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9. (★★)把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:
(1)$ 5x = 1 - x^{2} $;
(2)$ (x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15 $.
(1)$ 5x = 1 - x^{2} $;
(2)$ (x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15 $.
答案
(1) 解：
原方程 $5x = 1 - x^{2}$，
移项得 $x^{2} + 5x - 1 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $5$，常数项为 $-1$。
(2) 解：
原方程 $(x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15$，
展开得 $x^{2} + 2x + 1 + 2x + 2 = 15$，
合并同类项得 $x^{2} + 4x - 12 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $4$，常数项为 $-12$。
原方程 $5x = 1 - x^{2}$，
移项得 $x^{2} + 5x - 1 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $5$，常数项为 $-1$。
(2) 解：
原方程 $(x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15$，
展开得 $x^{2} + 2x + 1 + 2x + 2 = 15$，
合并同类项得 $x^{2} + 4x - 12 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $4$，常数项为 $-12$。
10. (★)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0 $ 有一个根为 $ x = 0 $,则 $ a = $______.
答案
-1
解析
将$x=0$代入方程$(a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0$，得$a^{2}-1=0$，解得$a=\pm1$。又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$，故$a=-1$。
11. (★)若关于 $ x $ 的方程 $ (m + 2)x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是【
A.$ m \neq 0 $
B.$ m ＞ - 2 $
C.$ m \neq - 2 $
D.$ m ＞ 0 $
C
】A.$ m \neq 0 $
B.$ m ＞ - 2 $
C.$ m \neq - 2 $
D.$ m ＞ 0 $
答案
C
解析
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。在方程$(m + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$中，二次项系数为$m + 2$。要使该方程为一元二次方程，二次项系数不能为$0$，即$m + 2 \neq 0$，解得$m \neq -2$。
12. (★★)已知方程 $ (a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ a $ 的值为______.
答案
4
解析
根据题意，方程 $(a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0$ 是一元二次方程，因此 $x$ 的最高次数为 $2$，且二次项系数不能为 $0$。
首先，最高次数条件：$|a| - 2 = 2$，解得 $|a| = 4$，即 $a = 4$ 或 $a = -4$。
其次，二次项系数条件：$a + 4 \neq 0$，即 $a \neq -4$。
综合以上，$a = 4$。
首先，最高次数条件：$|a| - 2 = 2$，解得 $|a| = 4$，即 $a = 4$ 或 $a = -4$。
其次，二次项系数条件：$a + 4 \neq 0$，即 $a \neq -4$。
综合以上，$a = 4$。
13. (★)方程 $ 2x^{2} = 3(x - 6) $ 化为一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项分别为【
A.$ 2,-3,6 $
B.$ 2,-3,18 $
C.$ 2,-3,-6 $
D.$ 2,3,6 $
B
】A.$ 2,-3,6 $
B.$ 2,-3,18 $
C.$ 2,-3,-6 $
D.$ 2,3,6 $
答案
B
解析
将方程 $2x^2 = 3(x - 6)$ 展开并整理为一般形式：
$2x^2 = 3x - 18$
$2x^2 - 3x + 18 = 0$
因此，二次项系数为 $2$，一次项系数为 $-3$，常数项为 $18$。
$2x^2 = 3x - 18$
$2x^2 - 3x + 18 = 0$
因此，二次项系数为 $2$，一次项系数为 $-3$，常数项为 $18$。
14. (★★)一元二次方程 $ (3m + 6)x^{2} + 4x + m^{2} - 4 = 0 $ 的常数项是 $ 0 $,那么 $ m $ 的值为【 】
A.- 2
B.2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $
A.- 2
B.2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $
答案
B
解析
根据题意，常数项为 $m^{2}-4$，且常数项等于 $0$，故有：
$m^{2}-4=0$
解得：$m^{2}=4$，$m=\pm2$。
又因为一元二次方程二次项系数 $3m+6 \neq 0$，即 $m \neq -2$，所以 $m=2$。
15. (★★)若方程 $ 2x^{2} + mx = 3x + 2 $ 中不含 $ x $ 的一次项,则 $ m $ 的值为______.
