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4. 已知△ABC的三边长分别是3，8，x.
(1)求x的取值范围；
(2)若三角形的周长是大于20的正整数，求x的值.
(1)求x的取值范围；
(2)若三角形的周长是大于20的正整数，求x的值.
答案
(1)根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$，即$5 ＜ x ＜ 11$。
(2)三角形周长为$3 + 8 + x = 11 + x$，因为周长是大于20的正整数，所以$11 + x ＞ 20$，解得$x ＞ 9$。
又由(1)知$5 ＜ x ＜ 11$，且$x$为整数，所以$x$的值为10。
综上，(1)x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 11$；(2)x的值为10。
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$，即$5 ＜ x ＜ 11$。
(2)三角形周长为$3 + 8 + x = 11 + x$，因为周长是大于20的正整数，所以$11 + x ＞ 20$，解得$x ＞ 9$。
又由(1)知$5 ＜ x ＜ 11$，且$x$为整数，所以$x$的值为10。
综上，(1)x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 11$；(2)x的值为10。
1. (2025昆明期末)下列各组线段中，能组成三角形的是().
A.2，5，7
B.4，4，8
C.4，5，6
D.4，5，10
A.2，5，7
B.4，4，8
C.4，5，6
D.4，5，10
答案
C
解析
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
A. $2 + 5 = 7$，不满足，不能组成三角形；
B. $4 + 4 = 8$，不满足，不能组成三角形；
C. $4 + 5 ＞ 6$，$4 + 6 ＞ 5$，$5 + 6 ＞ 4$，满足，能组成三角形；
D. $4 + 5 ＜ 10$，不满足，不能组成三角形。
A. $2 + 5 = 7$，不满足，不能组成三角形；
B. $4 + 4 = 8$，不满足，不能组成三角形；
C. $4 + 5 ＞ 6$，$4 + 6 ＞ 5$，$5 + 6 ＞ 4$，满足，能组成三角形；
D. $4 + 5 ＜ 10$，不满足，不能组成三角形。
2. (2025云大附中期中)如图是折叠凳及其侧面示意图. 若AC = BC = 18 cm，则折叠凳的宽AB可能为().
A.70 cm
B.55 cm
C.40 cm
D.25 cm
A.70 cm
B.55 cm
C.40 cm
D.25 cm
答案
D
解析
根据题意，三角形$ABC$中，$AC=BC=18 cm$。
根据三角形两边之和大于第三边的性质，有：
$AC+BC＞AB$，
即：$18+18＞AB$，
$36＞AB$。
根据三角形两边之差小于第三边的性质，有：
$|AC-BC|＜AB$，
即：$|18-18|＜AB$，
$0＜AB$，
由于$AC$和$BC$长度相等，三角形$ABC$为等腰三角形，
因此$AB$的长度应小于$36 cm$且大于$0 cm$，但$AB$不可能接近$0 cm$，
结合选项，只有$25 cm$在合理范围内。
根据三角形两边之和大于第三边的性质，有：
$AC+BC＞AB$，
即：$18+18＞AB$，
$36＞AB$。
根据三角形两边之差小于第三边的性质，有：
$|AC-BC|＜AB$，
即：$|18-18|＜AB$，
$0＜AB$，
由于$AC$和$BC$长度相等，三角形$ABC$为等腰三角形，
因此$AB$的长度应小于$36 cm$且大于$0 cm$，但$AB$不可能接近$0 cm$，
结合选项，只有$25 cm$在合理范围内。
3. (2025大理期末)已知△ABC的三边长分别为6，5，x，则x的取值范围是.
答案
$1＜x＜11$
解析
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
在$\triangle ABC$中，三边长分别为$6$，$5$，$x$。
则$6 + 5＞x$，即$x＜11$；
$6 + x＞5$，即$x＞- 1$（边长不能为负，此式主要结合实际情况取有效部分）；
$5 + x＞6$，即$x＞6 - 5$，$x ＞ 1$。
综合可得$1＜x＜11$。
在$\triangle ABC$中，三边长分别为$6$，$5$，$x$。
则$6 + 5＞x$，即$x＜11$；
$6 + x＞5$，即$x＞- 1$（边长不能为负，此式主要结合实际情况取有效部分）；
$5 + x＞6$，即$x＞6 - 5$，$x ＞ 1$。
综合可得$1＜x＜11$。
4. (2025昆明期末)如图是北盘江大桥的示意图，该桥跨越云南和贵州交界的尼珠河大峡谷，全长1 341.4 m，桥面至江面的距离为565.4 m，差不多相当于200层楼的高度，相对高度和桥梁跨度均属世界罕见. 主桥采用双塔双索面钢桁梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的道理是.
