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11.已知$m$是方程$ax^2 + c=0$和方程$cx^2 + a=0$的一个实数根，则方程$ax^2 + 2ax + c=0$一定有实数根
（
A.$-1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-m$
D.$m$
（
B
）A.$-1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-m$
D.$m$
答案
11.B 【点拨】由题意知,$am^2+c=0,cm^2+a=0,\therefore am^2+c+cm^2+a=0$,即$(a+c)(m^2+1)=0$,解得$a+c=0$,即$c=-a$,$\therefore ax^2+2ax-a=0$,即$x^2+2x-1=0$,解得$x_1=\sqrt{2}-1,x_2=-\sqrt{2}-1$,$\therefore$ 方程$ax^2+2ax+c=0$一定有实数根$\sqrt{2}-1$,故选 B.
12.如图,有一块矩形菜地ABCD,AB=a m,AD=b m,面积为S m²,现将边AB增加1 m,边AD增加2 m,有且只有一个a的值使得到的矩形面积为3S m²,则S的值是
$2+\sqrt{3}$
.答案
12.$2+\sqrt{3}$ 【点拨】由题意得,$b=\frac{S}{a}$. $\because$ 边 $AB$ 增加 1 m,边 $AD$ 增加 2 m,得到的矩形面积为 $3S\ \mathrm{m}^2$,$\therefore (a+1)(b+2)=3S$. $\therefore (a+1)(\frac{S}{a}+2)=3S$,整理,得 $2a+\frac{S}{a}+2-2S=0$. $\therefore 2a^2+(2-2S)a+S=0$. $\because$ 有且只有一个 $a$ 的值使得到的矩形面积为 $3S\ \mathrm{m}^2$,$\therefore \Delta=0$,即$(2-2S)^2-8S=0$. $\therefore S^2-4S+1=0$,解得 $S=2-\sqrt{3}$(不合题意,舍去)或 $S=2+\sqrt{3}$.
13. [宁波自主招生]已知实数$m,n$满足$m^2 - mn + n^2=3$，设$P=m^2 + mn -n^2$，则$P$的最大值为
5
。答案
13.5 【点拨】$\because m^2-mn+n^2=3$,$P=m^2+mn-n^2$,$\therefore$ 将两个等式相加得 $P+3=2m^2$,则 $P=2m^2-3$,要求 $P$ 的最大值,只需求出 $m^2$ 的最大值. 将 $m^2-mn+n^2=3$ 看成关于 $n$ 的一元二次方程,整理得 $n^2-mn+m^2-3=0$. $\because$ 方程有实数解,$\therefore \Delta=m^2-4(m^2-3)≥0$,$\therefore m^2≤4$,即 $m^2$ 的最大值为 4,$\therefore$ 当 $m^2=4$ 时,$P$ 的最大值为 5.
14. ★★ 新考法 分类讨论法 如图,已知在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点D,点A,B的坐标分别为$(2,2\sqrt{3}),(5,\sqrt{3})$。
(1)求直线AB的表达式；
(2)若在y轴上有一异于原点的点P,使$△ PAB$为等腰三角形,求点P的坐标.
(1)求直线AB的表达式；
(2)若在y轴上有一异于原点的点P,使$△ PAB$为等腰三角形,求点P的坐标.
答案
14.【解】(1)设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.
$\because A(2,2\sqrt{3}),B(5,\sqrt{3})$,
$\therefore \begin{cases}2k+b=2\sqrt{3},\\5k+b=\sqrt{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{8\sqrt{3}}{3}.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
(2)设 $P(0,t),t≠0$,
则 $PA^2=(0-2)^2+(t-2\sqrt{3})^2=t^2-4\sqrt{3}t+16$,
$PB^2=(0-5)^2+(t-\sqrt{3})^2=t^2-2\sqrt{3}t+28$,
$AB^2=(2-5)^2+(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2=12$.
$\because △ PAB$ 为等腰三角形,
$\therefore PA=PB$ 或 $PA=AB$ 或 $PB=AB$.
当 $PA=PB$ 时,$PA^2=PB^2$,
$\therefore t^2-4\sqrt{3}t+16=t^2-2\sqrt{3}t+28$,
解得 $t=-2\sqrt{3}$.
$\therefore P(0,-2\sqrt{3})$;
当 $PA=AB$ 时,$PA^2=AB^2$,
$\therefore t^2-4\sqrt{3}t+16=12$,即 $t^2-4\sqrt{3}t+4=0$.
