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【典例1】如图，直线$y=kx$交抛物线于点E、F，$EM⊥ x$轴于M，$FN⊥ x$轴于N，求$OM· ON$的值。
答案
解:$E(x_1,kx_1),F(x_2,kx_2)$，
$OM· ON=-x_1· x_2$，
联立$\begin{cases} y=kx, \\ y=\frac{1}{4}x^2-1, \end{cases}$
得$\frac{1}{4}x^2 -kx -1=0$，
由韦达定理得$x_1x_2=-4$，
$\therefore OM· ON=4$。
$OM· ON=-x_1· x_2$，
联立$\begin{cases} y=kx, \\ y=\frac{1}{4}x^2-1, \end{cases}$
得$\frac{1}{4}x^2 -kx -1=0$，
由韦达定理得$x_1x_2=-4$，
$\therefore OM· ON=4$。
【典例2】如图，已知直线$y=kx-5k(k≠0)$与$x$轴交于点$P$，与抛物线$y=ax^2(ak＜0)$交于$A$，$B$两点，$AM⊥x$轴于$M$，$BN⊥x$轴于$N$，点$A$在点$B$的左侧.求$\frac{1}{ON}-\frac{1}{OM}$的值.
答案
解:由$\begin{cases} y=kx-5k, \\ y=ax^2, \end{cases}$
可得$ax^2 -kx +5k=0$，
设$M(x_1,0),N(x_2,0)$，即$x_1＜0,x_2＞0$，
$\frac{1}{ON}-\frac{1}{OM}=\frac{-(x_1+x_2)}{-x_1x_2}=\frac{1}{5}$。
可得$ax^2 -kx +5k=0$，
设$M(x_1,0),N(x_2,0)$，即$x_1＜0,x_2＞0$，
$\frac{1}{ON}-\frac{1}{OM}=\frac{-(x_1+x_2)}{-x_1x_2}=\frac{1}{5}$。
【典例3】如图，已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$，直线$y=kx+2$交抛物线于A、B两点，$AE⊥x$轴于E点与直线BO交于F点，求EF的长。
答案
解:$A(x_1,ax_1^2),B(x_2,ax_2^2)$，
$OB$的解析式为$y=ax_2x$，
$EF=-ax_1x_2$，
又$\because \begin{cases} y=kx+2, \\ y=ax^2, \end{cases}$
$\therefore ax^2 -kx -2=0$，
$x_1· x_2=-\frac{2}{a}⇒ ax_1x_2=-2,\therefore EF=2$。
$OB$的解析式为$y=ax_2x$，
$EF=-ax_1x_2$，
又$\because \begin{cases} y=kx+2, \\ y=ax^2, \end{cases}$
$\therefore ax^2 -kx -2=0$，
$x_1· x_2=-\frac{2}{a}⇒ ax_1x_2=-2,\therefore EF=2$。
【典例4】已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+2$与x轴交于A，B二点，点M在抛物线上，AM交y轴于点E，直线BM交y轴于点F，求证$OE+OF$为定值。
答案
解:设$M(m,-\frac{1}{2}m^2+2)$，
$\therefore AM$的解析式$y=-\frac{1}{2}(m-2)(x+2)$，
$BM$的解析式$y=-\frac{1}{2}(m+2)(x-2)$，
$\therefore OE=-(m-2)$，
$OF=m+2$，
$\therefore OE+OF=4$，即$OE+OF$为定值4。
$\therefore AM$的解析式$y=-\frac{1}{2}(m-2)(x+2)$，
$BM$的解析式$y=-\frac{1}{2}(m+2)(x-2)$，
$\therefore OE=-(m-2)$，
$OF=m+2$，
$\therefore OE+OF=4$，即$OE+OF$为定值4。
