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【例】下列关于反比例函数$y=\frac{3}{x}$的描述中，正确的是（
A.图象在第二、第四象限
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.点$(-1,3)$在反比例函数的图象上
D.当$x＜1$时，$y＞3$
【点拨】根据反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象可知，$x$和$y$同为正数或者同为负数，故A，C选项都不符合题意；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故B选项符合题意；当$x＜1$时，$y＜0$或$y＞3$，故D选项不符合题意。
【答案】B
B
）A.图象在第二、第四象限
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.点$(-1,3)$在反比例函数的图象上
D.当$x＜1$时，$y＞3$
【点拨】根据反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象可知，$x$和$y$同为正数或者同为负数，故A，C选项都不符合题意；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故B选项符合题意；当$x＜1$时，$y＜0$或$y＞3$，故D选项不符合题意。
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关性质，解题时先确定反比例函数的比例系数k=3＞0，再结合反比例函数的图象分布、增减性、图象上点的坐标特征等知识点，逐个分析选项即可得出正确答案。分析选项时注意：判断增减性要明确是“在每个象限内”，分析函数取值范围时要分x的正负情况讨论，验证点是否在图象上只需将点的坐标代入解析式判断是否成立。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，比例系数$k=3＞0$：
1. 分析A选项：当$k＞0$时，反比例函数的图象分布在第一、第三象限，因此A错误；
2. 分析B选项：当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时对应图象在第三象限，因此$y$随$x$的增大而减小，B正确；
3. 分析C选项：将$x=-1$代入解析式，得$y=\frac{3}{-1}=-3≠3$，因此点$(-1,3)$不在该反比例函数图象上，C错误；
4. 分析D选项：当$x＜0$时，$y＜0$；当$0＜x＜1$时，$y＞3$，因此$x＜1$时$y$的取值为$y＜0$或$y＞3$，并非都满足$y＞3$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握比例系数k对反比例函数图象位置、增减性的影响，分析取值类问题时要注意分象限讨论，避免忽略x的符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的相关性质，解题时先确定反比例函数的比例系数k=3＞0，再结合反比例函数的图象分布、增减性、图象上点的坐标特征等知识点，逐个分析选项即可得出正确答案。分析选项时注意：判断增减性要明确是“在每个象限内”，分析函数取值范围时要分x的正负情况讨论，验证点是否在图象上只需将点的坐标代入解析式判断是否成立。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，比例系数$k=3＞0$：
1. 分析A选项：当$k＞0$时，反比例函数的图象分布在第一、第三象限，因此A错误；
2. 分析B选项：当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时对应图象在第三象限，因此$y$随$x$的增大而减小，B正确；
3. 分析C选项：将$x=-1$代入解析式，得$y=\frac{3}{-1}=-3≠3$，因此点$(-1,3)$不在该反比例函数图象上，C错误；
4. 分析D选项：当$x＜0$时，$y＜0$；当$0＜x＜1$时，$y＞3$，因此$x＜1$时$y$的取值为$y＜0$或$y＞3$，并非都满足$y＞3$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握比例系数k对反比例函数图象位置、增减性的影响，分析取值类问题时要注意分象限讨论，避免忽略x的符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8
1. (2025—2026合肥瑶海区期末)若反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-2$
B.$k＜-2$
C.$k＞2$
D.$k＜2$
B
）A.$k＞-2$
B.$k＜-2$
C.$k＞2$
D.$k＜2$
答案
1.B
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\ne0$），当$m＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；当$m＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。本题中给出$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，说明该反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$，
已知当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的增减性可知，此时比例系数小于0，即：
$k+2＜0$
解这个不等式，移项得：
$k＜-2$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题的关键是准确掌握反比例函数的比例系数符号与函数增减性的对应关系，注意题目明确给出了$x＜0$的范围，即限定在同一象限内，可直接套用性质求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\ne0$），当$m＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；当$m＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。本题中给出$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，说明该反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$，
已知当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的增减性可知，此时比例系数小于0，即：
$k+2＜0$
解这个不等式，移项得：
$k＜-2$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题的关键是准确掌握反比例函数的比例系数符号与函数增减性的对应关系，注意题目明确给出了$x＜0$的范围，即限定在同一象限内，可直接套用性质求解。
【难度系数】
0.8
2.已知反比例函数$y=\frac{-7}{x}$.下列选项正确的是（
A.函数图象在第一、第三象限
B.y 随 x 的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y 随 x 的增大而增大
C
）A.函数图象在第一、第三象限
B.y 随 x 的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y 随 x 的增大而增大
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：图象所在象限由k的正负决定，增减性的描述必须限定“在每个象限内”。第一步先确定本题中k的取值，再逐一判断象限相关选项，最后验证增减性表述是否正确即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 判断象限：本题中$k=-7＜0$，因此函数图象位于第二、第四象限，故A选项错误，C选项正确。
2. 判断增减性：反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，当$k＜0$时，在每个象限内y随x的增大而增大。B、D选项均未限定“在每个象限内”，表述不成立，故B、D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的图象性质
2.反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是判断增减性时忽略“在每个象限内”的前提，需要牢记k值与图象象限、增减性的对应规律，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：图象所在象限由k的正负决定，增减性的描述必须限定“在每个象限内”。第一步先确定本题中k的取值，再逐一判断象限相关选项，最后验证增减性表述是否正确即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 判断象限：本题中$k=-7＜0$，因此函数图象位于第二、第四象限，故A选项错误，C选项正确。
