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1. 下列图象中,表示正比例函数图象的是 ( 
)
)答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个是正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的核心特征：一是解析式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），二是图象是经过原点的直线，且整条直线的斜率（倾斜程度）固定，$x$和$y$满足正比例对应关系。解题时可以先排除不符合“过原点的直线”的选项，再验证剩余选项是否符合$y$和$x$的正比例对应关系即可。
【解析】
正比例函数的性质：①解析式为$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）；②图象是经过原点$(0,0)$的直线，且整条直线的倾斜程度固定，即$k$值唯一：当$k＞0$时，直线过第一、三象限；当$k＜0$时，直线过第二、四象限。
逐个分析选项：
选项A：直线不经过原点，不符合正比例函数图象特征，排除；
选项C：图象是位于第一、二象限的两条射线，当$x$取互为相反数的两个值时，$y$值相等，不满足$y=kx$的对应关系，排除；
选项D：图象过原点，但$x＞0$和$x＜0$时直线的倾斜程度不同，即$k$值不固定，不符合正比例函数$k$为定值的要求，排除；
选项B：是经过原点的直线，且经过第二、四象限，符合$k＜0$时正比例函数的图象特征，正确。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象特征；正比例函数的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记正比例函数的图象是过原点的直线，且对应关系满足$y$与$x$成固定比例，结合图象特征逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的核心特征：一是解析式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），二是图象是经过原点的直线，且整条直线的斜率（倾斜程度）固定，$x$和$y$满足正比例对应关系。解题时可以先排除不符合“过原点的直线”的选项，再验证剩余选项是否符合$y$和$x$的正比例对应关系即可。
【解析】
正比例函数的性质：①解析式为$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）；②图象是经过原点$(0,0)$的直线，且整条直线的倾斜程度固定，即$k$值唯一：当$k＞0$时，直线过第一、三象限；当$k＜0$时，直线过第二、四象限。
逐个分析选项：
选项A：直线不经过原点，不符合正比例函数图象特征，排除；
选项C：图象是位于第一、二象限的两条射线，当$x$取互为相反数的两个值时，$y$值相等，不满足$y=kx$的对应关系，排除；
选项D：图象过原点，但$x＞0$和$x＜0$时直线的倾斜程度不同，即$k$值不固定，不符合正比例函数$k$为定值的要求，排除；
选项B：是经过原点的直线，且经过第二、四象限，符合$k＜0$时正比例函数的图象特征，正确。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象特征；正比例函数的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记正比例函数的图象是过原点的直线，且对应关系满足$y$与$x$成固定比例，结合图象特征逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 新题型结论开放题 如果正比例函数$y=\frac{x}{1-2k}$的图象经过第二、四象限，那么k的值可以是
1(答案不唯一)
。答案
2. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆正比例函数的图象性质：对于正比例函数$y=mx$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象经过第二、四象限。解题时先确定本题中正比例函数的比例系数，结合图象经过的象限得到比例系数的符号，再解不等式求出$k$的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=\frac{x}{1-2k}$的图象经过第二、四象限，
∴函数的比例系数小于0，即$\frac{1}{1-2k}＜0$，
∵分子1是正数，要使分数值为负，则分母为负，
∴$1-2k＜0$，
移项得：$-2k＜-1$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$k＞\frac{1}{2}$，
因此取大于$\frac{1}{2}$的任意数值均符合要求，例如$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，满足$k＞\frac{1}{2}$即可）
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是结论开放题，难度较低，核心考查正比例函数图象与系数的对应关系，解题时需注意解含负系数的一元一次不等式时，不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.8
首先回忆正比例函数的图象性质：对于正比例函数$y=mx$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象经过第二、四象限。解题时先确定本题中正比例函数的比例系数，结合图象经过的象限得到比例系数的符号，再解不等式求出$k$的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=\frac{x}{1-2k}$的图象经过第二、四象限，
∴函数的比例系数小于0，即$\frac{1}{1-2k}＜0$，
∵分子1是正数，要使分数值为负，则分母为负，
∴$1-2k＜0$，
移项得：$-2k＜-1$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$k＞\frac{1}{2}$，
因此取大于$\frac{1}{2}$的任意数值均符合要求，例如$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，满足$k＞\frac{1}{2}$即可）
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是结论开放题，难度较低，核心考查正比例函数图象与系数的对应关系，解题时需注意解含负系数的一元一次不等式时，不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.8
3. 如图，正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$.
