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7. 如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE.若∠A=40°,则∠FDE的度数为 (
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
第7题图 第8题图
C
)A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
第7题图 第8题图
答案
C 在$△BFD$和$△CDE$中,$\begin{cases} BF = CD, \\ ∠B = ∠C, \\ BD = CE, \end{cases} \therefore △ BFD ≌ △ CDE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠BFD = ∠CDE. \because ∠B = ∠C, ∠A = 40°,$
$\therefore ∠B = ∠C = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 70°,\therefore ∠FDB + ∠CDE = ∠FDB + ∠BFD = 180° - ∠B = 110°,\therefore ∠FDE = 180° - (∠FDB + ∠CDE) = 180° - 110° = 70°.$
$\therefore ∠B = ∠C = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 70°,\therefore ∠FDB + ∠CDE = ∠FDB + ∠BFD = 180° - ∠B = 110°,\therefore ∠FDE = 180° - (∠FDB + ∠CDE) = 180° - 110° = 70°.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题中给出了两组边相等BF=CD、BD=CE，且两边的夹角∠B=∠C，可优先考虑利用SAS判定△BFD和△CDE全等，得到对应角相等；再结合△ABC是等腰三角形，已知顶角∠A的度数，可先求出底角∠B的度数；之后利用三角形内角和得到△BFD中两个锐角的和，通过角的等量代换求出∠FDB与∠CDE的和，最后结合平角的定义即可求出∠FDE的度数。
【解析】
在$△ BFD$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} BF = CD, \\ ∠B = ∠C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BFD ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠BFD = ∠CDE$。
$\because ∠B = ∠C$，$∠A = 40°$，
$\therefore ∠B = ∠C = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
在$△ BFD$中，$∠ FDB + ∠ BFD = 180° - ∠ B = 180°-70°=110°$，
将$∠ BFD$替换为$∠ CDE$，可得$∠ FDB + ∠ CDE = 110°$，
$\because ∠ FDB + ∠ FDE + ∠ CDE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ FDE = 180° - (∠ FDB + ∠ CDE) = 180°-110°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定全等三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等实现角的等量代换，再结合三角形内角和、平角的性质计算角度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，题中给出了两组边相等BF=CD、BD=CE，且两边的夹角∠B=∠C，可优先考虑利用SAS判定△BFD和△CDE全等，得到对应角相等；再结合△ABC是等腰三角形，已知顶角∠A的度数，可先求出底角∠B的度数；之后利用三角形内角和得到△BFD中两个锐角的和，通过角的等量代换求出∠FDB与∠CDE的和，最后结合平角的定义即可求出∠FDE的度数。
【解析】
在$△ BFD$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} BF = CD, \\ ∠B = ∠C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BFD ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠BFD = ∠CDE$。
$\because ∠B = ∠C$，$∠A = 40°$，
$\therefore ∠B = ∠C = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
在$△ BFD$中，$∠ FDB + ∠ BFD = 180° - ∠ B = 180°-70°=110°$，
将$∠ BFD$替换为$∠ CDE$，可得$∠ FDB + ∠ CDE = 110°$，
$\because ∠ FDB + ∠ FDE + ∠ CDE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ FDE = 180° - (∠ FDB + ∠ CDE) = 180°-110°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定全等三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等实现角的等量代换，再结合三角形内角和、平角的性质计算角度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
