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1. 下列式子中，是分式的是().
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{x + 1}{3}$
D.$x + y$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{x + 1}{3}$
D.$x + y$
答案
B
解析
分式的定义是分母中含有字母的式子，对选项逐一分析：
选项A：$\frac{1}{3}$分母是$3$，不含有字母，不是分式。
选项B：$\frac{3}{x}$分母是$x$，含有字母，是分式。
选项C：$\frac{x + 1}{3}$分母是$3$，不含有字母，不是分式。
选项D：$x + y$是多项式，不是分式。
选项A：$\frac{1}{3}$分母是$3$，不含有字母，不是分式。
选项B：$\frac{3}{x}$分母是$x$，含有字母，是分式。
选项C：$\frac{x + 1}{3}$分母是$3$，不含有字母，不是分式。
选项D：$x + y$是多项式，不是分式。
2. 若分式$\frac{x}{x - 1}$有意义，则 $x$ 应满足的条件是().
A.$x \neq 0$
B.$x \neq 1$
C.$x ＞ 1$
D.$x ＜ 1$
A.$x \neq 0$
B.$x \neq 1$
C.$x ＞ 1$
D.$x ＜ 1$
答案
B
解析
分式有意义的条件是分母不为0。对于分式$\frac{x}{x - 1}$，分母为$x - 1$，所以$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
3. 若分式$\frac{x - 2}{x + 2}$的值为 $0$，则 $x$ 的值为().
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$-1$ 或 $2$
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$-1$ 或 $2$
答案
C
解析
要使分式$\frac{x - 2}{x + 2}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；分母$x + 2 \neq 0$，即$x \neq -2$。所以$x = 2$。
4. 若把分式$\frac{5x + y}{x + y}$中 $x$，$y$ 都扩大 $3$ 倍，则分式的值().
A.扩大到原来的 $3$ 倍
B.不变
C.扩大到原来的 $9$ 倍
D.缩小到原来的 $\frac{1}{6}$
A.扩大到原来的 $3$ 倍
B.不变
C.扩大到原来的 $9$ 倍
D.缩小到原来的 $\frac{1}{6}$
答案
B
解析
将 $x$ 和 $y$ 都扩大 $3$ 倍，即用 $3x$ 和 $3y$ 代替原分式中的 $x$ 和 $y$，得到新分式：
$\frac{5(3x) + 3y}{3x + 3y} = \frac{15x + 3y}{3x + 3y} = \frac{3(5x + y)}{3(x + y)} = \frac{5x + y}{x + y}$
新分式与原分式相同，因此分式的值不变。
5. 若将分式$\frac{3x^{2}}{x^{2} - y^{2}}$与分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为 $2(x - y)(x + y)$，则分式$\frac{3x^{2}}{x^{2} - y^{2}}$的分子应变为().
A.$6x^{2}(x - y)^{2}$
B.$2(x - y)$
C.$6x^{2}$
D.$6x^{3}$
A.$6x^{2}(x - y)^{2}$
B.$2(x - y)$
C.$6x^{2}$
D.$6x^{3}$
答案
C
解析
先对分母进行因式分解，$x^2 - y^2=(x - y)(x + y)$，所以分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母为$(x - y)(x + y)$。通分后分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为$2(x - y)(x + y)$，可知最简公分母是$2(x - y)(x + y)$。原分式$\frac{3x^2}{(x - y)(x + y)}$的分母要变为最简公分母，需乘以$2$，根据分式的基本性质，分子也应乘以$2$，即$3x^2×2 = 6x^2$。
6. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$，则代数式$\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab}$的值为().
A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-1$
A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-1$
答案
C
解析
因为$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，设$a = 2k$，$b = 3k$（$k≠0$）。
$\begin{aligned}\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab}&=\frac{(a - b)^2}{a(a - b)}\\&=\frac{a - b}{a}\\&=\frac{2k - 3k}{2k}\\&=\frac{-k}{2k}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab}&=\frac{(a - b)^2}{a(a - b)}\\&=\frac{a - b}{a}\\&=\frac{2k - 3k}{2k}\\&=\frac{-k}{2k}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
7. 如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是().
