处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于物体自身的重力，因此先计算浮力秤的总重力，即可得到空载时的浮力。
2. 第(2)问：当在浮力秤上放置被测物体时，浮力秤仍处于漂浮状态，此时增加的浮力等于被测物体的重力。我们可以通过阿基米德原理，利用排开水的体积变化（由圆柱横截面积和刻度高度差计算），求出增加的排开水的质量，该质量就等于被测物体的质量。
3. 第(3)问：浮力秤在水中和某液体中均处于漂浮状态，浮力都等于浮力秤的总重力，因此两次的浮力相等。根据阿基米德原理分别列出在水和液体中的浮力表达式，联立等式即可推导出液体的密度。
【解析】
(1) 空载时浮力秤漂浮，根据漂浮条件，浮力等于重力：
已知浮力秤总质量$m_{秤}=25g=0.025kg$，$g=10N/kg$，
则$G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg×10N/kg=0.25N$，
所以空载时所受浮力$F_{浮}=G_{秤}=0.25N$。
(2) 设被测物体质量为$m_{测}$，放入物体后浮力秤仍漂浮，此时总浮力$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。
空载时$G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}$（$V_{0}$为空载时排开水的体积），
放入物体后，根据阿基米德原理$F_{浮}'=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
联立可得：$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
化简得：$m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}$。
由图可知$\Delta h=2cm$，圆柱状部分横截面积$S=40cm^{2}$，则$\Delta V_{排}=S\Delta h=40cm^{2}×2cm=80cm^{3}$，
代入$\rho_{水}=1.0g/cm^{3}$，得$m_{测}=1.0g/cm^{3}×80cm^{3}=80g$。
(3) 浮力秤在水中和液体中均漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G_{总}$。
根据阿基米德原理：
在水中：$\rho_{水}gSh_{1}=G_{总}$，
在液体中：$\rho_{液}gSh_{2}=G_{总}$，
联立两式可得：$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，
化简后得到：$\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25N}$
(2) $\boldsymbol{80g}$
(3) $\boldsymbol{\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查漂浮条件与阿基米德原理的综合应用，核心是理解浮力秤的工作原理——利用漂浮时浮力等于重力，通过排开液体体积的变化来对应被测物体的质量，同时需要具备一定的公式推导能力，将物理规律与数学运算结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：空载时浮力秤静止在水中，处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于物体自身的重力，因此先计算浮力秤的总重力，即可得到空载时的浮力。
2. 第(2)问：当在浮力秤上放置被测物体时，浮力秤仍处于漂浮状态，此时增加的浮力等于被测物体的重力。我们可以通过阿基米德原理，利用排开水的体积变化（由圆柱横截面积和刻度高度差计算），求出增加的排开水的质量，该质量就等于被测物体的质量。
3. 第(3)问：浮力秤在水中和某液体中均处于漂浮状态，浮力都等于浮力秤的总重力，因此两次的浮力相等。根据阿基米德原理分别列出在水和液体中的浮力表达式，联立等式即可推导出液体的密度。
【解析】
(1) 空载时浮力秤漂浮，根据漂浮条件，浮力等于重力：
已知浮力秤总质量$m_{秤}=25g=0.025kg$，$g=10N/kg$，
则$G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg×10N/kg=0.25N$，
所以空载时所受浮力$F_{浮}=G_{秤}=0.25N$。
(2) 设被测物体质量为$m_{测}$，放入物体后浮力秤仍漂浮，此时总浮力$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。
空载时$G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}$（$V_{0}$为空载时排开水的体积），
放入物体后，根据阿基米德原理$F_{浮}'=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
联立可得：$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
化简得：$m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}$。
由图可知$\Delta h=2cm$，圆柱状部分横截面积$S=40cm^{2}$，则$\Delta V_{排}=S\Delta h=40cm^{2}×2cm=80cm^{3}$，
代入$\rho_{水}=1.0g/cm^{3}$，得$m_{测}=1.0g/cm^{3}×80cm^{3}=80g$。
(3) 浮力秤在水中和液体中均漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G_{总}$。
根据阿基米德原理：
在水中：$\rho_{水}gSh_{1}=G_{总}$，
在液体中：$\rho_{液}gSh_{2}=G_{总}$，
联立两式可得：$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，
化简后得到：$\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25N}$
(2) $\boldsymbol{80g}$
(3) $\boldsymbol{\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查漂浮条件与阿基米德原理的综合应用，核心是理解浮力秤的工作原理——利用漂浮时浮力等于重力，通过排开液体体积的变化来对应被测物体的质量，同时需要具备一定的公式推导能力，将物理规律与数学运算结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
4. (2025·宿迁校级一模)如图甲所示,在容器底部固定一个轻质弹簧,在弹簧上端连有一棱长为 0.1 m 的实心正方体物块 A,当容器中水的深度为 20 cm 时,物块 A 有$\frac{3}{5}$的体积露出水面,此时弹簧恰好处于自然伸长状态。求:(已知水的密度为$1×10^{3}$ kg/$m^{3}$,g 取 10 N/kg)
(1) 物块 A 受到的浮力。
(2) 物块 A 的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块 A 恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
(1) 物块 A 受到的浮力。
(2) 物块 A 的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块 A 恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
答案