8. [2026 常州外国语学校月考]如图,在边长为1的正方形网格图中,点A,B,C,D均在正方形网格的格点上,则∠ABC + ∠ADC =
45
°.答案
45
如图,构造$△DAE$. 在$△ABC$和$△DAE$中,$\begin{cases} AC = DE, \\ ∠ACB = ∠DEA, \\ BC = AE, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ DAE\ (\mathrm{SAS}\ ), \therefore ∠ABC = ∠DAE.$$\because ∠DCE = ∠DAE + ∠ADC = 45°,$
$\therefore ∠ABC + ∠ADC = 45°.$
解析
【分析】
要求∠ABC与∠ADC的和，直接单独计算两个角的度数难度较大，结合网格特征和本课时所学的SAS全等判定知识，可通过构造全等三角形实现角的等量转化，把两个角转移到同一个关联的三角形中求解。首先观察格点线段长度：AC和DE长度相等，BC和AE长度相等，且两组边的夹角均为直角，可证△ABC和△DAE全等，得到∠ABC=∠DAE，再结合三角形外角的性质，即可将两个所求角的和转化为已知的45°特殊角。
【解析】
解：如图，构造$△DAE$。
在$△ABC$和$△DAE$中，
$\begin{cases} AC = DE, \\ ∠ACB = ∠DEA = 90°, \\ BC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DAE\ (\mathrm{SAS}\ )$,
$\therefore ∠ABC = ∠DAE.$
由网格特征可知$△ DEC$是等腰直角三角形，$∠ DCE = 45°$，
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DCE = ∠DAE + ∠ADC = 45°$,
将$∠ DAE$替换为相等的$∠ ABC$，可得：
$∠ABC + ∠ADC = 45°.$
【答案】
45
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的应用，解题的核心是通过构造全等三角形完成角的等量转化，将未知的两角和转化为已知的特殊角，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求∠ABC与∠ADC的和，直接单独计算两个角的度数难度较大，结合网格特征和本课时所学的SAS全等判定知识，可通过构造全等三角形实现角的等量转化，把两个角转移到同一个关联的三角形中求解。首先观察格点线段长度：AC和DE长度相等，BC和AE长度相等，且两组边的夹角均为直角，可证△ABC和△DAE全等，得到∠ABC=∠DAE，再结合三角形外角的性质，即可将两个所求角的和转化为已知的45°特殊角。
【解析】
解：如图
，构造$△DAE$。在$△ABC$和$△DAE$中，
$\begin{cases} AC = DE, \\ ∠ACB = ∠DEA = 90°, \\ BC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DAE\ (\mathrm{SAS}\ )$,
$\therefore ∠ABC = ∠DAE.$
由网格特征可知$△ DEC$是等腰直角三角形，$∠ DCE = 45°$，
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DCE = ∠DAE + ∠ADC = 45°$,
将$∠ DAE$替换为相等的$∠ ABC$，可得：
$∠ABC + ∠ADC = 45°.$
【答案】
45
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的应用，解题的核心是通过构造全等三角形完成角的等量转化，将未知的两角和转化为已知的特殊角，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在五边形ABCDE中,AB = AE = 4,BC = 3,DE = 2,∠ABC = ∠AED = 90°,∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAE,则五边形ABCDE的面积为
20
。答案
20 解题思路:将$△ABC$绕点$A$顺时针旋转至$△AEF$处,由$∠B = ∠AEF = ∠AED = 90°$,得$∠DEF = 180°$,即$D,E,F$三点共线,易证$△ACD≌△AFD$,进而可得$S_{\mathrm{五边形}ABCDE}=2S_{△ACD}$.
如图,将$△ABC$绕点$A$顺时针旋转至$△AEF$(旋转构造全等三角形)处,则$AF = AC$,$∠AEF = ∠B = ∠AED = 90°$,$\therefore ∠DEF = 180°$,即$D,E,F$三点共线. $\because ∠DAC = \frac{1}{2}∠BAE = ∠DAE + ∠BAC$,$∠DAE + ∠BAC = ∠DAE + ∠EAF = ∠FAD$,$\therefore ∠CAD = ∠FAD$. 在$△ACD$和$△AFD$中,$\begin{cases} AC = AF, \\ ∠CAD = ∠FAD, \\ AD = AD, \end{cases} \therefore △ ACD ≌ △ AFD\ (\mathrm{SAS}),$$\therefore S_{△ACD} = S_{△AFD} = S_{△AED} + S_{△ABC} = \frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×4×3 = 10,$
$\therefore S_{\mathrm{五边形}ABCDE} = 2S_{△ACD} = 20.$
解析
【分析】
