登录
三、耐心做一做。
⑧如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(0,a),B(b,a).且a、b满足$(a+b-6)^2+\sqrt{b-a-2}=0$，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D.连接AC，BD，AB，BC.
(1)求点C,D的坐标及三角形BCD面积；
(2)若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1,∠2,∠3的数量关系，并说明理由.
⑧如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(0,a),B(b,a).且a、b满足$(a+b-6)^2+\sqrt{b-a-2}=0$，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D.连接AC，BD，AB，BC.
(1)求点C,D的坐标及三角形BCD面积；
(2)若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1,∠2,∠3的数量关系，并说明理由.
答案
8.(1)C(-1,0) D(3,0) $S_{△ BCD}=4$；
(2)$∠1=∠2+∠3$ 理由略.
(2)$∠1=∠2+∠3$ 理由略.
解析
【分析】
(1) 首先根据平方和算术平方根的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列方程组求解得到a、b的值，确定A、B的坐标；再按照点的平移规则“左减横坐标，下减纵坐标”计算得到C、D的坐标；C、D均在x轴上，CD长度为两点横坐标的差，三角形BCD的高为点B到x轴的距离，代入三角形面积公式即可求出面积。
(2) 已知AB和CD平行，过E作AB的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将三个角转化关联，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ 平方和算术平方根均为非负数，$(a+b-6)^2+\sqrt{b-a-2}=0$
∴ $\begin{cases}a+b-6=0\\b-a-2=0\end{cases}$
解方程组：两式相加得$2b=8$，即$b=4$，代入得$a=2$
∴ 点A坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(4,2)$
根据平移规则，点A、B向下平移2个单位，纵坐标减2，向左平移1个单位，横坐标减1：
C点坐标：$(0-1,2-2)=(-1,0)$，D点坐标：$(4-1,2-2)=(3,0)$
CD的长度为$3-(-1)=4$，点B到CD所在x轴的距离为2
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× 高=\frac{1}{2}×4×2=4$
(2) $∠1=∠2+∠3$，理由如下：
过点E作$EF// AB$
由A、B、C、D坐标可知$AB// CD$，因此$EF// AB// CD$
根据平行线性质：两直线平行，内错角相等，得$∠1=∠BEF$，$∠2=∠DEF$
又
∵ $∠BEF=∠3+∠DEF$
∴ $∠1=∠2+∠3$
【答案】
(1) $C(-1,0)$，$D(3,0)$，$S_{△ BCD}=4$；
(2) $∠1=∠2+∠3$
【知识点】
非负数的性质；点的平移；平行线的性质
【点评】
本题综合性较强，涵盖了代数中非负性的应用、平面直角坐标系中点的平移、面积计算和几何中平行线的性质，解题的核心是准确求出各点坐标，灵活运用平行线的性质做角的转化。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据平方和算术平方根的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列方程组求解得到a、b的值，确定A、B的坐标；再按照点的平移规则“左减横坐标，下减纵坐标”计算得到C、D的坐标；C、D均在x轴上，CD长度为两点横坐标的差，三角形BCD的高为点B到x轴的距离，代入三角形面积公式即可求出面积。
(2) 已知AB和CD平行，过E作AB的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将三个角转化关联，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ 平方和算术平方根均为非负数，$(a+b-6)^2+\sqrt{b-a-2}=0$
∴ $\begin{cases}a+b-6=0\\b-a-2=0\end{cases}$
解方程组：两式相加得$2b=8$，即$b=4$，代入得$a=2$
∴ 点A坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(4,2)$
根据平移规则，点A、B向下平移2个单位，纵坐标减2，向左平移1个单位，横坐标减1：
C点坐标：$(0-1,2-2)=(-1,0)$，D点坐标：$(4-1,2-2)=(3,0)$
CD的长度为$3-(-1)=4$，点B到CD所在x轴的距离为2
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× 高=\frac{1}{2}×4×2=4$
(2) $∠1=∠2+∠3$，理由如下：
过点E作$EF// AB$
由A、B、C、D坐标可知$AB// CD$，因此$EF// AB// CD$
根据平行线性质：两直线平行，内错角相等，得$∠1=∠BEF$，$∠2=∠DEF$
又
∵ $∠BEF=∠3+∠DEF$
∴ $∠1=∠2+∠3$
【答案】
(1) $C(-1,0)$，$D(3,0)$，$S_{△ BCD}=4$；
(2) $∠1=∠2+∠3$
【知识点】
非负数的性质；点的平移；平行线的性质
【点评】
本题综合性较强，涵盖了代数中非负性的应用、平面直角坐标系中点的平移、面积计算和几何中平行线的性质，解题的核心是准确求出各点坐标，灵活运用平行线的性质做角的转化。
【难度系数】
0.7
⑨如图,在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为$(-5,4),(-3,0),(0,2)$.
(1)在图中画出$△ ABC$,并求出其面积;
(2)$△ A'B'C'$是由$△ ABC$经过怎样的平移得到的?
