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1. 三角形的三边关系
三角形两边的和第三边，三角形两边的差第三边.
三角形两边的和第三边，三角形两边的差第三边.
答案
大于；小于
解析
根据三角形三边关系定理，三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
2. 三角形的稳定性
三角形是具有的图形，而四边形没有.
三角形是具有的图形，而四边形没有.
答案
稳定性；稳定性
解析
根据三角形和四边形的基本性质，三角形具有稳定性，即三角形的形状在三条边长度确定后是唯一的，不会发生形变。而四边形则不具有这种稳定性，其形状在四条边长度确定后仍然可以发生形变。
【例1】某工艺店打算制作一批两边长分别是7 dm，3 dm，第三边长为奇数(单位：dm)的不同规格的三角形木框.
(1)可以制作满足上述条件的三角形木框共种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/dm，至少需要多少钱购买材料(忽略接头)?
(1)可以制作满足上述条件的三角形木框共种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/dm，至少需要多少钱购买材料(忽略接头)?
答案
(1)
设第三边长为$x$ $dm$，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$7 - 3\lt x\lt 7 + 3$，即$4\lt x\lt 10$。
因为第三边长为奇数，所以$x$可以取$5$，$7$，$9$，共$3$种。
(2)
三角形的周长为三边长度之和，三种规格三角形周长分别为：
当$x = 5$时，周长$C_1=7 + 3+5 = 15$ $dm$；
当$x = 7$时，周长$C_2=7 + 3+7 = 17$ $dm$；
当$x = 9$时，周长$C_3=7 + 3+9 = 19$ $dm$。
总长度$C = C_1+C_2+C_3=15 + 17+19 = 51$ $dm$。
已知木条售价为$8$元$/dm$，则至少需要$51×8 = 408$元。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$408$元。
设第三边长为$x$ $dm$，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$7 - 3\lt x\lt 7 + 3$，即$4\lt x\lt 10$。
因为第三边长为奇数，所以$x$可以取$5$，$7$，$9$，共$3$种。
(2)
三角形的周长为三边长度之和，三种规格三角形周长分别为：
当$x = 5$时，周长$C_1=7 + 3+5 = 15$ $dm$；
当$x = 7$时，周长$C_2=7 + 3+7 = 17$ $dm$；
当$x = 9$时，周长$C_3=7 + 3+9 = 19$ $dm$。
总长度$C = C_1+C_2+C_3=15 + 17+19 = 51$ $dm$。
已知木条售价为$8$元$/dm$，则至少需要$51×8 = 408$元。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$408$元。
【变式1】已知三角形的三边长分别为2，a - 4，4，化简|a - 3| + |a - 11|的结果是.
答案
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得：
$4 - 2 \lt a - 4 \lt 4 + 2$，
即：
$2 \lt a - 4 \lt 6$，
进一步得到：
$6 \lt a \lt 10$，
在这个范围内，$a - 3 \gt 0$，$a - 11 \lt 0$，
所以：
$|a - 3| + |a - 11|$
$ = (a - 3) - (a - 11)$
$ = a - 3 - a + 11$
$ = 8$
故答案为：8。
$4 - 2 \lt a - 4 \lt 4 + 2$，
即：
$2 \lt a - 4 \lt 6$，
进一步得到：
$6 \lt a \lt 10$，
在这个范围内，$a - 3 \gt 0$，$a - 11 \lt 0$，
所以：
$|a - 3| + |a - 11|$
$ = (a - 3) - (a - 11)$
$ = a - 3 - a + 11$
$ = 8$
故答案为：8。
【例2】同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是().
答案
D
解析
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。A选项自行车车架、B选项起重机吊臂、C选项三脚架均构成三角形结构，运用了三角形的稳定性；D选项伸缩门是由多个四边形组成，利用了四边形的不稳定性。
【变式2】下列图形中有稳定性的是().
答案
D
解析
三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则该图形有稳定性。
A选项是由四个四边形组成，四边形没有稳定性；
B选项是一个四边形和一个三角形，虽然有三角形但整体是四边形和三角形组合，整体不具有稳定性（题目要求图形整体有稳定性，这里指整体图形分解后全部是三角形的情况）；
C选项是一个梯形，梯形没有稳定性；
D选项是一个四边形内部有一个三角形边（对角线），可以看作两个三角形，具有稳定性。
A选项是由四个四边形组成，四边形没有稳定性；
B选项是一个四边形和一个三角形，虽然有三角形但整体是四边形和三角形组合，整体不具有稳定性（题目要求图形整体有稳定性，这里指整体图形分解后全部是三角形的情况）；
C选项是一个梯形，梯形没有稳定性；
D选项是一个四边形内部有一个三角形边（对角线），可以看作两个三角形，具有稳定性。
1. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是().
A.2 cm，3 cm，4 cm
B.3 cm，6 cm，6 cm
C.2 cm，4 cm，6 cm
D.5 cm，6 cm，7 cm
A.2 cm，3 cm，4 cm
B.3 cm，6 cm，6 cm
C.2 cm，4 cm，6 cm
D.5 cm，6 cm，7 cm
答案
C
解析
要判断三条线段能否构成三角形，需验证任意两边之和是否大于第三边。
选项A：2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3，均成立，能组成三角形。
选项B：3+6＞6，6+6＞3，3+6＞6，均成立，能组成三角形。
选项C：2+4=6，不满足严格大于，不能组成三角形。
选项D：5+6＞7，6+7＞5，5+7＞6，均成立，能组成三角形。
选项A：2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3，均成立，能组成三角形。
选项B：3+6＞6，6+6＞3，3+6＞6，均成立，能组成三角形。
选项C：2+4=6，不满足严格大于，不能组成三角形。
选项D：5+6＞7，6+7＞5，5+7＞6，均成立，能组成三角形。
2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是.
答案
三角形的稳定性
解析
根据三角形的性质，用窗钩AB后，窗框、窗钩和窗户的一边构成了一个三角形。三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度固定时，三角形的形状和大小就固定不变了，所以可以用窗钩AB将窗户固定。
3. 在△ABC中，AB = 8，BC = 2，则AC的长可能为.(只写一个)
答案
7
解析
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。AB=8，BC=2，所以8-2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10，AC的长可能为7（答案不唯一，6到10之间的任意数均可）。