本题为不规则五边形的面积计算问题，解题核心是利用旋转实现边角转化。首先观察到共顶点A的等长线段AB=AE，且∠B、∠AED均为直角，具备旋转构造全等的条件，因此考虑将△ABC绕点A顺时针旋转，使AB与AE重合得到△AEF；接下来先证明D、E、F三点共线，再结合∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAE的条件证明△ACD≌△AFD，最终将五边形面积转化为2倍的△AFD面积即可求解。
【解析】
解：将△ABC绕点A顺时针旋转至△AEF处，使AB与AE重合。
由旋转性质可得：$AF=AC$，$∠AEF=∠B=90°$，$∠EAF=∠BAC$，$EF=BC=3$。
∵$∠AED=90°$，
∴$∠AEF+∠AED=180°$，即D、E、F三点共线。
∵$∠DAC=\frac{1}{2}∠BAE$，且$∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠DAC$，
∴$∠DAC=∠BAC+∠DAE$，
又
∵$∠EAF=∠BAC$，
∴$∠FAD=∠EAF+∠DAE=∠BAC+∠DAE=∠DAC$。
在$△ ACD$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AC = AF \\∠CAD = ∠FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ AFD$（SAS）。
∴$S_{△ AFD}=S_{△ ACD}$，
又$S_{△ AFD}=S_{△ AED}+S_{△ AEF}=S_{△ AED}+S_{△ ABC}$，
计算得：$S_{△ AED}=\frac{1}{2}×AE×DE=\frac{1}{2}×4×2=4$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{△ AFD}=4+6=10$，
∴$S_{五边形ABCDE}=S_{△ ABC}+S_{四边形AEDC}=S_{△ AEF}+S_{四边形AEDC}=S_{△ ACD}+S_{△ AFD}=2S_{△ AFD}=2×10=20$。
【答案】20
【知识点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】本题是几何面积计算的典型题型，解题关键是结合共顶点等线段的特征，通过旋转构造全等三角形，将不规则五边形的面积转化为易计算的三角形面积，考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】0.6
本题为不规则五边形的面积计算问题，解题核心是利用旋转实现边角转化。首先观察到共顶点A的等长线段AB=AE，且∠B、∠AED均为直角，具备旋转构造全等的条件，因此考虑将△ABC绕点A顺时针旋转，使AB与AE重合得到△AEF；接下来先证明D、E、F三点共线，再结合∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAE的条件证明△ACD≌△AFD，最终将五边形面积转化为2倍的△AFD面积即可求解。
【解析】
解：将△ABC绕点A顺时针旋转至△AEF处，使AB与AE重合。
由旋转性质可得：$AF=AC$，$∠AEF=∠B=90°$，$∠EAF=∠BAC$，$EF=BC=3$。
∵$∠AED=90°$，
∴$∠AEF+∠AED=180°$，即D、E、F三点共线。
∵$∠DAC=\frac{1}{2}∠BAE$，且$∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠DAC$，
∴$∠DAC=∠BAC+∠DAE$，
又
∵$∠EAF=∠BAC$，
∴$∠FAD=∠EAF+∠DAE=∠BAC+∠DAE=∠DAC$。
在$△ ACD$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AC = AF \\∠CAD = ∠FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ AFD$（SAS）。
∴$S_{△ AFD}=S_{△ ACD}$，
又$S_{△ AFD}=S_{△ AED}+S_{△ AEF}=S_{△ AED}+S_{△ ABC}$，
计算得：$S_{△ AED}=\frac{1}{2}×AE×DE=\frac{1}{2}×4×2=4$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{△ AFD}=4+6=10$，
∴$S_{五边形ABCDE}=S_{△ ABC}+S_{四边形AEDC}=S_{△ AEF}+S_{四边形AEDC}=S_{△ ACD}+S_{△ AFD}=2S_{△ AFD}=2×10=20$。
【答案】20
【知识点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】本题是几何面积计算的典型题型，解题关键是结合共顶点等线段的特征，通过旋转构造全等三角形，将不规则五边形的面积转化为易计算的三角形面积，考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】0.6
10. [2025 扬州树人学校月考] 如图,在$△ ABC$中,BE, CF分别是AC,AB边上的高,BE,CF相交于点H,在BE上截取$BD=AC$,在CF的延长线上截取$CG=AB$,连接AD,AG.
(1)求证:$AD=AG$.
(2)AD与AG的位置关系如何?请说明理由.
(1)求证:$AD=AG$.
(2)AD与AG的位置关系如何?请说明理由.
答案
(1)证明:$\because BE⊥AC,CF⊥AB,\therefore ∠HEC = ∠HFB = 90°.$
又$\because ∠CHE = ∠BHF,\therefore ∠ACG = ∠ABD.$
在$△ABD$和$△GCA$中,$\begin{cases} AB = GC, \\ ∠ABD = ∠GCA, \\ BD = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ GCA(\mathrm{SAS}),\therefore AD = AG.$
(2)解:$AD⊥AG$. 理由如下.