答案
三角形具有稳定性
解析
三角形具有稳定性，斜拉桥的结构中包含多个三角形，利用三角形的稳定性使桥梁结构稳固。
5. 如图，人字梯中间一般会设计横“拉杆”，这样做的依据是.
答案
三角形具有稳定性
解析
人字梯中间设计横“拉杆”是为了形成三角形结构。因为三角形具有稳定性，能够使梯子更牢固，使用时不易变形或散开，保证了使用时的安全性。
6. 现有2 cm，3 cm，5 cm，6 cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对从四根木棒中任选三根的所有情况进行逐一分析：
情况一：$2cm$，$3cm$，$5cm$。
因为$2 + 3 = 5$，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能组成三角形。
情况二：$2cm$，$3cm$，$6cm$。
由于$2 + 3 = 5\lt 6$，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能组成三角形。
情况三：$2cm$，$5cm$，$6cm$。
此时$2 + 5 = 7\gt 6$，$5 + 6 = 11\gt 2$，$2 + 6 = 8\gt 5$；同时$6 - 5 = 1\lt 2$，$6 - 2 = 4\lt 5$，$5 - 2 = 3\lt 6$，满足三边关系，可以组成三角形。
情况四：$3cm$，$5cm$，$6cm$。
因为$3 + 5 = 8\gt 6$，$3 + 6 = 9\gt 5$，$5 + 6 = 11\gt 3$；且$6 - 5 = 1\lt 3$，$6 - 3 = 3\lt 5$，$5 - 3 = 2\lt 6$，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的有$2$种情况。
情况一：$2cm$，$3cm$，$5cm$。
因为$2 + 3 = 5$，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能组成三角形。
情况二：$2cm$，$3cm$，$6cm$。
由于$2 + 3 = 5\lt 6$，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能组成三角形。
情况三：$2cm$，$5cm$，$6cm$。
此时$2 + 5 = 7\gt 6$，$5 + 6 = 11\gt 2$，$2 + 6 = 8\gt 5$；同时$6 - 5 = 1\lt 2$，$6 - 2 = 4\lt 5$，$5 - 2 = 3\lt 6$，满足三边关系，可以组成三角形。
情况四：$3cm$，$5cm$，$6cm$。
因为$3 + 5 = 8\gt 6$，$3 + 6 = 9\gt 5$，$5 + 6 = 11\gt 3$；且$6 - 5 = 1\lt 3$，$6 - 3 = 3\lt 5$，$5 - 3 = 2\lt 6$，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的有$2$种情况。
7. 已知△ABC的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为.
答案
12
解析
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ x ＜ 7$。因为第三边长为整数且为奇数，所以$x=5$。则三角形周长为$2 + 5 + 5 = 12$。
8. 如图是一个由七根长度相等的木条钉成的七边形木框. 为使其稳定，用四根木条(长短不限)将这个木框固定，使其不变形，请你设计出三种方案.
答案
方案一：从七边形的一个顶点出发，连接与它不相邻的四个顶点，形成四条对角线，将七边形分割成五个三角形。
方案二：从七边形的另一个不同顶点出发，连接与它不相邻的四个顶点，形成四条对角线，将七边形分割成五个三角形。
方案三：连接七边形中不共顶点的四条对角线（如连接相隔一个顶点的顶点），使七边形被分割成多个三角形。
方案二：从七边形的另一个不同顶点出发，连接与它不相邻的四个顶点，形成四条对角线，将七边形分割成五个三角形。
方案三：连接七边形中不共顶点的四条对角线（如连接相隔一个顶点的顶点），使七边形被分割成多个三角形。