4．（1）正方体物块A的体积$V=(0.1m)^{3}=0.001m^{3}，$排开水的体积$V_{排}=V-V_{露}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5} × 0.001m^{3}=4 × 10^{-4}m^{3}，$所以物块A受到的浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 4 × 10^{-4}m^{3}=4N （2）$弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，此时物块漂浮，所以$F_{浮}=G，$即$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV，$所以物块A的密度$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V} \rho_{水}=\frac{2}{5} × 1 × 10^{3} kg/m^{3}=0.4 × 10^{3} kg/m^{3} （3）$物块A刚好浸没时，弹簧的拉力$F_{1}=F_{浮}'-G=\rho_{水}gV-\rho_{物}gV=1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3}-0.4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3}=6N，$由图乙可知，此时弹簧伸长了6cm，当容器中水的深度为20cm时，物块A有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则弹簧的原长$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20cm-(1-\frac{3}{5}) × 10cm=16cm，$所以，物块A刚好浸没时弹簧的长度$L'=L_{0}+\Delta L=16cm+6cm=22cm；$则浸没时水面的高度$h_{2}=L'+L_{A}=22cm+10cm=32cm，$所以水面升高的高度$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32cm-20cm=12cm$
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据阿基米德原理求浮力，需先计算物块体积，再结合物块露出水面的比例算出排开水的体积，最后代入阿基米德原理公式计算。
2. 第(2)问：弹簧自然伸长时物块漂浮，浮力等于重力，利用该等量关系推导物块密度的表达式，代入数据求解。
3. 第(3)问：先计算物块完全浸没时浮力与重力的差值得到弹簧拉力，结合图像得出弹簧伸长量；再根据初始状态算出弹簧原长，进而得到浸没时弹簧长度，结合物块棱长算出此时水面高度，最后求出水面升高的高度。
【解析】
(1) 计算实心正方体物块A的体积：
$V=(0.1m)^3=0.001m^3$
物块A排开水的体积：
$V_{排}=V-V_{露}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×0.001m^3=4×10^{-4}m^3$
根据阿基米德原理，物块A受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^3kg/m^3×10N/kg×4×10^{-4}m^3=4N$
(2) 弹簧处于自然伸长状态时，物块漂浮，$F_{浮}=G$，即：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$
推导得物块A的密度：
$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^3kg/m^3=0.4×10^3kg/m^3$
(3) 物块A刚好浸没时，受到的浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV=1×10^3kg/m^3×10N/kg×0.001m^3=10N$
物块的重力：
$G=\rho_{物}gV=0.4×10^3kg/m^3×10N/kg×0.001m^3=4N$
弹簧的拉力：
$F_{1}=F_{浮}'-G=10N-4N=6N$
由图乙可知，拉力为6N时弹簧伸长量$\Delta L=6cm$。
初始状态下物块浸入水中的深度：
$h_{A浸}=(1-\frac{3}{5})×0.1m=0.04m=4cm$
弹簧的原长：
$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20cm-4cm=16cm$
物块A刚好浸没时弹簧的长度：
$L'=L_{0}+\Delta L=16cm+6cm=22cm$
此时水面的高度：
$h_{2}=L'+L_{A}=22cm+10cm=32cm$
水面升高的高度：
$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32cm-20cm=12cm$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4N}$
(2) $\boldsymbol{0.4×10^3kg/m^3}$
(3) $\boldsymbol{12cm}$
【知识点】
阿基米德原理、物体浮沉条件、弹簧伸长与拉力关系
【点评】
本题综合了浮力与弹簧力学的相关知识，需要结合图像分析物理量，步骤较多，要求学生理清各物理量间的逻辑关系，具备较强的综合分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据阿基米德原理求浮力，需先计算物块体积，再结合物块露出水面的比例算出排开水的体积，最后代入阿基米德原理公式计算。
2. 第(2)问：弹簧自然伸长时物块漂浮，浮力等于重力，利用该等量关系推导物块密度的表达式，代入数据求解。
3. 第(3)问：先计算物块完全浸没时浮力与重力的差值得到弹簧拉力，结合图像得出弹簧伸长量；再根据初始状态算出弹簧原长，进而得到浸没时弹簧长度，结合物块棱长算出此时水面高度，最后求出水面升高的高度。
【解析】
(1) 计算实心正方体物块A的体积：
$V=(0.1m)^3=0.001m^3$
物块A排开水的体积：
$V_{排}=V-V_{露}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×0.001m^3=4×10^{-4}m^3$
根据阿基米德原理，物块A受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^3kg/m^3×10N/kg×4×10^{-4}m^3=4N$
(2) 弹簧处于自然伸长状态时，物块漂浮，$F_{浮}=G$，即：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$
推导得物块A的密度：
$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^3kg/m^3=0.4×10^3kg/m^3$
(3) 物块A刚好浸没时，受到的浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV=1×10^3kg/m^3×10N/kg×0.001m^3=10N$
物块的重力：
$G=\rho_{物}gV=0.4×10^3kg/m^3×10N/kg×0.001m^3=4N$
弹簧的拉力：
$F_{1}=F_{浮}'-G=10N-4N=6N$
由图乙可知，拉力为6N时弹簧伸长量$\Delta L=6cm$。
初始状态下物块浸入水中的深度：
$h_{A浸}=(1-\frac{3}{5})×0.1m=0.04m=4cm$
弹簧的原长：
$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20cm-4cm=16cm$
物块A刚好浸没时弹簧的长度：
$L'=L_{0}+\Delta L=16cm+6cm=22cm$
此时水面的高度：
$h_{2}=L'+L_{A}=22cm+10cm=32cm$
水面升高的高度：
$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32cm-20cm=12cm$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4N}$
(2) $\boldsymbol{0.4×10^3kg/m^3}$
(3) $\boldsymbol{12cm}$
【知识点】
阿基米德原理、物体浮沉条件、弹簧伸长与拉力关系
【点评】
本题综合了浮力与弹簧力学的相关知识，需要结合图像分析物理量，步骤较多，要求学生理清各物理量间的逻辑关系，具备较强的综合分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