$\because △ ABD≌ △ GCA,\therefore ∠ADB = ∠GAC.$
又$\because ∠ADB = ∠AED + ∠DAE,∠GAC = ∠GAD + ∠DAE,$
$\therefore ∠GAD = ∠AED = 90°,\therefore AD⊥AG.$
又$\because ∠CHE = ∠BHF,\therefore ∠ACG = ∠ABD.$
在$△ABD$和$△GCA$中,$\begin{cases} AB = GC, \\ ∠ABD = ∠GCA, \\ BD = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ GCA(\mathrm{SAS}),\therefore AD = AG.$
(2)解:$AD⊥AG$. 理由如下.
$\because △ ABD≌ △ GCA,\therefore ∠ADB = ∠GAC.$
又$\because ∠ADB = ∠AED + ∠DAE,∠GAC = ∠GAD + ∠DAE,$
$\therefore ∠GAD = ∠AED = 90°,\therefore AD⊥AG.$
解析
【分析】
(1)要证明AD=AG，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知条件给出BD=AC、CG=AB，因此只需证明两组对应边的夹角∠ABD=∠GCA即可。由BE、CF是△ABC的高，结合对顶角相等，利用同角的余角相等可推出这组角相等，进而用SAS判定△ABD和△GCA全等，即可得到对应边AD=AG。
(2)判断AD与AG的位置关系，猜想为垂直，即需证明∠GAD=90°。可利用(1)中全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系推导，得出∠GAD为直角，即可得到垂直的结论。
【解析】
(1)证明:$\because BE⊥AC,CF⊥AB,\therefore ∠HEC = ∠HFB = 90°.$
又$\because ∠CHE = ∠BHF,\therefore ∠ACG = ∠ABD.$
在$△ABD$和$△GCA$中,$\begin{cases} AB = GC, \\ ∠ABD = ∠GCA, \\ BD = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ GCA(\mathrm{SAS}),\therefore AD = AG.$
(2)解:$AD⊥AG$. 理由如下.
$\because △ ABD≌ △ GCA,\therefore ∠ADB = ∠GAC.$
又$\because ∠ADB = ∠AED + ∠DAE,∠GAC = ∠GAD + ∠DAE,$
$\therefore ∠GAD = ∠AED = 90°,\therefore AD⊥AG.$
【答案】
(1) $AD=AG$，证明成立；
(2) $AD⊥AG$，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是结合三角形高的性质推导等角，构造全等三角形，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AD=AG，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知条件给出BD=AC、CG=AB，因此只需证明两组对应边的夹角∠ABD=∠GCA即可。由BE、CF是△ABC的高，结合对顶角相等，利用同角的余角相等可推出这组角相等，进而用SAS判定△ABD和△GCA全等，即可得到对应边AD=AG。
(2)判断AD与AG的位置关系，猜想为垂直，即需证明∠GAD=90°。可利用(1)中全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系推导，得出∠GAD为直角，即可得到垂直的结论。
【解析】
(1)证明:$\because BE⊥AC,CF⊥AB,\therefore ∠HEC = ∠HFB = 90°.$
又$\because ∠CHE = ∠BHF,\therefore ∠ACG = ∠ABD.$
在$△ABD$和$△GCA$中,$\begin{cases} AB = GC, \\ ∠ABD = ∠GCA, \\ BD = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ GCA(\mathrm{SAS}),\therefore AD = AG.$
(2)解:$AD⊥AG$. 理由如下.
$\because △ ABD≌ △ GCA,\therefore ∠ADB = ∠GAC.$
又$\because ∠ADB = ∠AED + ∠DAE,∠GAC = ∠GAD + ∠DAE,$
$\therefore ∠GAD = ∠AED = 90°,\therefore AD⊥AG.$
【答案】
(1) $AD=AG$，证明成立；
(2) $AD⊥AG$，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是结合三角形高的性质推导等角，构造全等三角形，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 [2026 北京仁和中学期中] 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动,请你来加入.
【探究与发现】
(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED = AD,连接BE. 求证:△ACD≌△EBD.
【理解与应用】
(2)如图2,EP是△DEF的中线. 若EF =5,DE=3,则EP的取值范围是
(3)如图3,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,连接EF. 求证:BE + CF ＞ EF.