$\therefore t=\frac{-(-4\sqrt{3})\pm\sqrt{(-4\sqrt{3})^2-4×1×4}}{2×1}=\frac{4\sqrt{3}\pm4\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore t=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$ 或 $t=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$.
$\therefore P(0,2\sqrt{3}+2\sqrt{2})$ 或 $P(0,2\sqrt{3}-2\sqrt{2})$;
当 $PB=AB$ 时,$PB^2=AB^2$,$\therefore t^2-2\sqrt{3}t+28=12$.
$\because \Delta=-52＜0$,$\therefore$ 此方程无解.
综上所述,当$△ PAB$ 为等腰三角形时,点 $P$ 的坐标为 $(0,-2\sqrt{3})$或$(0,2\sqrt{3}+2\sqrt{2})$或$(0,2\sqrt{3}-2\sqrt{2})$.
$\because A(2,2\sqrt{3}),B(5,\sqrt{3})$,
$\therefore \begin{cases}2k+b=2\sqrt{3},\\5k+b=\sqrt{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{8\sqrt{3}}{3}.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
(2)设 $P(0,t),t≠0$,
则 $PA^2=(0-2)^2+(t-2\sqrt{3})^2=t^2-4\sqrt{3}t+16$,
$PB^2=(0-5)^2+(t-\sqrt{3})^2=t^2-2\sqrt{3}t+28$,
$AB^2=(2-5)^2+(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2=12$.
$\because △ PAB$ 为等腰三角形,
$\therefore PA=PB$ 或 $PA=AB$ 或 $PB=AB$.
当 $PA=PB$ 时,$PA^2=PB^2$,
$\therefore t^2-4\sqrt{3}t+16=t^2-2\sqrt{3}t+28$,
解得 $t=-2\sqrt{3}$.
$\therefore P(0,-2\sqrt{3})$;
当 $PA=AB$ 时,$PA^2=AB^2$,
$\therefore t^2-4\sqrt{3}t+16=12$,即 $t^2-4\sqrt{3}t+4=0$.
$\therefore t=\frac{-(-4\sqrt{3})\pm\sqrt{(-4\sqrt{3})^2-4×1×4}}{2×1}=\frac{4\sqrt{3}\pm4\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore t=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$ 或 $t=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$.
$\therefore P(0,2\sqrt{3}+2\sqrt{2})$ 或 $P(0,2\sqrt{3}-2\sqrt{2})$;
当 $PB=AB$ 时,$PB^2=AB^2$,$\therefore t^2-2\sqrt{3}t+28=12$.
$\because \Delta=-52＜0$,$\therefore$ 此方程无解.
综上所述,当$△ PAB$ 为等腰三角形时,点 $P$ 的坐标为 $(0,-2\sqrt{3})$或$(0,2\sqrt{3}+2\sqrt{2})$或$(0,2\sqrt{3}-2\sqrt{2})$.
15. 新视角 新定义题 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”. 通过计算发现,任何一个“快乐方程”的根的判别式$b^2 - 4ac$一定为完全平方数. 现规定$F(a,b,c)=\frac{4ac - b^2}{4a}$为该“快乐方程”的“快乐数”. 例如:“快乐方程”$x^2 - 3x - 4 = 0$的两个根均为整数,其“快乐数”$F(1,-3,-4)=\frac{4×1×(-4)-(-3)^2}{4×1}=-\frac{25}{4}$. 若有另一个“快乐方程”$px^2 + qx + r = 0(p≠0)$的“快乐数”为$F(p,q,r)$,且满足$r·F(a,b,c)=c·F(p,q,r)$,则称$F(a,b,c)$与$F(p,q,r)$互为“开心数”.
(1)“快乐方程”$x^2 -5x +6=0$的“快乐数”为
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -(2m+1)x + m^2 +3m -6=0(m$为整数,且$-1＜m＜2)$是“快乐方程”,求$m$的值,并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -mx +m +1=0$与$x^2 -(n+2)x +2n=0(m,n$均为正整数$)$都是“快乐方程”,且两方程的“快乐数”互为“开心数”,直接写出$n$的值.
(1)“快乐方程”$x^2 -5x +6=0$的“快乐数”为
$-\frac{1}{4}$
；(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -(2m+1)x + m^2 +3m -6=0(m$为整数,且$-1＜m＜2)$是“快乐方程”,求$m$的值,并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -mx +m +1=0$与$x^2 -(n+2)x +2n=0(m,n$均为正整数$)$都是“快乐方程”,且两方程的“快乐数”互为“开心数”,直接写出$n$的值.
