8. 如图,在正五边形ABCDE中,M是AB的中点,连接AC,DM交于点N,则∠CND的度数是
______.

第8题图

第9题图

第10题图

$54^{\circ}$

9. 如图, 六边形 $ABCDEF$ 是 $\odot O$ 的内接正六边形, 设正六边形 $ABCDEF$ 的面积为 $S_1$, $△ ACE$ 的面积为 $S_2$, 则 $\dfrac{S_1}{S_2}=$ ______.

$2$

10.(2024·玄武区期中)如图,正五边形ABCDE的边AB,AE与$\odot O$分别相切于点M,N,点P在$\overset{\frown}{MN}$上,连接PM,PN,则$∠MPN$的度数为______°.

$144$

11. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$\odot O$于点$E$，$F$. 求证：五边形$AEBCF$是$\odot O$的内接正五边形.

第11题图

; 证明：连接$BF，$$CE.$ $∵AB = AC，$$∠BAC = 36°，$ $∴∠ABC=∠ACB = 72°，$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}.$ $∵AB，$$AC$的垂直平分线分别交$\odot O$于点$E，$$F，$ $∴AF = CF，$$AE = BE，$$∴\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}，$$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}.$ $∵\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}，$$∴\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}，$ 易得$∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC = 36°，$ $∴BC = BE = AE = AF = FC，$ $∴$五边形$AEBCF$为正五边形. 又$∵$点$A，$$E，$$B，$$C，$$F$都在$\odot O$上， $∴$五边形$AEBCF$是$\odot O$的内接正五边形.

12. 如图,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形；
(2)当四边形PBQE是矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

证明：​$(1)$​∵六边形​$ABCDEF $​是正六边形， ∴​$AB = BC = CD = DE = EF = FA，$​​$∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.$​ ∵点​$P，$​​$Q $​同时分别从​$A，$​​$D$​两点出发，以​$1\ \mathrm {cm}/s $​的速度沿​$AF，$​​$DC$​向终点​$F，$​​$C$​运动，∴​$AP = DQ = t\mathrm {cm}，$​​$ $​在​$\triangle ABP $​和​$\triangle DEQ_{中}，$​​$ \begin {cases}AB = DE，\\∠A=∠D，\\AP = DQ，\end {cases} $​∴​$\triangle ABP\cong \triangle DEQ(\mathrm {SAS})，$​∴​$BP = EQ.$​​$ $​同理可证​$PE = QB，$​∴四边形​$PBQE$​为平行四边形​$.$​​$ (2)$​解：连接​$BE，$​​$OA，$​​$BD，$​​$AE，$​则​$∠AOB=\frac {360°}{6}=60°.$​ ∵​$OA = OB，$​∴​$\triangle AOB$​是等边三角形， ∴​$AB = OA = 6\ \mathrm {cm}，$​​$BE = 2OB = 12\ \mathrm {cm}.$​​$ $​当​$t = 0$​时，点​$P $​与点​$A$​重合，点​$Q $​与点​$D$​重合，四边形​$PBQE$​即为四边形​$ABDE.$​ ∵​$∠EAF=∠AEF = 30°，$​ ∴​$∠BAE=∠BAF-∠FAE = 120°-30°=90°，$​ ∴此时四边形​$ABDE$​是矩形，即四边形​$PBQE$​是矩形​$.$​​$ $​当​$t = 6$​时，点​$P $​与点​$F_{重合}，$​点​$Q $​与点​$C$​重合，四边形​$PBQE$​即为四边形​$FBCE，$​同法可知​$∠BFE = 90°，$​此时四边形​$PBQE$​是矩形​$.$​ ∵​$AE=\sqrt {12^2-6^2} = 6\sqrt {3}(\mathrm {cm})，$​∴​$S_{矩形PBQE}=S_{矩形ABDE}=AB·AE = 6×6\sqrt {3}=36\sqrt {3}(\mathrm {cm}^2).$​ ∵​$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{\triangle AOB}=6×\frac {1}{4}S_{矩形ABDE}$​​$=6×\frac {1}{4}×36\sqrt {3}$​​$=54\sqrt {3}(\mathrm {cm}^2)，$​ ∴矩形​$PBQE$​的面积与正六边形​$ABCDEF $​的面积之比为​$\frac {2}{3}.$​ ;