(4)如图4,在△ABC和△CDE中,CA = CB,CD = CE,且∠ACB = ∠DCE = 90°,连接AD,BE,Q为AD的中点,连接QC并延长交BE于点K,CQ =4.5,CK=3,则$S_{△ BCE}=$
【探究与发现】
(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED = AD,连接BE. 求证:△ACD≌△EBD.
【理解与应用】
(2)如图2,EP是△DEF的中线. 若EF =5,DE=3,则EP的取值范围是
$1 ＜ EP ＜ 4$
.(3)如图3,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,连接EF. 求证:BE + CF ＞ EF.
(4)如图4,在△ABC和△CDE中,CA = CB,CD = CE,且∠ACB = ∠DCE = 90°,连接AD,BE,Q为AD的中点,连接QC并延长交BE于点K,CQ =4.5,CK=3,则$S_{△ BCE}=$
13.5
.答案
(1)证明:$\because AD$是$△ABC$的中线,$\therefore CD = BD.$
在$△ACD$和$△EBD$中,$\begin{cases} CD = BD, \\ ∠ADC = ∠EDB, \\ AD = ED, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ EBD(\mathrm{SAS}).$
(2)解:$1 ＜ EP ＜ 4$
如图1,延长$EP$至点$Q$,使$PQ = PE$,连接$FQ$. $\because EP$是$△DEF$的中线,$\therefore PD = PF$. 在$△PDE$和$△PFQ$中,$\begin{cases} PE = PQ, \\ ∠EPD = ∠QPF, \\ PD = PF, \end{cases}$$\therefore △ PDE≌ △ PFQ(\mathrm{SAS}),\therefore FQ = DE = 3.$ 在$△EFQ$中,$EF - FQ ＜ QE ＜ EF + FQ$,即$5 - 3 ＜ 2EP ＜ 5 + 3$,$\therefore 1 ＜ EP ＜ 4.$
(3)证明:如图2,延长$FD$至点$G$,使$GD = DF$,连接$BG$,$EG$.
$\because AD$是$△ABC$的中线,$\therefore DC = DB.$
在$△DFC$和$△DGB$中,$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠CDF = ∠BDG, \\ DC = DB, \end{cases}$
$\therefore △ DFC≌ △ DGB(\mathrm{SAS}),\therefore CF = BG.$
$\because DE⊥DF,\therefore ∠FDE = ∠GDE = 90°.$
在$△EDF$和$△EDG$中,$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠FDE = ∠GDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$
$\therefore △ EDF≌ △ EDG(\mathrm{SAS}),\therefore EF = EG.$
在$△BEG$中,$BE + BG ＞ EG.$
$\because EF = EG,CF = BG,\therefore BE + CF ＞ EF.$
(4)解:13.5
如图3,延长$CQ$至点$R$,使得$QR = CQ$,连接$AR$,$DR$. $\because Q$是$AD$的中点,$\therefore AQ = QD$. 在$△AQR$和$△DQC$中,$\begin{cases} AQ = QD, \\ ∠AQR = ∠DQC, \\ QR = QC, \end{cases} \therefore △ AQR ≌ △ DQC\ (\mathrm{SAS}), \therefore AR = CD,$$∠ARQ = ∠RCD, \therefore AR // CD, \therefore ∠CAR + ∠ACD = 180°.$
$\because ∠ACB = ∠DCE = 90°, \therefore ∠BCE + ∠ACD = 360° - 90° - 90° = 180°, \therefore ∠CAR = ∠BCE. \because CD = CE, AR = CD, \therefore AR = CE.$ 在$△ACR$和$△CBE$中,$\begin{cases} AC = CB, \\ ∠CAR = ∠BCE, \\ AR = CE, \end{cases} \therefore △ ACR ≌ △ CBE(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ACR = ∠CBE, BE = CR = 2CQ = 2 × 4.5 = 9.$
$\because ∠ACR + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CBE + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CKB = 90°, \mathrm{即} QK⊥BE, \therefore S_{△BCE} = \frac{1}{2}BE · CK = \frac{1}{2} × 9 × 3 = 13.5.$
解析
【分析】
本题核心考查倍长中线构造全等三角形的辅助线方法，各小问解题思路如下：
(1) 要证△ACD≌△EBD，根据AD是中线可得CD=BD，结合对顶角相等、ED=AD的条件，用SAS全等判定即可证明。