2. 判断增减性：反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，当$k＜0$时，在每个象限内y随x的增大而增大。B、D选项均未限定“在每个象限内”，表述不成立，故B、D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的图象性质
2.反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是判断增减性时忽略“在每个象限内”的前提，需要牢记k值与图象象限、增减性的对应规律，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3. 反比例函数 $y=-\dfrac{12}{x}$ 的图象一定经过的点是（
A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
D
）A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断一个点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）可变形为$xy=k$，即图象上所有点的横、纵坐标的乘积都等于$k$。本题中$k=-12$，因此只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标乘积，判断是否等于-12即可得出答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{12}{x}$，则对图象上任意一点$(x,y)$，都满足$xy=-12$，逐一验证选项：
选项A：$2×6=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项B：$(-4)×(-3)=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项C：$(-3)×(-4)=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项D：$6×(-2)=-12$，满足$xy=-12$，故该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，无需绘制函数图象，通过计算横纵坐标乘积即可快速解题，是反比例函数章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）可变形为$xy=k$，即图象上所有点的横、纵坐标的乘积都等于$k$。本题中$k=-12$，因此只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标乘积，判断是否等于-12即可得出答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{12}{x}$，则对图象上任意一点$(x,y)$，都满足$xy=-12$，逐一验证选项：
选项A：$2×6=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项B：$(-4)×(-3)=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项C：$(-3)×(-4)=12≠-12$，故该点不在函数图象上；
选项D：$6×(-2)=-12$，满足$xy=-12$，故该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，无需绘制函数图象，通过计算横纵坐标乘积即可快速解题，是反比例函数章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
变式题 (1)反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过$(8,b)$和$(4,-1)$这两个点，则$b$的值为
(2)反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象经过点$A(m,\dfrac{m}{8})$，则反比例函数的解析式为
$-\dfrac{1}{2}$
。(2)反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象经过点$A(m,\dfrac{m}{8})$，则反比例函数的解析式为
$y=\dfrac{8}{x}$
。答案
变式题 (1)$-\dfrac{1}{2}$ (2)$y=\dfrac{8}{x}$
解析
【分析】
(1) 第一问解题核心是利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的特征：先将已知点(4,-1)代入解析式求出未知系数k，得到完整的反比例函数解析式后，再将点(8,b)代入解析式即可计算出b的值。
(2) 第二问同样依据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入解析式，求解得到m的取值（注意反比例函数的系数不能为0），即可确定最终的反比例函数解析式。
【解析】
(1) 将点$(4,-1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$\quad -1=\dfrac{k}{4}$，解得$k=-4$
因此反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，
再将点$(8,b)$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：
$\quad b=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 将点$A(m,\dfrac{m}{8})$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得：
$\quad \dfrac{m}{8}=\dfrac{m}{m}$，化简得$\dfrac{m}{8}=1$
解得$m=8$（反比例函数系数$m≠0$，符合要求），
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{8}{x}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{2}$；(2)$y=\dfrac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
这两道题是反比例函数的基础习题，考查的是函数图象与解析式的对应关系，只要掌握“图象上任意一点的坐标都满足函数解析式”这一规律，就能快速解题，适合用来巩固反比例函数的基础概念。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问解题核心是利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的特征：先将已知点(4,-1)代入解析式求出未知系数k，得到完整的反比例函数解析式后，再将点(8,b)代入解析式即可计算出b的值。
(2) 第二问同样依据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入解析式，求解得到m的取值（注意反比例函数的系数不能为0），即可确定最终的反比例函数解析式。
【解析】
(1) 将点$(4,-1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$\quad -1=\dfrac{k}{4}$，解得$k=-4$
因此反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，
再将点$(8,b)$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：
$\quad b=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 将点$A(m,\dfrac{m}{8})$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得：
$\quad \dfrac{m}{8}=\dfrac{m}{m}$，化简得$\dfrac{m}{8}=1$
解得$m=8$（反比例函数系数$m≠0$，符合要求），
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{8}{x}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{2}$；(2)$y=\dfrac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
这两道题是反比例函数的基础习题，考查的是函数图象与解析式的对应关系，只要掌握“图象上任意一点的坐标都满足函数解析式”这一规律，就能快速解题，适合用来巩固反比例函数的基础概念。
【难度系数】
0.85
