14. (★★)已知函数$y= (n + 2)x^{n^{2}+n - 4}是关于x$的二次函数.
(1)求满足条件的$n$的值.
(2)$n$为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标.
(3)$n$为何值时,函数有最大值？最大值是多少？

(1)
根据二次函数定义，$y = (n + 2)x^{n^{2}+n - 4}$是关于$x$的二次函数，则$\begin{cases}n^{2}+n - 4 = 2\\n + 2\neq 0\end{cases}$
由$n^{2}+n - 4 = 2$，即$n^{2}+n - 6 = 0$，因式分解得$(n + 3)(n - 2)=0$，解得$n = 2$或$n = - 3$。
当$n = 2$或$n = - 3$时，$n + 2\neq 0$都成立。
所以$n$的值为$2$或$-3$。
(2)
抛物线有最低点时，二次函数开口向上，即$n + 2\gt 0$，所以$n = 2$。
此时二次函数为$y = 4x^{2}$，根据$y = ax^{2}(a\gt0)$的顶点坐标为$(0,0)$，所以最低点坐标为$(0,0)$。
(3)
函数有最大值时，二次函数开口向下，即$n + 2\lt 0$，所以$n = - 3$。
此时二次函数为$y=-x^{2}$，根据$y = ax^{2}(a\lt0)$的最大值为$0$，所以最大值是$0$。
综上，答案依次为：(1)$n = 2$或$n = - 3$；(2)$n = 2$，最低点坐标为$(0,0)$；(3)$n = - 3$，最大值是$0$。

15. (★)(2022·牡丹江)若二次函数$y = ax^{2}$的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点【】
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

A

将点$P(-2,4)$代入二次函数$y = ax^2$，得$4 = a × (-2)^2$，即$4 = 4a$，解得$a = 1$，所以函数为$y = x^2$。
将选项代入验证：
A. $x=2$时，$y=2^2=4$，符合；
B. $x=-2$时，$y=(-2)^2=4 \neq -4$，不符合；
C. $x=-4$时，$y=(-4)^2=16 \neq 2$，不符合；
D. $x=4$时，$y=4^2=16 \neq -2$，不符合。
故答案为A。

16. (★★)(2021·长春)如图22. 1 - 5,在平面直角坐标系中,点$A(2,4)在抛物线y = ax^{2}$上,过点$A作y$轴的垂线,交抛物线于另一点$B$,点$C$,$D在线段AB$上,分别过点$C$,$D作x$轴的垂线,交抛物线于$E$,$F$两点.当四边形$CDFE$为正方形时,线段$CD$的长为.

$2\sqrt{5}-2$

1. 由点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，代入得$4=a\cdot2^2$，解得$a=1$，故抛物线方程为$y=x^2$。
2. 过$A$作$y$轴垂线，其方程为$y=4$，与抛物线$y=x^2$交于$B$。联立$y=4$与$y=x^2$，得$x=\pm2$，则$B(-2,4)$。
3. 设$C(m,4)$，$D(n,4)$，因$CDFE$为正方形，$CE$、$DF$垂直于$x$轴，故$E(m,m^2)$，$F(n,n^2)$。
4. 由正方形性质，$CD=CE$且$m^2=n^2$（$EF$水平），得$n=-m$。则$CD=m-n=2m$，$CE=4-m^2$。
5. 令$2m=4-m^2$，解得$m=-1+\sqrt{5}$（舍负根），故$CD=2m=2\sqrt{5}-2$。

1. (★)抛物线$y = ax^{2}+k$有如下特点:
(1)当$a＞0$时,开口向;当$a＜0$时,开口向.(2)对称轴是.(3)顶点坐标是.

(1)上；下；(2)$y$轴（或直线$x=0$）；(3)$(0,k)$

(1)对于抛物线$y = ax^2 + k$，二次项系数$a$决定开口方向，当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下。
(2)该抛物线可看作$y = ax^2$上下平移得到，$y = ax^2$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），平移不改变对称轴，所以对称轴是$y$轴（直线$x=0$）。
(3)当$x=0$时，$y=k$，所以顶点坐标是$(0,k)$。

2. (★)抛物线$y = 3x^{2}-2$的开口向,顶点坐标是,对称轴是.

上；(0,-2)；y轴

对于抛物线$y=ax^2 + k$（$a\neq0$），当$a＞0$时开口向上，顶点坐标为$(0,k)$，对称轴是$y$轴。在抛物线$y = 3x^2 - 2$中，$a=3＞0$，$k=-2$，所以开口向上，顶点坐标是$(0,-2)$，对称轴是$y$轴。

3. (★)若抛物线$y = ax^{2}+1与y = x^{2}$的开口方向、形状相同,则$a$的值为.

1（或写为$a=1$的对应选项，如果为填空题则直接填1）

抛物线$y = ax^{2} + 1$与$y = x^{2}$的开口方向、形状相同，说明两个抛物线的二次项系数的绝对值相等，即$|a| = 1$。
由于开口方向相同，所以$a$与$x^{2}$的系数同号，即$a = 1$（因为$x^{2}$的系数为正1）。

4. (★)在平面直角坐标系中,将二次函数$y = 2x^{2}$的图象向上平移2个单位长度,所得图象的解析式为【】
A.$y = 2x^{2}-2$
B.$y = 2x^{2}+2$
C.$y = 2(x - 2)^{2}$
D.$y = 2(x + 2)^{2}$

B

二次函数图象平移规律：上加下减常数项。原函数$y=2x^2$向上平移2个单位，常数项加2，得$y=2x^2 + 2$。