(2) 求中线EP的取值范围，采用倍长中线法：延长EP到Q使PQ=PE，构造全等三角形将DE转化为FQ，再利用三角形三边关系列不等式求解即可。
(3) 证明BE+CF＞EF，通过倍长FD到G使GD=DF，构造全等将CF转化为BG，再结合DE⊥DF的条件证EF=EG，最后利用三角形两边之和大于第三边的性质即可得证。
(4) 求△BCE的面积，先倍长CQ到R使QR=CQ，构造全等得到AR=CD、AR//CD，进而推出∠CAR=∠BCE，再证△ACR≌△CBE得到BE的长度，且可证CK⊥BE，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore CD = BD$。
在$△ACD$和$△EBD$中，$\begin{cases} CD = BD, \\ ∠ADC = ∠EDB, \\ AD = ED, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ EBD(\mathrm{SAS})$。
(2) 如图1，延长$EP$至点$Q$，使$PQ = PE$，连接$FQ$。
$\because EP$是$△DEF$的中线，$\therefore PD = PF$。
在$△PDE$和$△PFQ$中，$\begin{cases} PE = PQ, \\ ∠EPD = ∠QPF, \\ PD = PF, \end{cases}$
$\therefore △ PDE≌ △ PFQ(\mathrm{SAS}),\therefore FQ = DE = 3$。
在$△EFQ$中，根据三角形三边关系得$EF - FQ ＜ QE ＜ EF + FQ$，即$5 - 3 ＜ 2EP ＜ 5 + 3$，解得$1 ＜ EP ＜ 4$。
(3) 证明：如图2，延长$FD$至点$G$，使$GD = DF$，连接$BG$，$EG$。
$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore DC = DB$。
在$△DFC$和$△DGB$中，$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠CDF = ∠BDG, \\ DC = DB, \end{cases}$
$\therefore △ DFC≌ △ DGB(\mathrm{SAS}),\therefore CF = BG$。
$\because DE⊥DF,\therefore ∠FDE = ∠GDE = 90°$。
在$△EDF$和$△EDG$中，$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠FDE = ∠GDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$
$\therefore △ EDF≌ △ EDG(\mathrm{SAS}),\therefore EF = EG$。
在$△BEG$中，由三角形三边关系得$BE + BG ＞ EG$。
$\because EF = EG,CF = BG,\therefore BE + CF ＞ EF$。
(4) 如图3，延长$CQ$至点$R$，使得$QR = CQ$，连接$AR$，$DR$。
$\because Q$是$AD$的中点，$\therefore AQ = QD$。
在$△AQR$和$△DQC$中，$\begin{cases} AQ = QD, \\ ∠AQR = ∠DQC, \\ QR = QC, \end{cases} \therefore △ AQR ≌ △ DQC\ (\mathrm{SAS}), \therefore AR = CD,$
$∠ARQ = ∠RCD, \therefore AR // CD, \therefore ∠CAR + ∠ACD = 180°$。
$\because ∠ACB = ∠DCE = 90°, \therefore ∠BCE + ∠ACD = 360° - 90° - 90° = 180°, \therefore ∠CAR = ∠BCE$。
$\because CD = CE, AR = CD, \therefore AR = CE$。
在$△ACR$和$△CBE$中，$\begin{cases} AC = CB, \\ ∠CAR = ∠BCE, \\ AR = CE, \end{cases} \therefore △ ACR ≌ △ CBE(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ACR = ∠CBE, BE = CR = 2CQ = 2 × 4.5 = 9$。
$\because ∠ACR + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CBE + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CKB = 90°, \mathrm{即} CK⊥BE$，
$\therefore S_{△BCE} = \frac{1}{2}BE · CK = \frac{1}{2} × 9 × 3 = 13.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $1 ＜ EP ＜ 4$
(3) 证明见解析；
(4) $13.5$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造辅助线
【点评】
本题围绕倍长中线构造全等的核心方法展开，由浅入深设置了全等证明、范围求解、不等式证明、面积计算四类问题，既考查了基础全等判定、三角形三边关系等基础知识点，也考查了辅助线构造、逻辑推理的综合能力，熟练掌握倍长中线的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.55
本题核心考查倍长中线构造全等三角形的辅助线方法，各小问解题思路如下：