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)若这个函数的图象还经过点$B(m,m+3)$，求$m$的值；
(3)判断点$P(-\frac{3}{2},1)$是否在这个函数的图象上，并说明理由.
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)若这个函数的图象还经过点$B(m,m+3)$，求$m$的值；
(3)判断点$P(-\frac{3}{2},1)$是否在这个函数的图象上，并说明理由.
答案
3. 【解】(1)由题图可知点 A 的坐标为(-1,2),将其代入$y=kx$,得$-k=2$,所以 $k=-2$,则该正比例函数的表达式为 $y=-2x$.
(2)将点 $B(m,m+3)$ 的坐标代入 $y=-2x$,得 $-2m=m+3$,解得 $m=-1$.
(3)点 $P(-\frac{3}{2},1)$ 不在这个函数的图象上.
理由:当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y=(-2)×(-\frac{3}{2})=3≠1$,
所以点 $P(-\frac{3}{2},1)$ 不在这个函数的图象上.
(2)将点 $B(m,m+3)$ 的坐标代入 $y=-2x$,得 $-2m=m+3$,解得 $m=-1$.
(3)点 $P(-\frac{3}{2},1)$ 不在这个函数的图象上.
理由:当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y=(-2)×(-\frac{3}{2})=3≠1$,
所以点 $P(-\frac{3}{2},1)$ 不在这个函数的图象上.
解析
【分析】
本题围绕正比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：(1)求正比例函数表达式需先确定未知系数k，先从图象中读取点A的坐标，再用待定系数法将点A坐标代入y=kx即可求出k，得到函数表达式；(2)函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点B坐标代入已求得的函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得m的值；(3)判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1)由图象可知点A的坐标为$(-1,2)$，将$A(-1,2)$代入$y=kx$，得：
$-k=2$
解得$k=-2$，因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
(2)已知函数$y=-2x$的图象经过点$B(m,m+3)$，将点B坐标代入函数表达式得：
$-2m=m+3$
移项合并同类项得$-3m=3$，解得$m=-1$。
(3)点$P(-\frac{3}{2},1)$不在这个函数的图象上，理由如下：
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-2x$，得$y=(-2)×(-\frac{3}{2})=3$，计算所得y值为3，和点P的纵坐标1不相等，因此点P不在该函数图象上。
【答案】
(1) $y=-2x$
(2) $m=-1$
(3) 点$P(-\frac{3}{2},1)$不在这个函数的图象上，理由：当$x=-\frac{3}{2}$时，$y=3≠1$。
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 函数图象点的坐标特征
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是正比例函数的基础题，重点考查对函数图象性质的理解，其中待定系数法是求函数解析式的常用基本方法，理解“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题围绕正比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：(1)求正比例函数表达式需先确定未知系数k，先从图象中读取点A的坐标，再用待定系数法将点A坐标代入y=kx即可求出k，得到函数表达式；(2)函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点B坐标代入已求得的函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得m的值；(3)判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1)由图象可知点A的坐标为$(-1,2)$，将$A(-1,2)$代入$y=kx$，得：
$-k=2$
解得$k=-2$，因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
(2)已知函数$y=-2x$的图象经过点$B(m,m+3)$，将点B坐标代入函数表达式得：
$-2m=m+3$
移项合并同类项得$-3m=3$，解得$m=-1$。
(3)点$P(-\frac{3}{2},1)$不在这个函数的图象上，理由如下：
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-2x$，得$y=(-2)×(-\frac{3}{2})=3$，计算所得y值为3，和点P的纵坐标1不相等，因此点P不在该函数图象上。
【答案】
(1) $y=-2x$
(2) $m=-1$
(3) 点$P(-\frac{3}{2},1)$不在这个函数的图象上，理由：当$x=-\frac{3}{2}$时，$y=3≠1$。
