20. (★)(2024·深圳)一元二次方程 $ x^{2} - 4x + a = 0 $ 的一个解为 $ x = 1 $,则 $ a $ = .

3

将 $ x = 1 $ 代入方程 $ x^{2} - 4x + a = 0 $，得 $ 1^{2} - 4 × 1 + a = 0 $，即 $ 1 - 4 + a = 0 $，解得 $ a = 3 $。

21. (★)(2024·南昌模拟)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (4 - a)x^{2} + a^{2}x = 16x + 1 $ 化为一般形式后不含一次项,则 $ a $ 的值为【】
A.0
B.$ \pm 4 $
C.4
D.- 4

D

首先将方程 $(4 - a)x^{2} + a^{2}x = 16x + 1$ 化为一般形式：
$(4 - a)x^{2} + (a^{2} - 16)x - 1 = 0$。
根据题意，方程不含一次项，因此一次项系数为0，即：
$a^{2} - 16 = 0$，
解得：
$a = \pm 4$。
然后需要保证二次项系数不为0，即：
$4 - a \neq 0$，
所以 $a \neq 4$，因此 $a = -4$（或者$a = -4$ 舍去$a = 4$的情况）。

1. ($★$)如果$x^{2}= 4$,那么$x= $.

$\pm 2$

根据平方根的定义，若$x^{2} = 4$，那么$x$是$4$的平方根。
因为$(\pm 2)^{2}=4$，所以$x = \pm 2$。

2. ($★$)如果$(2x - 1)^{2}= 9$,那么$2x - 1= $或$2x - 1= $.

$3$，$-3$

根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数叫做$a$的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
已知$(2x - 1)^{2}= 9$，那么$2x - 1$是$9$的平方根，所以$2x - 1=\pm3$，即$2x - 1 = 3$或$2x - 1 = - 3$。

3. ($★$)$x^{2}+4x+$$=(x + 2)^{2}$.

$4$

根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab+b^2$，在$x^{2}+4x+\underline{\quad}=(x + 2)^{2}$中，$a = x$，$b = 2$，$(x + 2)^{2}=x^{2}+2×2x+2^{2}=x^{2}+4x + 4$，所以横线处应填$4$。

4. ($★$)一般地,对于方程$x^{2}= p$：
(1)当$p＞0$时,根据的意义,此方程有的实数根$x_{1}= $,$x_{2}= $；
(2)当$p = 0$时,此方程有的实数根$x_{1}= x_{2}= $；
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^{2}\geq0$,所以此方程实数根.

(1)平方根；两个不等；$\sqrt{p}$； $- \sqrt{p}$；
(2)两个相等；0；
(3)没有。

（1）对于方程 $x^2 = p$，当 $p ＞ 0$ 时，根据平方根的定义，方程有两个实数根，分别为 $x = \sqrt{p}$ 和 $x = -\sqrt{p}$。
（2）当 $p = 0$ 时，方程变为 $x^2 = 0$，此时方程有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = 0$。
（3）当 $p ＜ 0$ 时，由于对于任意实数 $x$，都有 $x^2 \geq 0$，而$p ＜ 0$， 所以方程 $x^2 = p$ 不成立，即此方程没有实数根。

5. ($★$)填空：
(1)$x^{2}+6x+9= (x+$$)^{2}$；
(2)$x^{2}-8x+16= (x-$$)^{2}$；
(3)$9x^{2}+6x+1= ($$)^{2}$.

(1)3；(2)4；(3)3x+1

(1) $x^{2}+6x+9$，一次项系数为6，一半是3，平方是9，所以$x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$，填3；
(2) $x^{2}-8x+16$，一次项系数为-8，一半是-4，平方是16，所以$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$，填4；
(3) $9x^{2}+6x+1=(3x)^{2}+2×3x×1+1^{2}=(3x+1)^{2}$，填$3x+1$。

6. ($★$)方程$x^{2}-9= 0$的解是【】

A.$x_{1}= x_{2}= 3$
B.$x_{1}= x_{2}= 9$
C.$x_{1}= 3$,$x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 9$,$x_{2}= -9$

C

首先将方程 $x^{2} - 9 = 0$ 移项得 $x^{2} = 9$。
根据平方根的定义，$x = \pm \sqrt{9}$，即 $x = \pm 3$。
因此方程的解为 $x_1 = 3$，$x_2 = -3$。

7. ($★$)解方程$(x - 3)^{2}= 8$所得的根为【】
A.$x= 3 - 2\sqrt{2}$
B.$x= 3 + 2\sqrt{2}$
C.$x_{1}= 3 + 2\sqrt{2}$,$x_{2}= 3 - 2\sqrt{2}$
D.$x_{1}= 3 + 2\sqrt{3}$,$x_{2}= 3 - 2\sqrt{3}$

C

给定方程为$(x - 3)^{2} = 8$，
对方程两边同时开平方，得到$x - 3 = \pm \sqrt{8}$，
由于$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，
所以$x - 3 = \pm 2\sqrt{2}$，
分别解出$x$的两个值，
当$x - 3 = 2\sqrt{2}$时，$x = 3 + 2\sqrt{2}$，
当$x - 3 = -2\sqrt{2}$时，$x = 3 - 2\sqrt{2}$，
所以，方程的解为$x_{1} = 3 + 2\sqrt{2}$，$x_{2} = 3 - 2\sqrt{2}$。

8. ($★$)解下列方程：
(1)$5x^{2}-20= 0$；
(2)$(x - 5)^{2}= 3$；
(3)$2(x + 2)^{2}-3= 0$；
(4)$4x^{2}-4x+1= 9$.

(1) $5x^{2}-20=0$
移项得 $5x^{2}=20$，
两边同除以5得 $x^{2}=4$，
开平方得 $x=\pm2$，
即 $x_{1}=2$，$x_{2}=-2$。
(2) $(x - 5)^{2}= 3$
开平方得 $x-5=\pm\sqrt{3}$，
解得 $x=5\pm\sqrt{3}$，
即 $x_{1}=5+\sqrt{3}$，$x_{2}=5-\sqrt{3}$。
(3) $2(x + 2)^{2}-3= 0$
移项得 $2(x+2)^{2}=3$，
两边同除以2得 $(x+2)^{2}=\frac{3}{2}$，
开平方得 $x+2=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得 $x=-2\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_{1}=-2+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=-2-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4) $4x^{2}-4x+1= 9$
左边配方得 $(2x-1)^{2}=9$，
开平方得 $2x-1=\pm3$，
当 $2x-1=3$ 时，$2x=4$，$x=2$；
当 $2x-1=-3$ 时，$2x=-2$，$x=-1$，
即 $x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。