A.$\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y}$
B.$\frac{x + y}{x^{2} + 2xy + y^{2}}$
C.$\frac{4x + 2y}{x^{2} - 4y^{2}}$
D.$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{2x - 2y}$
A.$\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y}$
B.$\frac{x + y}{x^{2} + 2xy + y^{2}}$
C.$\frac{4x + 2y}{x^{2} - 4y^{2}}$
D.$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{2x - 2y}$
答案
C
解析
选项A：分子$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，分母$x - y$，可约分为$x + y$，不是和谐分式；
选项B：分母$x^2 + 2xy + y^2=(x + y)^2$，分子$x + y$，可约分为$\frac{1}{x + y}$，不是和谐分式；
选项C：分子$4x + 2y=2(2x + y)$，分母$x^2 - 4y^2=(x + 2y)(x - 2y)$，分子分母无公因式，不可约分，是和谐分式；
选项D：分子$x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2$，分母$2x - 2y=2(x - y)$，可约分为$\frac{x - y}{2}$，不是和谐分式。
选项B：分母$x^2 + 2xy + y^2=(x + y)^2$，分子$x + y$，可约分为$\frac{1}{x + y}$，不是和谐分式；
选项C：分子$4x + 2y=2(2x + y)$，分母$x^2 - 4y^2=(x + 2y)(x - 2y)$，分子分母无公因式，不可约分，是和谐分式；
选项D：分子$x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2$，分母$2x - 2y=2(x - y)$，可约分为$\frac{x - y}{2}$，不是和谐分式。
8. 在下列各式中：①$(\frac{-2n}{a^{2}b})^{2}$；②$-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{2}b}$；③$\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b} · \frac{bm^{2}}{4n^{2}}$；④$\frac{4n^{2}}{ab^{2}} ÷ a^{3}$，相等的两个式子是().
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
答案
B
解析
①$(\frac{-2n}{a^{2}b})^{2} = \frac{4n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
②$-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{2}b}$；
③计算$\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b} · \frac{bm^{2}}{4n^{2}} = \frac{8m^{4}n^{2} · bm^{2}}{a^{5}b · 4n^{2}} = \frac{8m^{6}n^{2}b}{4a^{5}bn^{2}} = \frac{2m^{6}}{a^{5}}$；
④计算$\frac{4n^{2}}{ab^{2}} ÷ a^{3} = \frac{4n^{2}}{ab^{2}} · \frac{1}{a^{3}} = \frac{4n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
通过计算可知①和④的结果均为$\frac{4n^{2}}{a^{4}b^{2}}$，故①④相等。
②$-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{2}b}$；
③计算$\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b} · \frac{bm^{2}}{4n^{2}} = \frac{8m^{4}n^{2} · bm^{2}}{a^{5}b · 4n^{2}} = \frac{8m^{6}n^{2}b}{4a^{5}bn^{2}} = \frac{2m^{6}}{a^{5}}$；
④计算$\frac{4n^{2}}{ab^{2}} ÷ a^{3} = \frac{4n^{2}}{ab^{2}} · \frac{1}{a^{3}} = \frac{4n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
通过计算可知①和④的结果均为$\frac{4n^{2}}{a^{4}b^{2}}$，故①④相等。
9. 要使分式$\frac{x - 5}{2x - 3}$有意义，则 $x$ 的取值范围是.
答案
$x \neq \frac{3}{2}$
解析
要使分式$\frac{x - 5}{2x - 3}$有意义，分母不能为0，即$2x - 3 \neq 0$，解得$x \neq \frac{3}{2}$。
10. 分式$\frac{|x| - 4}{x^{2} - 8x + 16}$的值为 $0$，则 $x$ 的值为.