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 函数图象点的坐标特征
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是正比例函数的基础题，重点考查对函数图象性质的理解，其中待定系数法是求函数解析式的常用基本方法，理解“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 下列关于正比例函数 $ y=3x $ 的说法中，正确的是 （）
A.当 $ x=3 $ 时，$ y=1 $
B.它的图象是一条过原点的直线
C.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.它的图象经过第二、四象限
A.当 $ x=3 $ 时，$ y=1 $
B.它的图象是一条过原点的直线
C.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.它的图象经过第二、四象限
答案
4. B 【点拨】A. 当 $ x=3 $ 时,$y=9$,故本选项错误;B. 因为$y=3x$ 是正比例函数,所以它的图象是一条过原点的直线,故本选项正确;C. 因为 $ 3＞0 $,所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,故本选项错误;D. 因为 $ y=3x $ 是正比例函数,且 $ 3＞0 $,所以此函数的图象经过第一、三象限,故本选项错误.
解析
【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质，解题时可先回忆正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的相关结论，再逐一判断每个选项：①代入$x$的值计算可判断A选项；②根据正比例函数图象的共同特征判断B选项；③根据$k$的正负判断函数的增减性，验证C选项；④根据$k$的正负判断函数图象经过的象限，验证D选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 把$x=3$代入$y=3x$，得$y=3×3=9$，故A选项错误；
B. 所有正比例函数的图象都是过原点的直线，$y=3x$是正比例函数，因此它的图象是一条过原点的直线，故B选项正确；
C. 正比例函数$y=kx$中，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，本题中$k=3＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故C选项错误；
D. 正比例函数$y=kx$中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，本题中$k=3＞0$，因此图象经过第一、三象限，故D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，函数值的计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握系数$k$的取值对函数增减性、图象经过象限的影响，牢记相关结论即可快速完成判断。
【难度系数】
0.9
本题考查正比例函数的图象与性质，解题时可先回忆正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的相关结论，再逐一判断每个选项：①代入$x$的值计算可判断A选项；②根据正比例函数图象的共同特征判断B选项；③根据$k$的正负判断函数的增减性，验证C选项；④根据$k$的正负判断函数图象经过的象限，验证D选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 把$x=3$代入$y=3x$，得$y=3×3=9$，故A选项错误；
B. 所有正比例函数的图象都是过原点的直线，$y=3x$是正比例函数，因此它的图象是一条过原点的直线，故B选项正确；
C. 正比例函数$y=kx$中，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，本题中$k=3＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故C选项错误；
D. 正比例函数$y=kx$中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，本题中$k=3＞0$，因此图象经过第一、三象限，故D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，函数值的计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握系数$k$的取值对函数增减性、图象经过象限的影响，牢记相关结论即可快速完成判断。
【难度系数】
0.9
5. 在平面直角坐标系中，点$A(3,y_1),B(4,y_2)$均在直线$y=kx(k≠0)$上，若$y_1＜y_2$，则该直线经过的点的坐标还可以是（）
A.$(1,0)$
B.$(-1,-3)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,2)$
A.$(1,0)$
B.$(-1,-3)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,2)$
答案
5. B 【点拨】因为 $ 3＜4,y_1＜y_2 $,所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,所以 $ k＞0 $,所以直线 $ y=kx(k≠0) $ 经过第一、三象限,所以该直线经过的点的坐标还可以是$(-1,-3)$,故选 B.
