7. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AD$是$\odot O$的直径. 若$∠ CAD=∠ ABC$，$AD=8$，则$AC$的长为（ ）
A. $5$
B. $4\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{3}$

B

8. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC=60°$，则$∠ BDC$的度数为______．

$120^{\circ}$

9. 如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$相交于点$P$,连接$AC$、$AD$、$BD$,若$∠ C=20°$,$∠ BPC=70°$,则$∠ ADC$的度数为 （ ）
A. $70°$
B. $60°$
C. $50°$
D. $40°$

D

10. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C、D、E在$\odot O$上，若$∠ BCD=100°$，则$∠ AED$的度数为______。

（第10题）

（第11题）

$10^{\circ}$

11. 如图,直径为10的$\odot A$经过点C和点O,B是y轴右侧$\odot A$优弧上一点,$∠ OBC=30°$,则点C的坐标为______．

$(0,5)$

12. 如图，$\odot O$的直径$AB$的长为$10$，$∠ CAB=60°$，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点$D$。
(1)求$∠ ADC$的度数。
(2)求弦$BD$的长。

解：​$(1)$​∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径，∴​$∠ACB = 90°$​∵​$∠CAB = 60°$​∴​$∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-60°=30°$​∴​$∠ADC=∠ABC = 30°$​​$ (2)$​由​$ (1)$​知​$∠ACB = 90°，$​​$∠ADC = 30°$​∵​$CD$​是​$∠ACB$​的平分线，∴​$∠ACD=\frac 12∠ACB = 45°$​​$ $​则​$∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-45°-30°=105°$​∵​$∠CAB = 60°$​∴​$∠DAB=∠CAD-∠CAB=105°-60°=45°$​∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径，∴​$∠ADB = 90°$​∴​$\triangle ABD$​是等腰直角三角形∵​$AB = 10，$​∴​$BD^2=10^2$​解得​$BD = 5\sqrt 2$​

13. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC至点D，使$CD=BC$，延长DA与$\odot O$交于点E，连接AC、CE.
(1)求证：$∠ B=∠ D$.
(2)若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长.

​$ (1)$​证明：∵​$AB$​为​$\odot O$​的直径，∴​$∠ACB = 90°$​ 又∵​$CD = BC，$​∴​$AC$​垂直平分​$DB$​∴​$AD = AB，$​∴​$∠B=∠D$​​$ (2)$​解：在​$Rt\triangle ACB$​中，由勾股定理得​$AC^2+BC^2=AB^2，$​即​$AC^2+(AC + 2)^2=4^2$​∵长度不能为负，∴​$AC=\sqrt 7-1$​∴​$BC=AC + 2=\sqrt 7+1$​∵​$∠D=∠B=∠E，$​∴​$CE = CD = BC=\sqrt 7+1$​