17. (★★)如图28.1 - 27,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠B的正切值是。

1/2

连接AC，由网格特点得AC=√[(1-0)²+(3-2)²]=√2，BC=√[(3-0)²+(1-2)²]=√10，AB=√[(3-1)²+(1-3)²]=2√2。因为AC²+AB²=(√2)²+(2√2)²=2+8=10=BC²，所以∠BAC=90°。在Rt△ABC中，tan∠B=AC/AB=√2/(2√2)=1/2。

18. (★★)如图28.1 - 28,在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC,AC,AB三边的长分别为a,b,c,则$\sin A= \frac{a}{c}$,$\cos A= \frac{b}{c}$,$\tan A= \frac{a}{b}$。如果取∠A = 60°,我们不难发现：$\sin^{2}60°+\cos^{2}60° = 1……试探求\sin A$,$\cos A$,$\tan A$之间存在的一般关系,并说明理由。

在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$。
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
1. $\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$
证明：
$\sin^{2}A+\cos^{2}A=\left(\frac{a}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} = 1$。
2. $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
证明：
$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}×\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan A$
综上，$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$，$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$。

19. (★★)(2022·荆州)如图28.1 - 29,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC : BC = 1 : 2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于点P。若P的坐标为(1,1),则$\tan∠OAP$的值是【】

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3

C

设点A坐标为$(a,0)$（$a＜0$），点B坐标为$(0,b)$（$b＞0$）。
∵$OC:BC=1:2$，$OB=b$，∴$OC=\frac{b}{3}$，则点C坐标为$(0,\frac{b}{3})$。
∵$OP// AB$，$P(1,1)$，$O(0,0)$，∴直线$OP$斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$，故直线$AB$斜率也为1。
直线$AB$斜率：$\frac{b-0}{0-a}=\frac{b}{-a}=1$，得$b=-a$。
∵A、C、P三点共线，直线$AC$斜率等于直线$CP$斜率。
直线$AC$斜率：$\frac{\frac{b}{3}-0}{0-a}=-\frac{b}{3a}$；直线$CP$斜率：$\frac{1-\frac{b}{3}}{1-0}=1-\frac{b}{3}$。
由$b=-a$，代入得：$-\frac{-a}{3a}=1-\frac{-a}{3}$，即$\frac{1}{3}=1+\frac{a}{3}$，解得$a=-2$。
∴点A坐标$(-2,0)$，直线$AP$斜率为$\frac{1-0}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$，即$\tan\angle OAP=\frac{1}{3}$。

20. (★★★)(2023·广元)如图28.1 - 30,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,- 3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC,若$\tan∠ABC= \frac{1}{3}$,则点C的坐标为。

(9/4,0)

设点C的坐标为(c,0)，其中c＞1。
∵点A(1,0)，B(0,-3)，
∴向量BA=(1,3)，向量BC=(c,3)。
tan∠ABC=|BA×BC|/(BA·BC)=[3(c-1)]/(c+9)=1/3。
解方程：3(c-1)/(c+9)=1/3，得9(c-1)=c+9，8c=18，c=9/4。
故点C的坐标为(9/4,0)。