解析
【分析】
解题时先从已知的两个点的横、纵坐标大小关系入手，结合正比例函数的增减性与比例系数k的关系，先确定k的正负；再根据正比例函数y=kx中$k=\frac{y}{x}$的特点，可知k＞0时点的横、纵坐标符号相同，也可以将选项中的点代入解析式计算k的值，判断k是否为正，即可选出正确答案。
【解析】
∵ 点A(3,y₁)、B(4,y₂)均在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，且3＜4时y₁＜y₂，
∴ y随x的增大而增大，由此可得k＞0，即正比例函数图象经过第一、三象限，图象上的点横、纵坐标同号。
对各选项逐一验证：
A. 将(1,0)代入y=kx，得0=k×1，解得k=0，不符合k≠0的条件，排除；
B. 将(-1,-3)代入y=kx，得-3=k×(-1)，解得k=3＞0，符合要求；
C. 将(1,-2)代入y=kx，得-2=k×1，解得k=-2＜0，不符合k＞0的要求，排除；
D. 将(-1,2)代入y=kx，得2=k×(-1)，解得k=-2＜0，不符合k＞0的要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的增减性；正比例函数图象特征；函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握正比例函数的增减性与比例系数k的对应关系，再结合点的坐标特征判断即可，是对正比例函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的两个点的横、纵坐标大小关系入手，结合正比例函数的增减性与比例系数k的关系，先确定k的正负；再根据正比例函数y=kx中$k=\frac{y}{x}$的特点，可知k＞0时点的横、纵坐标符号相同，也可以将选项中的点代入解析式计算k的值，判断k是否为正，即可选出正确答案。
【解析】
∵ 点A(3,y₁)、B(4,y₂)均在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，且3＜4时y₁＜y₂，
∴ y随x的增大而增大，由此可得k＞0，即正比例函数图象经过第一、三象限，图象上的点横、纵坐标同号。
对各选项逐一验证：
A. 将(1,0)代入y=kx，得0=k×1，解得k=0，不符合k≠0的条件，排除；
B. 将(-1,-3)代入y=kx，得-3=k×(-1)，解得k=3＞0，符合要求；
C. 将(1,-2)代入y=kx，得-2=k×1，解得k=-2＜0，不符合k＞0的要求，排除；
D. 将(-1,2)代入y=kx，得2=k×(-1)，解得k=-2＜0，不符合k＞0的要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的增减性；正比例函数图象特征；函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握正比例函数的增减性与比例系数k的对应关系，再结合点的坐标特征判断即可，是对正比例函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
6.若$y=(m-2)x+m^2-4$是关于$x$的正比例函数，如果点$A(m,a)$和点$B(-m,b)$在该函数的图象上，那么$a$和$b$的大小关系是 （）
A.$a＜b$
B.$a＞b$
C.$a≤ b$
D.$a≥ b$
A.$a＜b$
B.$a＞b$
C.$a≤ b$
D.$a≥ b$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，分三步思考：第一步，先根据正比例函数的定义列等式和不等式，求出m的取值，注意正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不能为0，这是易错点；第二步，把m代入得到正比例函数的解析式；第三步，比较a和b的大小，可以直接把两点坐标代入解析式计算a、b的值比较，也可以根据正比例函数的增减性，对比两点横坐标的大小来判断纵坐标的大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(m-2)x+m^2-4$是关于x的正比例函数
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
$\begin{cases}m^2-4=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$m^2-4=0$，得$m=2$或$m=-2$
又
∵$m-2≠0$，即$m≠2$
∴$m=-2$
将$m=-2$代入原函数，得函数解析式为：$y=-4x$
方法1：代入求值
点A$(m,a)$即A$(-2,a)$，代入$y=-4x$得：$a=-4×(-2)=8$
点B$(-m,b)$即B$(2,b)$，代入$y=-4x$得：$b=-4×2=-8$
∵$8＞-8$
∴$a＞b$
方法2：利用函数增减性
在$y=-4x$中，$k=-4＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小
点A的横坐标为$m=-2$，点B的横坐标为$-m=2$
∵$-2＜2$，
∴对应的函数值$a＞b$