(3)已知点$P(a,b)$为$△ ABC$内的一点,则点$P$在$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标(
(1)在图中画出$△ ABC$,并求出其面积;
(2)$△ A'B'C'$是由$△ ABC$经过怎样的平移得到的?
(3)已知点$P(a,b)$为$△ ABC$内的一点,则点$P$在$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标(
a+4
,b-3
).答案
9.(1)图略 $S_{△ ABC}=8$.
(2)先向右平移4个单位,再向下平移3个单位(或先向下平移3个单位,再向上右平移4个单位)；
(3)$a+4$ $b-3$
(2)先向右平移4个单位,再向下平移3个单位(或先向下平移3个单位,再向上右平移4个单位)；
(3)$a+4$ $b-3$
解析
【分析】
(1)求△ABC的面积可采用七年级常用的割补法：先将△ABC放在能覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可；作图时先根据三点坐标在坐标系中标出A、B、C，再顺次连接三点即可。
(2)判断平移方式只需对比对应顶点的坐标变化：分别观察△ABC和△A'B'C'对应点的横、纵坐标的变化量，即可得出平移路径。
(3)根据平移的坐标变化规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，结合平移的变化量，直接写出对应点P'的坐标即可。
【解析】
(1)先在平面直角坐标系中找到A(-5,4)、B(-3,0)、C(0,2)三点，顺次连接得到△ABC。
用割补法计算面积：取覆盖△ABC的矩形，矩形横向范围为x=-5到x=0，纵向范围为y=0到y=4，矩形面积为$5×4=20$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
①左侧三角形：底为$|-3-(-5)|=2$，高为4，面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$；
②右下角三角形：底为$|0-(-3)|=3$，高为2，面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$；
③右上角三角形：底为$|0-(-5)|=5$，高为$|4-2|=2$，面积为$\frac{1}{2}×5×2=5$。
因此$S_{△ABC}=20-4-3-5=8$。
(2)取对应点A(-5,4)和A'(-1,1)，横坐标变化：$-1-(-5)=4$，即向右平移4个单位；纵坐标变化：$1-4=-3$，即向下平移3个单位。B、C和对应点B'、C'的坐标变化也符合该规律，因此平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移3个单位（或先向下平移3个单位，再向右平移4个单位）。
(3)根据平移的坐标变化规律，横坐标加4，纵坐标减3，因此点P(a,b)的对应点P'的坐标为$(a+4,b-3)$。
【答案】
(1)图略，$S_{△ABC}=8$；
(2)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位（或先向下平移3个单位，再向右平移4个单位）；
(3)$a+4$，$b-3$
【知识点】
1.割补法求面积
2.图形的平移变换
3.平移的坐标规律
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖图形绘制、不规则图形面积计算、平移性质三个模块，侧重考查基础方法和规律的应用，掌握割补法和平移的坐标变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1)求△ABC的面积可采用七年级常用的割补法：先将△ABC放在能覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可；作图时先根据三点坐标在坐标系中标出A、B、C，再顺次连接三点即可。
(2)判断平移方式只需对比对应顶点的坐标变化：分别观察△ABC和△A'B'C'对应点的横、纵坐标的变化量，即可得出平移路径。
(3)根据平移的坐标变化规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，结合平移的变化量，直接写出对应点P'的坐标即可。
【解析】
(1)先在平面直角坐标系中找到A(-5,4)、B(-3,0)、C(0,2)三点，顺次连接得到△ABC。
用割补法计算面积：取覆盖△ABC的矩形，矩形横向范围为x=-5到x=0，纵向范围为y=0到y=4，矩形面积为$5×4=20$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
①左侧三角形：底为$|-3-(-5)|=2$，高为4，面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$；
②右下角三角形：底为$|0-(-3)|=3$，高为2，面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$；
③右上角三角形：底为$|0-(-5)|=5$，高为$|4-2|=2$，面积为$\frac{1}{2}×5×2=5$。
因此$S_{△ABC}=20-4-3-5=8$。
(2)取对应点A(-5,4)和A'(-1,1)，横坐标变化：$-1-(-5)=4$，即向右平移4个单位；纵坐标变化：$1-4=-3$，即向下平移3个单位。B、C和对应点B'、C'的坐标变化也符合该规律，因此平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移3个单位（或先向下平移3个单位，再向右平移4个单位）。
(3)根据平移的坐标变化规律，横坐标加4，纵坐标减3，因此点P(a,b)的对应点P'的坐标为$(a+4,b-3)$。
【答案】
(1)图略，$S_{△ABC}=8$；
(2)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位（或先向下平移3个单位，再向右平移4个单位）；
(3)$a+4$，$b-3$
【知识点】
1.割补法求面积
2.图形的平移变换
3.平移的坐标规律
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖图形绘制、不规则图形面积计算、平移性质三个模块，侧重考查基础方法和规律的应用，掌握割补法和平移的坐标变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.7