答案
15.【解】(1)$-\frac{1}{4}$
(2)在 $x^2-(2m+1)x+m^2+3m-6=0(m$ 为整数,且 $-1＜m＜2)$ 中,$\Delta=[-(2m+1)]^2-4×1×(m^2+3m-6)=-8m+25$.
$\because -1＜m＜2$,$\therefore 9＜-8m+25＜33$.
$\because -8m+25$ 为完全平方数,
$\therefore -8m+25=16$ 或 $-8m+25=25$.
$\therefore m=\frac{9}{8}$(舍去)或 $m=0$.
$\therefore$ 原方程为 $x^2-x-6=0$.
$\therefore$“快乐数”为 $F(1,-1,-6)=\frac{4×1×(-6)-(-1)^2}{4×1}=-\frac{25}{4}$.
(3)$n$ 的值是 3. 【点拨】在 $x^2-mx+m+1=0(m$ 为正整数)中,设 $\Delta=(-m)^2-4×1×(m+1)=m^2-4m-4=(m-2)^2-t^2=8$.
$\therefore (m+t-2)(m-t-2)=8$. 根据整数的奇偶性可知,$m+t-2$ 与 $m-t-2$ 同奇或同偶,$\therefore m+t-2$ 与 $m-t-2$ 同为偶数.
$\therefore \begin{cases}m+t-2=4,\\m-t-2=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=2,\\m-t-2=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=-4,\\m-t-2=-2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=-2,\\m-t-2=-4,\end{cases}$ 解得 $m=5$ 或 $m=-1$(舍去). $\therefore$ 原方程可化为 $x^2-5x+6=0$. $\therefore F(1,-5,6)=\frac{4×1×6-(-5)^2}{4×1}=-\frac{1}{4}$. $\because$ 一元二次方程 $x^2-(n+2)x+2n=0(n$ 为正整数) 是 “快乐方程”, $\therefore F(1,-n-2,2n)=\frac{4×1×2n-(-n-2)^2}{4×1}=-\frac{(n-2)^2}{4}$. $\because$ 两方程的“快乐数”互为“开心数”,$\therefore -\frac{1}{4}×2n=-\frac{(n-2)^2}{4}×6$,解得 $n_1=3$,$n_2=\frac{4}{3}$(舍去). 故 $n$ 的值是 3.
(2)在 $x^2-(2m+1)x+m^2+3m-6=0(m$ 为整数,且 $-1＜m＜2)$ 中,$\Delta=[-(2m+1)]^2-4×1×(m^2+3m-6)=-8m+25$.
$\because -1＜m＜2$,$\therefore 9＜-8m+25＜33$.
$\because -8m+25$ 为完全平方数,
$\therefore -8m+25=16$ 或 $-8m+25=25$.
$\therefore m=\frac{9}{8}$(舍去)或 $m=0$.
$\therefore$ 原方程为 $x^2-x-6=0$.
$\therefore$“快乐数”为 $F(1,-1,-6)=\frac{4×1×(-6)-(-1)^2}{4×1}=-\frac{25}{4}$.
(3)$n$ 的值是 3. 【点拨】在 $x^2-mx+m+1=0(m$ 为正整数)中,设 $\Delta=(-m)^2-4×1×(m+1)=m^2-4m-4=(m-2)^2-t^2=8$.
$\therefore (m+t-2)(m-t-2)=8$. 根据整数的奇偶性可知,$m+t-2$ 与 $m-t-2$ 同奇或同偶,$\therefore m+t-2$ 与 $m-t-2$ 同为偶数.
$\therefore \begin{cases}m+t-2=4,\\m-t-2=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=2,\\m-t-2=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=-4,\\m-t-2=-2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+t-2=-2,\\m-t-2=-4,\end{cases}$ 解得 $m=5$ 或 $m=-1$(舍去). $\therefore$ 原方程可化为 $x^2-5x+6=0$. $\therefore F(1,-5,6)=\frac{4×1×6-(-5)^2}{4×1}=-\frac{1}{4}$. $\because$ 一元二次方程 $x^2-(n+2)x+2n=0(n$ 为正整数) 是 “快乐方程”, $\therefore F(1,-n-2,2n)=\frac{4×1×2n-(-n-2)^2}{4×1}=-\frac{(n-2)^2}{4}$. $\because$ 两方程的“快乐数”互为“开心数”,$\therefore -\frac{1}{4}×2n=-\frac{(n-2)^2}{4}×6$,解得 $n_1=3$,$n_2=\frac{4}{3}$(舍去). 故 $n$ 的值是 3.