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质；函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题的关键是准确掌握正比例函数的判定条件，不要遗漏一次项系数不为0的限制，求出m的值后，结合函数性质或代入求值都可快速比较出a、b的大小。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，分三步思考：第一步，先根据正比例函数的定义列等式和不等式，求出m的取值，注意正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不能为0，这是易错点；第二步，把m代入得到正比例函数的解析式；第三步，比较a和b的大小，可以直接把两点坐标代入解析式计算a、b的值比较，也可以根据正比例函数的增减性，对比两点横坐标的大小来判断纵坐标的大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(m-2)x+m^2-4$是关于x的正比例函数
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
$\begin{cases}m^2-4=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$m^2-4=0$，得$m=2$或$m=-2$
又
∵$m-2≠0$，即$m≠2$
∴$m=-2$
将$m=-2$代入原函数，得函数解析式为：$y=-4x$
方法1：代入求值
点A$(m,a)$即A$(-2,a)$，代入$y=-4x$得：$a=-4×(-2)=8$
点B$(-m,b)$即B$(2,b)$，代入$y=-4x$得：$b=-4×2=-8$
∵$8＞-8$
∴$a＞b$
方法2：利用函数增减性
在$y=-4x$中，$k=-4＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小
点A的横坐标为$m=-2$，点B的横坐标为$-m=2$
∵$-2＜2$，
∴对应的函数值$a＞b$
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质；函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题的关键是准确掌握正比例函数的判定条件，不要遗漏一次项系数不为0的限制，求出m的值后，结合函数性质或代入求值都可快速比较出a、b的大小。
【难度系数】
0.7
7.如图,三个正比例函数的图象分别对应的表达式是①$y=ax$;②$y=bx$;③$y=cx$.请用“＞”连接$a$,$b$,$c$:
$b＞a＞c$
.答案
7. $b＞a＞c$
解析
【分析】
解决本题需要用到正比例函数的性质，可按两步思考：第一步先判断三个系数的正负：正比例函数y=kx中，图象过一、三象限时k＞0，过二、四象限时k＜0，据此可先确定c为负数，a、b为正数，因此c最小；第二步比较正数a、b的大小：当k＞0时，直线越陡，k值越大，观察图象可得y=bx比y=ax更陡，因此b＞a，最终即可得出三者的大小关系。
【解析】
根据正比例函数y=kx的性质：
若函数图象经过第一、三象限，则k＞0，且k越大，图象倾斜程度越大（越陡）；若图象经过第二、四象限，则k＜0。
观察图象可知：
y=ax、y=bx的图象经过第一、三象限，因此a＞0，b＞0，且y=bx的倾斜程度更大，故b＞a；
y=cx的图象经过第二、四象限，因此c＜0。
综上可得b＞a＞c。
【答案】
b＞a＞c
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是掌握k的正负与图象过象限的对应关系，以及k的大小和图象倾斜程度的关系，熟练记忆性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到正比例函数的性质，可按两步思考：第一步先判断三个系数的正负：正比例函数y=kx中，图象过一、三象限时k＞0，过二、四象限时k＜0，据此可先确定c为负数，a、b为正数，因此c最小；第二步比较正数a、b的大小：当k＞0时，直线越陡，k值越大，观察图象可得y=bx比y=ax更陡，因此b＞a，最终即可得出三者的大小关系。
【解析】
根据正比例函数y=kx的性质：
若函数图象经过第一、三象限，则k＞0，且k越大，图象倾斜程度越大（越陡）；若图象经过第二、四象限，则k＜0。
观察图象可知：
y=ax、y=bx的图象经过第一、三象限，因此a＞0，b＞0，且y=bx的倾斜程度更大，故b＞a；
y=cx的图象经过第二、四象限，因此c＜0。
综上可得b＞a＞c。
【答案】
b＞a＞c
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是掌握k的正负与图象过象限的对应关系，以及k的大小和图象倾斜程度的关系，熟练记忆性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过$A(m,2),B(5,n)$两点，则$m,n$一定满足的关系式为（）
A.$m-n=3$
B.$\dfrac{m}{n}=\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{5}$
D.$mn=10$
A.$m-n=3$
B.$\dfrac{m}{n}=\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{5}$
D.$mn=10$
答案
8. D 【点拨】设正比例函数的表达式为 $ y=kx(k≠0) $,把$A(m,2),B(5,n)$ 的坐标分别代入上式,得 $ mk=2,5k=n $,所以 $\frac{2}{m}=k=\frac{n}{5}$,所以 $ mn=10 $.