答案
3
解析
首先将方程 $2x^2 + mx = 3x + 2$ 整理成标准形式，
移项得到：$2x^2 + mx - 3x - 2 = 0$，
合并同类项：$2x^2 + (m - 3)x - 2 = 0$。
由于方程中不含 $x$ 的一次项，所以一次项系数 $m - 3$ 必须为 $0$，
即：$m - 3 = 0$，
解得：$m = 3$。
移项得到：$2x^2 + mx - 3x - 2 = 0$，
合并同类项：$2x^2 + (m - 3)x - 2 = 0$。
由于方程中不含 $x$ 的一次项，所以一次项系数 $m - 3$ 必须为 $0$，
即：$m - 3 = 0$，
解得：$m = 3$。
16. (★)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - kx - 6 = 0 $ 的一个根为 $ x = 3 $,则实数 $ k $ 的值是【
A.1
B.- 1
C.2
D.- 2
A
】A.1
B.- 1
C.2
D.- 2
答案
A
解析
将 $x=3$ 代入方程 $x^2 - kx - 6 = 0$ 中，得 $3^2 - 3k - 6 = 0$，即 $9 - 3k - 6 = 0$，化简得 $3 - 3k = 0$，解得 $k=1$。
17. (★★)根据下面表格中的对应值,判断一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 2 = 0 $ 的解的取值范围是【
A.$ 0 ＜ x ＜ 0.5 $,或 $ 3.5 ＜ x ＜ 4 $
B.$ 0.5 ＜ x ＜ 1 $,或 $ 3 ＜ x ＜ 3.5 $
C.$ 0.5 ＜ x ＜ 1 $,或 $ 2 ＜ x ＜ 2.5 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 0.5 $,或 $ 3 ＜ x ＜ 3.5 $
B
】A.$ 0 ＜ x ＜ 0.5 $,或 $ 3.5 ＜ x ＜ 4 $
B.$ 0.5 ＜ x ＜ 1 $,或 $ 3 ＜ x ＜ 3.5 $
C.$ 0.5 ＜ x ＜ 1 $,或 $ 2 ＜ x ＜ 2.5 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 0.5 $,或 $ 3 ＜ x ＜ 3.5 $
答案
B
解析
根据表格数据，分析函数 $f(x) = x^{2} - 4x + 2$ 的值在不同 $x$ 处的符号变化。
当 $x = 0$，$f(0) = 2 ＞ 0$。
当 $x = 0.5$，$f(0.5) = 0.25 ＞ 0$。
当 $x = 1$，$f(1) = -1 ＜ 0$，因此在 $0.5 ＜ x ＜ 1$ 之间，$f(x)$ 由正变负，存在一个解。
当 $x = 3$，$f(3) = -1 ＜ 0$。
当 $x = 3.5$，$f(3.5) = 0.25 ＞ 0$，因此在 $3 ＜ x ＜ 3.5$ 之间，$f(x)$ 由负变正，存在另一个解。
其他选项的区间内，$f(x)$ 的符号变化不符合方程解的条件。
当 $x = 0$，$f(0) = 2 ＞ 0$。
当 $x = 0.5$，$f(0.5) = 0.25 ＞ 0$。
当 $x = 1$，$f(1) = -1 ＜ 0$，因此在 $0.5 ＜ x ＜ 1$ 之间，$f(x)$ 由正变负，存在一个解。
当 $x = 3$，$f(3) = -1 ＜ 0$。
当 $x = 3.5$，$f(3.5) = 0.25 ＞ 0$，因此在 $3 ＜ x ＜ 3.5$ 之间，$f(x)$ 由负变正，存在另一个解。
其他选项的区间内，$f(x)$ 的符号变化不符合方程解的条件。
18. (★★)已知 $ x = 1,x = - 3 $ 都是方程 $ ax^{2} + bx - 3 = 0 $ 的根,求 $ a,b $ 的值和这个一元二次方程的表达式.
答案
$a = 1, \quad b = 2$，
方程为：
$x^2 + 2x - 3 = 0$。
方程为：
$x^2 + 2x - 3 = 0$。
解析
答题卡：
由题意，$x=1$和$x=-3$是方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的根，根据根与系数的关系，有以下两个方程：
根据根的和：
$1 + (-3) = -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad -2 = -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = 2a$，
根据根的积：
$1 × (-3) = -\frac{3}{a} \quad \Rightarrow \quad -3 = -\frac{3}{a} \quad \Rightarrow \quad a = 1$，
由$b = 2a$，得：
$b = 2 × 1 = 2$，
因此，一元二次方程为：
$x^2 + 2x - 3 = 0$。
最终
由题意，$x=1$和$x=-3$是方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的根，根据根与系数的关系，有以下两个方程：
根据根的和：
$1 + (-3) = -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad -2 = -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = 2a$，
根据根的积：
$1 × (-3) = -\frac{3}{a} \quad \Rightarrow \quad -3 = -\frac{3}{a} \quad \Rightarrow \quad a = 1$，
由$b = 2a$，得：
$b = 2 × 1 = 2$，
因此，一元二次方程为：
$x^2 + 2x - 3 = 0$。
最终
19. (★★★)已知 $ m $ 是方程 $ x^{2} - 2025x + 1 = 0 $ 的一个根,求 $ m^{2} - 2025m + \frac{m^{2} + 1}{m} $ 的值.
答案
2024
解析
因为$m$是方程$x^{2} - 2025x + 1 = 0$的一个根，所以将$m$代入方程得：$m^{2} - 2025m + 1 = 0$，即$m^{2} - 2025m = -1$，且$m^{2} + 1 = 2025m$。
则$\frac{m^{2} + 1}{m} = \frac{2025m}{m} = 2025$（$m\neq0$，因为当$x=0$时，方程左边为$0 - 0 + 1 = 1\neq0$，所以$m\neq0$）。
所以$m^{2} - 2025m + \frac{m^{2} + 1}{m} = -1 + 2025 = 2024$。
则$\frac{m^{2} + 1}{m} = \frac{2025m}{m} = 2025$（$m\neq0$，因为当$x=0$时，方程左边为$0 - 0 + 1 = 1\neq0$，所以$m\neq0$）。
所以$m^{2} - 2025m + \frac{m^{2} + 1}{m} = -1 + 2025 = 2024$。
