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【典例1】(2026·张家口)如图，$\odot O$内接正六边形$ABCDEF$中，连接$DB$，$FB$分别交$AC$于点$N$，$M$，若$\odot O$半径为3，则$MN=$
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
变式1.如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连接PE，PF，PB，PC.若$S_{△ PEF}=3\sqrt{3}$，$S_{△ PBC}=5\sqrt{3}$，则AB的长为
$4$
. 答案
解:$S_{△ PEF}+S_{△ PBC}=\frac{1}{3}S_{正六边形}$，
∴正六边形面积为$24\sqrt{3}$，
设正六边形边长为$a$，
则$24\sqrt{3}=6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2,\therefore a=4.$
∴正六边形面积为$24\sqrt{3}$，
设正六边形边长为$a$，
则$24\sqrt{3}=6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2,\therefore a=4.$
变式2.如图，$\odot O$的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$，对角线CE，DF相交于点M，则图中阴影部分面积为
$2-\sqrt{2}$
。答案
$2-\sqrt{2}$
【典例2】(2026·武汉)如图,进行下列尺规作图:①将半径为$\sqrt{2}$的$\odot O$六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;③从点G引出$\odot O$的切线与AD所在的直线围成三角形.此三角形的面积是(
A.4
B.$2\sqrt{2}+3$
C.6
D.$2\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
A
)A.4
B.$2\sqrt{2}+3$
C.6
D.$2\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
答案
解:$AC=\sqrt{6}$，
$OG=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=2$，
设切点为K,两条切线交直线DA于点M,N，
$GK=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore ∠ KGO=45°$，
$\therefore ∠ MGN=90°$，
$\therefore S_{△ MNG}=\frac{1}{2}×4×2=4.$
【典例3】如图,在正五边形ABCDE中.
(1)求证:EB=EC;
(2)若BE=2,CF⊥BE交AB于F,求AE+AF的值.
(1)求证:EB=EC;
(2)若BE=2,CF⊥BE交AB于F,求AE+AF的值.
答案
(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$∠ A=∠ D=∠ ABC=∠ BCD=108°$，
易得$∠ AEB=∠ ABE=36°$，
$∠ EBC=72°$，
同理$∠ ECB=72°$，
$\therefore EB=EC$；
(2)解:易求$∠ CFB=54°$，
延长CF交EA的延长线于M,$\therefore ∠ M=54°$，
$\therefore AF=AM$，
$\therefore AE+AF=EM=EC$，
$\therefore AE+AF=BE=2.$