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆正比例函数的相关性质：所有在正比例函数图象上的点的坐标都满足其函数解析式。已知正比例函数过A、B两点，我们可以先设出正比例函数的一般解析式，将两个点的坐标分别代入得到两个含参数k、m、n的等式，再消去参数k，就能推导出m和n的关系式。
【解析】
设该正比例函数的表达式为 $y=kx\ (k≠ 0)$。
将点$A(m,2)$的坐标代入解析式，得：$2=km$，变形可得 $k=\frac{2}{m}\ (m≠0)$；
将点$B(5,n)$的坐标代入解析式，得：$n=5k$，变形可得 $k=\frac{n}{5}\ (n≠0)$；
联立两个关于$k$的等式，可得 $\frac{2}{m}=\frac{n}{5}$，交叉相乘后得 $mn=10$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的表达式
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题核心是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，通过代入消去正比例系数k，即可得到两个未知参数的关系，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆正比例函数的相关性质：所有在正比例函数图象上的点的坐标都满足其函数解析式。已知正比例函数过A、B两点，我们可以先设出正比例函数的一般解析式，将两个点的坐标分别代入得到两个含参数k、m、n的等式，再消去参数k，就能推导出m和n的关系式。
【解析】
设该正比例函数的表达式为 $y=kx\ (k≠ 0)$。
将点$A(m,2)$的坐标代入解析式，得：$2=km$，变形可得 $k=\frac{2}{m}\ (m≠0)$；
将点$B(5,n)$的坐标代入解析式，得：$n=5k$，变形可得 $k=\frac{n}{5}\ (n≠0)$；
联立两个关于$k$的等式，可得 $\frac{2}{m}=\frac{n}{5}$，交叉相乘后得 $mn=10$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的表达式
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题核心是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，通过代入消去正比例系数k，即可得到两个未知参数的关系，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
9. 跨学科题 如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为$y_1=k_1x$，$y_2=k_2x$，则关于$k_1$与$k_2$的关系，正确的是（）
A.$k_1＞0,k_2＜0$
B.$k_1＜0,k_2＞0$
C.$|k_1|＜|k_2|$
D.$|k_1|＞|k_2|$
A.$k_1＞0,k_2＜0$
B.$k_1＜0,k_2＞0$
C.$|k_1|＜|k_2|$
D.$|k_1|＞|k_2|$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先结合正比例函数的性质判断k的正负，排除错误选项，再结合|k|的几何意义和光的折射规律比较绝对值大小，即可得到正确答案。首先回忆正比例函数y=kx的图象特征：k＞0时图象过一、三象限，k＜0时过二、四象限，观察图象可知两条直线都过二、四象限，因此k1、k2均为负数，可直接排除A、B选项。接下来回忆正比例函数中|k|的意义：|k|越大，直线倾斜程度越大、越靠近y轴；再结合光的折射规律，光从空气斜射入水中时折射光线向法线（本题中y轴是法线）偏折，说明入水后的光线y2更靠近y轴，倾斜程度更大，因此|k2|更大，即可得到结论。
【解析】
1. 判断k₁、k₂的正负：
正比例函数$y=kx$的图象规律：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
由图可知两条光线所在直线都经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，故A、B选项错误。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
对于正比例函数$y=kx$，$|k|$越大，直线的倾斜程度越大，直线越靠近y轴。