(1) 要证△ACD≌△EBD，根据AD是中线可得CD=BD，结合对顶角相等、ED=AD的条件，用SAS全等判定即可证明。
(2) 求中线EP的取值范围，采用倍长中线法：延长EP到Q使PQ=PE，构造全等三角形将DE转化为FQ，再利用三角形三边关系列不等式求解即可。
(3) 证明BE+CF＞EF，通过倍长FD到G使GD=DF，构造全等将CF转化为BG，再结合DE⊥DF的条件证EF=EG，最后利用三角形两边之和大于第三边的性质即可得证。
(4) 求△BCE的面积，先倍长CQ到R使QR=CQ，构造全等得到AR=CD、AR//CD，进而推出∠CAR=∠BCE，再证△ACR≌△CBE得到BE的长度，且可证CK⊥BE，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore CD = BD$。
在$△ACD$和$△EBD$中，$\begin{cases} CD = BD, \\ ∠ADC = ∠EDB, \\ AD = ED, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ EBD(\mathrm{SAS})$。
(2)
如图1，延长$EP$至点$Q$，使$PQ = PE$，连接$FQ$。 $\because EP$是$△DEF$的中线，$\therefore PD = PF$。
在$△PDE$和$△PFQ$中，$\begin{cases} PE = PQ, \\ ∠EPD = ∠QPF, \\ PD = PF, \end{cases}$
$\therefore △ PDE≌ △ PFQ(\mathrm{SAS}),\therefore FQ = DE = 3$。
在$△EFQ$中，根据三角形三边关系得$EF - FQ ＜ QE ＜ EF + FQ$，即$5 - 3 ＜ 2EP ＜ 5 + 3$，解得$1 ＜ EP ＜ 4$。
(3) 证明：如图2，延长$FD$至点$G$，使$GD = DF$，连接$BG$，$EG$。
$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore DC = DB$。
在$△DFC$和$△DGB$中，$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠CDF = ∠BDG, \\ DC = DB, \end{cases}$
$\therefore △ DFC≌ △ DGB(\mathrm{SAS}),\therefore CF = BG$。
$\because DE⊥DF,\therefore ∠FDE = ∠GDE = 90°$。
在$△EDF$和$△EDG$中，$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠FDE = ∠GDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$
$\therefore △ EDF≌ △ EDG(\mathrm{SAS}),\therefore EF = EG$。
在$△BEG$中，由三角形三边关系得$BE + BG ＞ EG$。
$\because EF = EG,CF = BG,\therefore BE + CF ＞ EF$。
(4)
如图3，延长$CQ$至点$R$，使得$QR = CQ$，连接$AR$，$DR$。 $\because Q$是$AD$的中点，$\therefore AQ = QD$。
在$△AQR$和$△DQC$中，$\begin{cases} AQ = QD, \\ ∠AQR = ∠DQC, \\ QR = QC, \end{cases} \therefore △ AQR ≌ △ DQC\ (\mathrm{SAS}), \therefore AR = CD,$
$∠ARQ = ∠RCD, \therefore AR // CD, \therefore ∠CAR + ∠ACD = 180°$。
$\because ∠ACB = ∠DCE = 90°, \therefore ∠BCE + ∠ACD = 360° - 90° - 90° = 180°, \therefore ∠CAR = ∠BCE$。
$\because CD = CE, AR = CD, \therefore AR = CE$。
在$△ACR$和$△CBE$中，$\begin{cases} AC = CB, \\ ∠CAR = ∠BCE, \\ AR = CE, \end{cases} \therefore △ ACR ≌ △ CBE(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ACR = ∠CBE, BE = CR = 2CQ = 2 × 4.5 = 9$。
$\because ∠ACR + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CBE + ∠BCK = 90°, \therefore ∠CKB = 90°, \mathrm{即} CK⊥BE$，
$\therefore S_{△BCE} = \frac{1}{2}BE · CK = \frac{1}{2} × 9 × 3 = 13.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $1 ＜ EP ＜ 4$
(3) 证明见解析；
(4) $13.5$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造辅助线
【点评】
本题围绕倍长中线构造全等的核心方法展开，由浅入深设置了全等证明、范围求解、不等式证明、面积计算四类问题，既考查了基础全等判定、三角形三边关系等基础知识点，也考查了辅助线构造、逻辑推理的综合能力，熟练掌握倍长中线的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.55