答案
-4
解析
要使分式的值为0，则分子为0且分母不为0。
分子：$|x| - 4 = 0$，解得$x = ±4$。
分母：$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，分母不为0，即$(x - 4)^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。
综上，$x = -4$。
分子：$|x| - 4 = 0$，解得$x = ±4$。
分母：$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，分母不为0，即$(x - 4)^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。
综上，$x = -4$。
11. 不改变分式$\frac{0.02x + 3}{0.5x - 4}$的值，把它的分子、分母中各项的系数都变为整数，则所得的结果为.
答案
$\frac{2x + 300}{50x - 400}$（或写成$\frac{2x+300}{50x-400}$） (根据题目要求填写具体形式，这里以分数表达式为准)
解析
为了不改变分式的值，将分子和分母同时乘以100（因为分母和分子中的小数最多有两位，乘以100可以消去小数点）。
$\frac{0.02x + 3}{0.5x - 4} = \frac{(0.02x + 3) × 100}{(0.5x - 4) × 100} = \frac{2x + 300}{50x - 400}$。
$\frac{0.02x + 3}{0.5x - 4} = \frac{(0.02x + 3) × 100}{(0.5x - 4) × 100} = \frac{2x + 300}{50x - 400}$。
12. 计算$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4x + 4} ÷ (x - 1) · \frac{x + 2}{x + 1}$，结果为.
答案
$\frac{1}{x+2}$
解析
原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} ÷ (x - 1) · \frac{x + 2}{x + 1}$
=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x + 2}{x + 1}$
=$\frac{1}{x+2}$
=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x + 2}{x + 1}$
=$\frac{1}{x+2}$
13. 当 $m$，$x$，$a$ 取什么数时，下列分式有意义？当 $m$，$x$，$a$ 取什么数时，分式的值为 $0$？
(1)$\frac{m - 2}{m^{2}}$；(2)$\frac{4x}{x^{2} + 3}$；(3)$\frac{2a - 4}{a - 2}$.
(1)$\frac{m - 2}{m^{2}}$；(2)$\frac{4x}{x^{2} + 3}$；(3)$\frac{2a - 4}{a - 2}$.
答案
(1)
分式有意义：$m^{2} \neq 0$，即$m \neq 0$；
分式的值为$0$：$m - 2 = 0$且$m^{2} \neq 0$，解得$m = 2$（$m = 0$舍去），即$m = 2$。
(2)
分式有意义：$x^{2} + 3 \neq 0$，因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 3 \gt 0$恒成立，$x$取任意实数；
分式的值为$0$：$4x = 0$且$x^{2} + 3 \neq 0$，解得$x = 0$。
(3)
分式有意义：$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 2$；
分式的值为$0$：$2a - 4 = 0$且$a - 2 \neq 0$，由$2a - 4 = 0$得$a = 2$，但$a - 2 \neq 0$即$a\neq2$，两者不能同时满足，所以此分式值不能为$0$。
综上：
(1)分式有意义时$m \neq 0$；分式值为$0$时$m = 2$。
(2)分式有意义时$x$取任意实数；分式值为$0$时$x = 0$。
(3)分式有意义时$a \neq 2$；分式值不能为$0$。
分式有意义：$m^{2} \neq 0$，即$m \neq 0$；
分式的值为$0$：$m - 2 = 0$且$m^{2} \neq 0$，解得$m = 2$（$m = 0$舍去），即$m = 2$。
(2)
分式有意义：$x^{2} + 3 \neq 0$，因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 3 \gt 0$恒成立，$x$取任意实数；
分式的值为$0$：$4x = 0$且$x^{2} + 3 \neq 0$，解得$x = 0$。
(3)
分式有意义：$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 2$；
分式的值为$0$：$2a - 4 = 0$且$a - 2 \neq 0$，由$2a - 4 = 0$得$a = 2$，但$a - 2 \neq 0$即$a\neq2$，两者不能同时满足，所以此分式值不能为$0$。
综上：
(1)分式有意义时$m \neq 0$；分式值为$0$时$m = 2$。
(2)分式有意义时$x$取任意实数；分式值为$0$时$x = 0$。
(3)分式有意义时$a \neq 2$；分式值不能为$0$。