本题中x轴是空气和水的分界面，y轴为法线，光从空气斜射入水中时，折射角小于入射角，即折射光线向法线（y轴）偏折，因此$y_2$的倾斜程度大于$y_1$的倾斜程度，可得$|k_2|＞|k_1|$，即$|k_1|＜|k_2|$，故C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质；光的折射规律
【点评】
本题是跨学科融合类题目，将数学函数知识与物理光学知识结合考查，需要学生掌握不同学科的基础知识点，并能找到知识点的关联点灵活分析，对知识的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正比例函数的性质判断k的正负，排除错误选项，再结合|k|的几何意义和光的折射规律比较绝对值大小，即可得到正确答案。首先回忆正比例函数y=kx的图象特征：k＞0时图象过一、三象限，k＜0时过二、四象限，观察图象可知两条直线都过二、四象限，因此k1、k2均为负数，可直接排除A、B选项。接下来回忆正比例函数中|k|的意义：|k|越大，直线倾斜程度越大、越靠近y轴；再结合光的折射规律，光从空气斜射入水中时折射光线向法线（本题中y轴是法线）偏折，说明入水后的光线y2更靠近y轴，倾斜程度更大，因此|k2|更大，即可得到结论。
【解析】
1. 判断k₁、k₂的正负：
正比例函数$y=kx$的图象规律：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
由图可知两条光线所在直线都经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，故A、B选项错误。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
对于正比例函数$y=kx$，$|k|$越大，直线的倾斜程度越大，直线越靠近y轴。
本题中x轴是空气和水的分界面，y轴为法线，光从空气斜射入水中时，折射角小于入射角，即折射光线向法线（y轴）偏折，因此$y_2$的倾斜程度大于$y_1$的倾斜程度，可得$|k_2|＞|k_1|$，即$|k_1|＜|k_2|$，故C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质；光的折射规律
【点评】
本题是跨学科融合类题目，将数学函数知识与物理光学知识结合考查，需要学生掌握不同学科的基础知识点，并能找到知识点的关联点灵活分析，对知识的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10. ★★ 新题型规律探究题 如图，在平面直角坐标系中，$AB⊥y$轴，垂足为点B，将$△ ABO$绕点A逆时针旋转到$△ AB_1O_1$的位置，使点B的对应点$B_1$落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，再将$△ AB_1O_1$绕点$B_1$逆时针旋转到$△ A_1B_1O_2$的位置，使点$O_1$的对应点$O_2$也落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，如此下去，…，若点B的坐标为$(0,3)$，则点$B_{37}$的坐标为（）
A.$(180,135)$
B.$(180,133)$
C.$(-180,135)$
D.$(-180,133)$
（第10题）（第12题）
A.$(180,135)$
B.$(180,133)$
C.$(-180,135)$
D.$(-180,133)$
（第10题）（第12题）
答案
10. C 【点拨】由题知 $ OB=3 $,将 $ y=3 $ 代入 $ y=-\frac{3}{4}x $ 中,得 $ 3=-\frac{3}{4}x $,解得 $ x=-4 $,所以点 A 的坐标为$(-4,3)$. 所以 $ AB=4 $. 所以在 $ Rt△ABO $ 中,$ AO=\sqrt{3^2+4^2}=5 $. 所以 $ C_{△OAB}=3+4+5=12 $. 由旋转方式可知,点 $ B_{2n-1}(n $ 为正整数)在直线 $ y=-\frac{3}{4}x $ 上. 易知$OB_1=5+4=9$,$OB_3=9+12$,$OB_5=9+2×12$,…,所以$OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3$. 设 $ 2n-1=37 $,解得$n=19$,所以 $ 12n-3=12×19-3=225 $,即 $ OB_{37}=225 $. 设点 $ B_{37} $ 的坐标为 $ (m,-\frac{3}{4}m)(m＜0) $,所以 $ m^2 + (-\frac{3}{4}m)^2=225^2 $,解得 $ m=-180 $(正值已舍去). 所以$-\frac{3}{4}m=135 $. 所以点 $ B_{37} $ 的坐标为$(-180,135)$.
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先根据AB⊥y轴和B点坐标确定A点纵坐标，代入直线解析式求出A点坐标，再用勾股定理计算△ABO的三边长和周长；第二步，观察旋转规律，发现奇数序号的B点都落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，且每两次旋转对应点沿直线前进的距离等于△ABO的周长，推导出奇数序号B点到原点的距离的通项公式；第三步，代入37求出$OB_{37}$的长度，结合直线解析式和距离公式求解$B_{37}$的坐标。
【解析】
解：
∵$AB⊥y$轴，点B坐标为$(0,3)$，
∴点A的纵坐标为3。
∵点A在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，将$y=3$代入解析式得：
$3=-\frac{3}{4}x$，解得$x=-4$，即$A(-4,3)$。
∴$AB=4$，$OB=3$，在$Rt△ABO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴$△ABO$的周长为$3+4+5=12$。
由旋转性质可知，每两次旋转后对应点沿直线前进的距离等于$△ABO$的周长，且所有序号为奇数的点$B_{2n-1}$（n为正整数）都落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上。
观察规律得：$OB_1=AO+AB=5+4=9$，$OB_3=9+12$，$OB_5=9+2×12$，……
∴$OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3$。
令$2n-1=37$，解得$n=19$，代入得$OB_{37}=12×19-3=225$。
设$B_{37}(m,-\frac{3}{4}m)$（由图可知$m＜0$），由点到原点的距离公式得：
$\sqrt{m^2+(-\frac{3}{4}m)^2}=225$，
整理得$\frac{25}{16}m^2=225^2$，解得$m=-180$（正值舍去），
则$-\frac{3}{4}m=-\frac{3}{4}×(-180)=135$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质，旋转的性质，规律探究
【点评】
本题融合了图形旋转、正比例函数、规律探究三类考点，需要先推导基础几何量，再总结运动变化规律，最后结合函数性质计算坐标，能有效考查逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
解题思路分三步：第一步，先根据AB⊥y轴和B点坐标确定A点纵坐标，代入直线解析式求出A点坐标，再用勾股定理计算△ABO的三边长和周长；第二步，观察旋转规律，发现奇数序号的B点都落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，且每两次旋转对应点沿直线前进的距离等于△ABO的周长，推导出奇数序号B点到原点的距离的通项公式；第三步，代入37求出$OB_{37}$的长度，结合直线解析式和距离公式求解$B_{37}$的坐标。
【解析】
解：
∵$AB⊥y$轴，点B坐标为$(0,3)$，
∴点A的纵坐标为3。
∵点A在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，将$y=3$代入解析式得：
$3=-\frac{3}{4}x$，解得$x=-4$，即$A(-4,3)$。
∴$AB=4$，$OB=3$，在$Rt△ABO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴$△ABO$的周长为$3+4+5=12$。
由旋转性质可知，每两次旋转后对应点沿直线前进的距离等于$△ABO$的周长，且所有序号为奇数的点$B_{2n-1}$（n为正整数）都落在直线$y=-\frac{3}{4}x$上。
观察规律得：$OB_1=AO+AB=5+4=9$，$OB_3=9+12$，$OB_5=9+2×12$，……
∴$OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3$。
令$2n-1=37$，解得$n=19$，代入得$OB_{37}=12×19-3=225$。
设$B_{37}(m,-\frac{3}{4}m)$（由图可知$m＜0$），由点到原点的距离公式得：
$\sqrt{m^2+(-\frac{3}{4}m)^2}=225$，
整理得$\frac{25}{16}m^2=225^2$，解得$m=-180$（正值舍去），
则$-\frac{3}{4}m=-\frac{3}{4}×(-180)=135$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质，旋转的性质，规律探究
【点评】
本题融合了图形旋转、正比例函数、规律探究三类考点，需要先推导基础几何量，再总结运动变化规律，最后结合函数性质计算坐标，能有效考查逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
